第六章-控制系统的综合与校正2

1、本章基本要求本章基本要求 (1)熟悉三种基本校正网络的频率特征。(2)掌握期望特征对高中低三段的要求和特点。(3)重点掌握和熟练运用三种串联校正的设计方法和基本步骤;在正确理解三种串联校正网络在系统中作用的基础上，会灵活运用校正方法。(4)掌握反馈校正的一般方法。(5)掌握根轨迹校正的一般方法。 当明确了被控对象后，根据技术指标来确定控制方案，进而选择传感器、放大器和执行机构等就构成了控制系统的基本部分，这些基本部分称为不可变部分（除放大器的增益可适当调整，其余参数均固定不便）。当由系统不可变部分组成的控制系统不能全面满足设计需求的性能指标时，在已选定的系统不可变部分基础上，还需要增加必要的元

2、件，使重新组合起来的控制系统能全面满足设计要求的性能指标，这就是控制系统的综合与校正问题。 前几章的学习，我们讨论了控制系统的前几章的学习，我们讨论了控制系统的各种分析方法。也就是说在已知自动控制系各种分析方法。也就是说在已知自动控制系统的结构和参数的情况下，计算或估算系统统的结构和参数的情况下，计算或估算系统的性能指标（的性能指标（即看系统能不能稳定？快速性即看系统能不能稳定？快速性如何？二者均可了，还要看其精度如何？如何？二者均可了，还要看其精度如何？）-称为系统分析称为系统分析 而在工程实际中，性能指标往往是事先而在工程实际中，性能指标往往是事先给定的，要求组成一个系统并选择合适的给定的

3、，要求组成一个系统并选择合适的参数，以满足这些性能指标的要求。参数，以满足这些性能指标的要求。 在已知被控对象，在给定性能指标的条件在已知被控对象，在给定性能指标的条件下，设计一个满足给定性能指标的控制系统，下，设计一个满足给定性能指标的控制系统，这类工程问题称为这类工程问题称为系统设计系统设计 系统设计包括系统设计包括选择控制方案选择控制方案、传感器传感器、执行执行机构等机构等组成一控制系统，为使系统满足性能指组成一控制系统，为使系统满足性能指标的要求，添加校正装置标的要求，添加校正装置-称为系统校正（综称为系统校正（综合）合）1 1、校正方式、校正方式n将校正装置串联在系统的输入端称为前置

4、校正Gc(s)G(s)H(s)R(s)_C(s)n干扰补赏校正P96图3-142、校正方法n根轨迹法校正n频率法校正3、校正的本质 从前面的分析我们知道，系统的零、极点的分布对系统的性能影响很大。 校正的本质： 引入校正装置的目的：就在于用附加零、极点办法来实现对系统的校正。其本质： 本质就是改变原来的零、极点的分布情况。即改变系统的根轨迹或频率特性曲线的形状。以达到改善系统系统性能的目的。 如控制系统的输入信号r(t) 的频率响应R(jw)有如下特性： ，当wwm，如左图所示，通常称0wm为输入频宽。图6-3 输入信号的频率特性0)(jR二、输入信号与控制系统带宽二、输入信号与控制系统带宽

5、由于输入信号多为低频信号因此输入信号的带宽较窄。 在闭环幅频特性上，幅值等于 的频率wb，称为系统的截止频率，对应的频率范围0wb成为系统的频宽。)0(707. 0)0(21AA图6-4 典型闭环频率特性例如：左图中R(jw)为输入信号，频率较低；F(jw)为干扰信号，而干扰信号集中起作用的带宽在w1w2，刚好出与输入信号带宽之外，因此控制系统选择合适的带宽就能准确复现输入信号又能完全抑制扰动信号f(t)。对自动控制系统如何合理对自动控制系统如何合理的选择带宽是很重要的。的选择带宽是很重要的。三、基本控制规律分析三、基本控制规律分析1 1比例（比例（P P）控制规律）控制规律2 2积分（积分（

