二项式定理十大典型问题与例题

1、.word格式.学科教师辅导讲义学员编号：年 级：高二课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：教学内容1 .二项式定理：(a b)n C：an C：an 1b L C；an rbr L C：bn(n N ),2 .根本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式. r二项式系数：展开式中各项的系数 Cn (r 0,1,2, ,n).项数：共(r 1)项,是关于a与b的齐次多项式通项：展开式中的第r 1项C：an rb叫做二项式展开式的通项 .用T C；anrbr表示.3 .注意关键点：项数：展开式中总共有(n 1)项.顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改.(a 9&qu

2、ot;与9 a)n是不同的.指数：a的指数从n逐项减到0,是降哥排列.b的指数从0逐项减到n ,是升哥排列.各项的次数和等于 n .012rn.系数：注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是 Cn,Cn,Cn, ,Cn, ,Cn.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数).4 .常用的结论：令 a 1bx (1 x)n C0 C1x C2x2 L Crxr L C"7n N a a ,b X, ( X) w n w nA w n AnXnX ( n )令 a 1,b x, (1 x)nC0 C：x C：x2 LC；xr L ( 1)nC；xn(n N )专业资料.学习参考.w

3、ord格式.5 .性质: 二项式系数的对称性：与首末两端对距离的两个二项式系数相等,即C0 Cn , - G： C： 1on2 ,一 一 一 一一.一 一 一一 一 0 一 1 一 2_r二项式系数和：令a b 1,那么二项式系数的和为CnCn Cn L Cn L变形式 C： Cn L C； L C：2n 1.奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和在二项式定理中,令a 1,b1,那么 CnCn CnC3 L(1)：C：(1 1)n0,从而得到：c0 c； c：Cn2rc： c； LC12r 11 2n2n 1I II II II II II II I奇数项的系数和与偶数项的系数和：n0 0

4、 n 0- 1 n 12 n 2 2n0 n(ax)Cna xCnax Cna x LCna xn 0 0 n 1 n 12 2 n 2nn 0(xa)Cna xCnax Cnax LCna x令x 1,那么 a0 a1 a2 a3 Lan (a 1)n1a0a1xnanxL2a；x2a；xnLanx1a1xa0令 x1,那么 a0 a1 a2 a3 Lan(a 1)n得,a.a；a4L%(aD:(a1)"奇数项的系数和)2得,a1a3a5Lan(a"(a1)"偶数项的系数和)2n 1 n 1Cn2 ,Cn2同时取得最大值二项式系数的最大项：如果二项式的哥指数 n

5、是偶数时,那么中间一项的二项式系数如果二项式的哥指数n是奇数时,那么中间两项的二项式系数系数的最大项：求a bxn展开式中最大的项,一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为 A , A；,An 1 ,设第r 1项系数最大,应有Ar 1Ar,从而解出r来.Ar 2专业资料.学习参考.word格式.题型一：二项式定理的逆用例：C：Cn 6 C3 62 L C： 6n 1解：(1 6)n C： C： 6 C； 62 C： 63 L C： 6n与的有一些差距c1c2 0c32n n 11 ( cic22n n CnCn 6 Cn 6L Cn6 (Cn 6 Cn 6L Cn6 )610122n n1

6、n1一(Cn Cn 6 Cn 6 LCn 61) 一(1 6)1 - (71)666练：Cn 3cl2 9C： L3n 1C；.解：设 Sn Cn 3c2 9C3 L 3n 1Cn ,那么3SnCn3nCnCn 3n 1 (1 3)n 1Sn(1 3)n 14n 133题型二：利用通项公式求xn的系数；3/x2n的展开式中倒数第33项的系数为45 ,求含有x的项的系数？解：由条件知C； 2 45,即C： 45,n2 n 90 0,解得n9舍去或n 10 ,由1210 r 2r .410 r 3 r r 4 3r10 r 2Tr 1C10(x) (x ) C10x,由题忌一r433,解得r 6,

7、那么含有x3的项是第7项T6 1 C1f0x3练：求(x2 1)9展开式中x9的系数？2x加 r , 2.9 r , 1 . r - r 18 2r .斛：Tr 1 C9(X ) ()C9x (2x故x9的系数为c3( 1)3 部.22210x3,系数为 210.)rx r C；( 1)rx18 3r ,令 18 3r229,那么 r 3专业资料.学习参考题型三：利用通项公式求常数项2110 .例：求二项式(x-)的展开式中的常数项？2 x.word格式.解：Tr 1 Cir0(x2)10 r()r C；0(2)rx20 2r,令 20-r 0 ,得 r 8 ,所以 T9 C180d)8 92