6、I I）控制规律）控制规律3 3比例微分（比例微分（PDPD）控制规律）控制规律4 4比例积分（比例积分（PIPI）控制规律）控制规律5 5比例积分微分（比例积分微分（PIDPID）控制规律）控制规律 1 1比例（比例（P P）控制规律）控制规律具有比例控制规律的控制器称为比例控制器，又叫P调节器，因为比例控制器的输出信号能成比例地反映其输入信号，所以其运动方程为pm tkt( )( )2 2积分（积分（I I）控制规律）控制规律 具有积分控制规律的控制器称为积分控制器，又称为I调节器。I控制器的输出信号能成比例地反映其输入信号的积分，即 001iittm tt dtkt dtT( )( )(

7、 )skssmi)()( skir(s)C(s)(sm(s)3 3比例微分（比例微分（PDPD）控制规律）控制规律具有比例加微分控制规律的控制器称为比例微分控制器，又称为PD控制器，其输出信号与其输入信号的关系为ppddtm tktkdt( )( )( )1 ()()(skssmdp例6-1 设具有PD控制器的控制系统，是分析比较加比例微分控制规律对系统性能的影响。)1 (skdp21JsR(s)_C(s)解：在没有加PD控制器时，给定系统的闭环特征方程为：012Js举例举例21JsR(s)_C(s)11111)()(222JsJsJssRsc 从特征方程中看出，该系统的阻尼比为0，此时系统的

8、输出C(t)为一不衰减的等幅振荡曲线，系统处于理论上的临界稳定状态，实际上是一种不稳定状态。当系统加入PD控制器后，此时系统的特征方程为：)1 (skdp21JsR(s)_C(s)022 , 0ss ) 1(/ ) 1(1/ ) 1()()()(pdp2222JkJkJkkkJkskJsskJsskJssksRsCsGpdndppnpdpdpdpdp：此时系统的阻尼比为)1 (skdp21JsR(s)_C(s)可见系统是稳定的：这是因为系统加入PD控制器后，提高了给定系统的阻尼比，使特征方程的s项的系数由原来的0变化到大于0（即特征方程的各项系数均存在，由原来的缺项变到不缺项）而系统的阻尼比可

9、以通过调节PD控制器中的kp和 来实现。d微分环节只对动态有反应，而对无变化和变化极其缓慢的输入信号，没有控制作用，即相当于开路因此微分环节不能单独使用。微分环节对输入的高频信号反应特别敏感，而噪声等干扰信号大多为高频信号，因此容易堵塞放大器，对控制不利。注意注意4 4比例积分（比例积分（PIPI）控制规律）控制规律具有比例积分控制规律的控制器，称为比例积分控制器，又称为PI控制器.PI控制器的输出信号能同时成比例地反应其输入信号和它的积分，即 0ppitkm tktt dtT( )( )( )11()()(sTkssmip例6-2 设如下图所示的单位反馈系统的不可变部分的传递函数为：) 1(

10、)(0TssksG试分析PI控制器对改善给定系统稳定性能的作用解：由上图可见，在未加入PI控制器前，系统的开环传递函数为：) 1()(0TssksG)11 (sTkip) 1(0TsskR(s)C(s)此时系统为1型系统（含一个积分环节），当系统加入PI控制作用后，系统的开环传递函数为：) 1() 1()(20TssTsTkksGiip 可见系统无差度由1提高到2。由无差度理论可知，无差度的提高，可使系统的稳定性提高，使系统的稳定性能改善。设系统的输入信号r(t)=Rt，未加入PI控制器时，系统的稳态误差为：求稳态误差刻有多种方法求稳态误差刻有多种方法: :查表的方法 在未加入PI控制器使系统

11、为1型系统，系统的输入信号位r(t)=Rt，1型系统的开环增益即为速度误差系数，所以：0kRess求系统的误差传递函数E(s)/R(s)，然后再由拉斯变换的终值定律，求稳态误差02000000R) 1() 1(lim )() 1() 1(lim)(lim ) 1() 1()(11)(kRskTssTssssRkTssTsssssEekTssTsssGsRsEsssss由由终终值值定定律律）) 1(0TsskR(s)C(s)求速度误差系数的的方法求稳态误差0000) 1(limkRekTssksksssv可见未加入PI控制器时，系统在给定输入作用下的稳态误差为一常数（R/k0)当系统加入PI控制