8、910 22561 6练：求二项式(2x )的展开式中的常数项？2x无力 r 6 r r . 1 . rr r 6 r . 1 . r 6斛：Tr 1 C6(2x) ( D (友)(1)C62 (2) x练：假设(x2 l)n的二项展开式中第5项为常数项,那么n x解：T5 C：(x2)n 4(1)4 C：x2n12,令2n 12 0,x33,令 6 2r 0,得 r 3,所以 T4 ( 1) C620得n 6.题型四：利用通项公式,再讨论而确定有理数项例：求二项式(W 次)9展开式中的有理项？27 r(1)", T Z,(09)得 r3或 r 9,11解：Tr 1 C；(x2)9

9、r( x3)r27 r 所以当 r 3时, 4, T4 ( 1)3C；x484x4,6当 r 9 时,27- 3, I. ( 1)3C；x3x3.6题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和展开式中偶数项系数和为256,求n.解：设('了 )n展开式中各项系数依次设为a0,a1, an令x 1,那么有 a0 aan 0,令x 1 那么有 a0 a a2 a3(1)nann2,2n将-得：2(a1 a3 a5)2n,a1 a3 a5有题意得,2n 125628, n 9.专业资料.学习参考.word格式.练：假设31 ,4厂的展开式中,所有的奇数项的系数和为 1024,求它的中间

10、项.解：QC：C；C：C2rC：C3L C2r 12n2n1 1024 ,解得 n 11所以中间两个项分别为 n 6,n 7, T51 C；,6g5 462 x 4, Te 1 462 x5题型六：最大系数,最大项；1 n例：2x,假设展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项2的系数是多少？i_4_6_ 52_._-解：QCn Cn2Cn, n 21n 98 0,解出n 7或n 14,当n 7时,展开式中二项式系数最大的项是1351 一T4和T5 T4的系数C3-423 万,T5的系数C4-324 70,当n 14时,展开式中二项式系数最大1 r r的项

11、是 T8,T8的系数C；4727 3432.2练：在a b2n的展开式中,二项式系数最大的项是多少 ？解：二项式的哥指数是偶数 2n,那么中间一项的二项式系数最大 ,即T2nTn 1,也就是第n 1项.12x 1 n练：在一 hn的展开式中,只有第5项的二项式最大,那么展开式中的常数项是多少 ？23xn一 6 1 2解：只有第5项的二项式最大,那么一1 5,即n 8,所以展开式中常数项为第七项等于C8一722练：写出在a b7的展开式中,系数最大的项？系数最小的项？解：由于二项式的哥指数 7是奇数,所以中间两项第4,5项的二项式系数相等,且同时取得最大值,从而有_343 . 一 _434 一

12、T4C7a b的系数最小,T5C7ab系数最大.1 n练:假设展开式前三项的二项式系数和等于79,求-2x的展开式中系数最大的项 ？2解:由 C0 C： Cn79,解出 n 12,假设 Tr1 项最大,Q(； 2x)12 (；)12(1 4x)12ArArArAr 2C；24r C11214r 1 八5小,c12 i 一 化简彳#到 9.4 r 10.4,又Q0 r 12, r 10, C；24r C1214r 1展开式中系数最大的项为T11,有工(1)12C；°410x10 16896x10专业资料.学习参考.word格式.10练：在(1 2x)的展开式中系数最大的项是多少r r

13、r解：假设Tr 1项取大,Q Tr 1 C10 2 XArArACr 2rCr12r1ArC102C10解得c r O rr1 or1Cr 2C102C102,2(11r 1r) r - _ _),化简彳#到 6.3 k 7.3,又Q0 r 10,2(10 r)r 7,展开式中系数最大的项为 Tb C127x7 15360x7.题型七：含有三项变两项；25.例：求当(x 3x 2)的展开式中X的一次项的系数？._2_ 5_2_ 5_ r 2_ 5 r r 一一一 、解法：(x 3x 2)(x2) 3x , Tr 1 Cs(x 2) (3x),当且仅当r 1时,T.1的展开式中才有x的一次项,此

14、时Tr 1 T2 C5(x2 2)43x ,所以x得一次项为C1C4243x14 4_它的系数为C；C4243 240.25550 51 450 51 45 5解法：(x2 3x 2)5 (x 1)5(x 2)5 (C：x5 C；x4C；)(C：x5 C；x42C；25)45 544故展开式中含x的项为C5xCs2 C5x2240x,故展开式中x的系数为240.练：求式子(|x| 1 2)3的常数项？冈解：(|x|12)3(VW卡)6,设第 r1 项为常数项,那么 T-Cfr(1)r|x|6r(px)r(1)七；"62,得3 _ 36 2r 0,r 3,T31( 1) C620.题型