12、后，系统的开环传递函数为（变为系统）：0sse 由此可见在无差度为1的系统中加入PI控制器，可以消除速度信号作用下的稳态误差，所以说PI控制器可以改善系统的稳态性能。) 1() 1()(20TssTsTkksGiip系统的稳态误差为采用PI控制器后。控制系统的特征方程为：00)1()1(002302pipiiipikksTkksTTsTsTkkTssT展展开开后后T、Ti、kp、k0皆为正数，所以在上面的特征方程中，变量s的各次幂的系数也将全部大于零，满足系统稳定的必要条件所以合理的选择上述各参数，采用PI控制器的1型系统完全可以做到既保证闭环的稳定性又能提高系统的稳态质量（精度）。PIPI控

13、制器的作用控制器的作用 在保证系统稳定的基础上，提高系统的无差度，从而使系统的稳态性能得以改善。这是因为PI控制器相当于在系统中增加了一个位于原点的开环极点和一个位于s平面左半面的开环零点。而位于原点的极点可以提高系统的无差度，减少系统的稳态误差，从而改善系统的稳态性能，负零点可以减少系统的阻尼比，从而减少PI控制器极点对系统稳定性和动态过程的不利影响。5 5比例积分微分（比例积分微分（PIDPID）控制规律）控制规律q 由比例、积分、微分基本规律组合起来的控制器，简称为PID控制器。这种组合具有三种单独控制规律各自的特点，其输出信号与输入信号之间关系为： 0pppditkdtm tktt d

14、t +kTdt( )( )( )( )11 ()()(ssTkssmdip由上式可求得PID控制器的传递函数ssTsTksGTssTsTTksGssTkssMsGidipcididiipcdipc) 1)(1()(1)()11 ()()()(2时，上式可改写成当将上式改写成：1) 1)(1(2sTssTsTsiddiid由上式可见由上式可见 PID控制器可使系统的无差度增加，因此可以提高系统的稳态性能。另PID控制器还给系统提供了两个负实零点，相当于增加了两个一阶微分环节（超前环节）这样可以提高系统的相位裕度，进而提高系统的相对稳定性。在前面的学习中我们知道：相位裕度(r)增加， %减小，从而

15、使ts下降，提高了快速性。 也就是说合理调节PID控制器参数后，既可以提高系统的稳定性、又可提高系统的动态性能。因此在要求较高的系统中多采用PID控制器。( )1. (1)( )pdM skssPD的时域描述dttdktktmdpp)()()()sin(1 sin)cos(cos)sin()(1 )cos()(1)sin()(11)(1 )cos()sin( )sin()sin()( m(t)PD)sin()( )(122222ddmpdmpddddmpdmpmdpmpmtgtkttkttkttkdttdktktmttt）的变化规律为控制器的输出则按正弦规律变化，即设其输入信号1d2)(1d2

16、2)(1sin )(11cospdddttdktktmdpp)()()( PD控制器对正弦输入信号的稳态响应仍为同频率的正弦信号 输出的正弦信号将在相位上超前于输入信号一个角度，其超前相角是微分时间常数和角频率的函数，其最大超前相角为900 可见，PD控制器是具有超前特性的元件，所以称之为超前校正装置。 在控制系统中，使用具有相位超前特性的控制器作为系统特性校正装置的校正形式称为超前校正。在实际运用中，常常采用带惯性的PD控制器作为超前校正元件，它们的传递函数为：)( 11)(TTsssGc它可以通过无源网络或有源网络来实现。它可以通过无源网络或有源网络来实现。无源网络相位超前装置(4) 1(

17、3) (2) (1) 111211RidticiiiiRuuRiuRcRcccRr 将以上方程组进行拉氏变换变换，得到系统的结构框图1/R1R1CSR2uruc212122121121121121)1(1)1(G(s) RRcsRRRcsRRRCsRRRCsRRRCsRRR：系统的闭环传递函数为_11)(RT 11221TsTssGCRRR为为：故故系系统统的的闭闭环环传传递递函函数数令令 可见超前校正装置是由比例、微分加惯性环可见超前校正装置是由比例、微分加惯性环节组成。节组成。平平面面的的分分布布为为：零零、极极点点在在故故超超前前校校正正装装置置的的sT , 1 T由上式-1/aT零点零