15、八：两个二项式相乘；例：求(1 2x)3(1 x)4展开式中x2的系数.解：Q(1 2x)3的展开式的通项是Cm (2x)m 0m 2m xm,(1 x)4的展开式的通项是 C4 ( x)n C41n xn,其中 m 0,1,2,3, n 0,1,2,3, 4,令m n 2,那么 m 0且 n2,m 1且n 1,m2且n0,因此(12x)3(1 x)4%.左米Zr 二p C0O0C22 C1.1.11 C2O2C00 ox 日 J东双寺1C3 2 C4 ( 1)C3 2C4 ( 1)C3 2 C4 (1)6.专业资料.学习参考.word格式.练：求1次613户展开式中的常数项.- X解：1 V

16、X6imn10展开式的通项为C6nx. C10X 4C 6n C1O4m 3n12x 12其中 m 0,1,2, ,6,n 0,1,2, ,10,当且仅当 4mm 0,3 m 3, . m 63n,即 或 或 n 0, n 4, n 8,时得展开式中的常数项为C； C1c0 C3 C；0 C； C80 4246.91 n . . .一*一一练：1 x x x F的展开式中没有吊数项,n N且2 n 8,那么n .x1 C解：x -3“展开式的通项为C： xnr x 3r C： xn 4r,通项分别与前面的三项相乘可得 xG xn4r,C； xn 4r 1,Cn xn4r 2,Q展开式中不含常数

17、项,2 n 8n 4r且n 4r 1且n 4r 2,即 n 4,8且n 3,7且n 2,6, n 5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和； 例：在x 物2022的二项展开式中,含对勺奇次曷的项之和为 S,当x J2时,S 解： 设(x >/2) 2022=a0 a1x1a2x2a3x3 La2022x2022 20221232022(x 2)=a0a1xa2xa3xLa2022x 得 2(a1x %x3 a5x5La2022x2022)(x 历 2022 (x V2)2022(x两2022展开式的奇次曷项之和为S(x) 2(x扬2022 (x6)20223 2022题型十：赋值法；例

18、：设二项式3 3/x 1n的展开式的各项系数的和为p ,所有二项式系数的和为 s,假设xp s 272,那么n等于多少？解：假设(34 1)n a0 a1xxa2x2anxn ,有 Pa. aan , SC；C； 2n ,17舍去,令 x "HP4n,又 ps 272,即 4n2n272(2n17)(2n16) 0 解得2n16 或 2n专业资料.学习参考练:解:练:.word格式.n 4.n1,一一一, 的展开式中各项系数之和为64,那么展开式的常数项为多少x那么3. xC；(3 .x)3 ()32022右(1 2x)a0n二的展开式中各项系数之和为2n64 ,所以n那么展开式的常

19、数项为540.12axa?x3 a3x2022 /a2022x(xR,呜a222舞的值为凯x1r可得a°a1a22a20222022a10,12222在令x0可得a01,因向二a2-2a2022入2022a2解:22a202222022a.1.练：假设x5542)a5xadx3 a3x2 a2x1axa0,贝aa2a3a4 a5解：令x0 得 a032,令 x1得a.a1a2a3a4a51,a1a2 a3a4a§31.题型十一：整除性；例：证实：32n8n 9( n.* 、N 能被64整除28n9 9n 18n9(8n 11) 8n 9C0Cn18n 1C： 18nCn C

20、n1182n a1nCn 1. CnC0Cn18n 1C： 18nCn Cn；828( n 1) 12 n证：3118n8n 9C： 18n11 QnCn 1 8n 1 Q2Cn 18由于各项均能被64整除 32n 2 8n 9n N*能被64整除专业资料.学习参考.word格式.1、(x1)11展开式中x的偶次项系数之和是 1、设f(x)=(x-1) 11,偶次项系数之和是 f( 0( 2)11/2102422、C0 3C；32C23nC： 2、2、4n3、 (3 5 了 的展开式中的有理项是展开式的第 项.3、3,9,15,214、(2x-1) 5展开式中各项系数绝对值之和是 4、(2x-

21、1) 5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1) 5展开式系数之和,故令x=1 ,那么所求和为355、求(1+x+x 2)(1-x)10展开式中x4的系数.5、(1 x x2)(1x)10(1 x3)(1 x)9,要得到含x4的项,必须第一个因式中的 1与(1-x)9展开式中的项C4( x)4作积,第一个因式中的一x3与(1-x)9展开式中的项c9( x)作积,故x4的系数是c9 c9 135*6、求(1+x)+(1+x) 2+ -+(1+x) 10 展开式中 x3 的系数10116、(1 x) (1 x)2(1 x)10()1()- = -()(),原式中x3实为这分子中的x4,那么所1 (1 x)x求系数为C；7、假设f(x) (1 x)m (1 x)n(m n N)展开式中,x的系数为21