18、点极点极点s 改变a、T可改变零、极点的位置，即改变频率特性两个转折频率间的相对位置，从而获得适当的正相位移。 -1/T 从图中可见零点离虚轴近，极点离虚从图中可见零点离虚轴近，极点离虚轴远。所以超前环节对输入信号具有明显轴远。所以超前环节对输入信号具有明显的微分作用。所以称为的微分作用。所以称为PD控制器。控制器。11)(jTTjjG超超前前环环节节的的频频率率特特性性：超前环节的Bode图lg10)(lg20)L( )(jGjGcmcm）式（最大相移发生在得利用极值条件超前环节提供的相移3-6 111 0)(1)(1 0)( )( m2211TTTTTTTddTtgTtgc正好在两转折频率

19、的几何中点处。正好在两转折频率的几何中点处。在w=wm处1111)(1)()(122TcmTTjG）图 5-6( lg10lg20)(lg20)(jGLc对数幅频特性 超前角的最大值为2)-(6 11sin2111aatgm若确定了最大补赏角，则可反过来确定参数a。mmsin1sin1很多书中给出了a 和 得关系曲线，以及数据关系。m当当 值较小时，由于最大超前相移值较小时，由于最大超前相移 较小，故超较小，故超前校正作用不大；当前校正作用不大；当 的取值介于的取值介于5 5至至2020之间时，之间时， 增加较快，其增加较快，其 值为值为42426565，也较大，从而超前作，也较大，从而超前作

20、用显著，这也是在确定超前校正参数时较常采用用显著，这也是在确定超前校正参数时较常采用 的依据；当取的依据；当取 时，时， 随随 值增加变化较小，故值增加变化较小，故 的方案极少采用。的方案极少采用。mmm520 20m20二、超前校正举例二、超前校正举例用频率法进行超前校正的一般步骤根据稳态误差要求，确定控制系统的型别和开环增益K。利用已知的开环增益，计算待校正系统的频率频率响应根据要求的剪切频率 与相位裕度 ，由下式计算超前校正环节应当提供的最大超前相位角 000,gckcmmmsin1sin1由最大超前相位角 ，利用式（6-2）确定校正装置的参数a。此时要保证m由 ， 确定 ，为了充分发挥

21、超前校正装置的相角超前特性，希望 对应的角频率与校正后的剪切频率重合，即 ，以保证系统的响应速度。显然， 成立的条件是：mcmcm）图5-6( lg10)(lg20)(lg200jGjGcm 由上式求出 ，如果 等于或近似等于要求的 ，择取 进行下一步的计算，如果 与要求的 相差较大，那么必须先按 的要求，由（图6-5）出a，然后在计算出相应的 ，最后检验是否满足相位裕度的要求。由a， 根据（6-3）确定T.验算以校正的系统是否满足要求，如不满足按上述方法再来直到满足要求为止cmmmcmccmmm例 设某控制系统不可变部分的传递函数为：) 15 . 0()(0ssksGc要求系统具有如下性能指

22、标开环增益 相角裕度幅值裕度剪切频率050)(10)(dBdBkgsradc/10120skc解：1）根据误差的要求取 2）确定开环增益kc后，计算未校正前的 120skc000,kgc）近似算法得：即有由6.32rad/s(/2.6 11)5.0(20 01)5.0(2020lg c0co202c0sradccoco000010000009 .171 .7290 5 . 090180 )(180 cctgjG相相位位裕裕度度该该指指标标满满足足要要求求故故即即：时时，求求出出相相应应的的幅幅值值裕裕度度，当当,905 .0 tg 05 .090180 .00110000kgtggggg 从上

23、面的解题中可见，未校正前的系统幅值裕度满足要求，其它两项不满足要求。因此需要采用超前校正。作出校正前的Bode图。此时的Wc=6.2rad/s-20-40r=17.9010lga3）计算串联超前校正装置必须提供的最大超前角 （从图中可以看出当Wc取10rad/s时，需要补上的角度要跟大些，所以这里要增加一个 ）000001 .42109 .1750m4）由 确定校正装置的参数am由（6-13）式得：67.0111 .42sin0得：1 . 5由（6-2）式变形有5 . 750sin150sin1sin1sin100由于a=520校正效果最佳，所以取a=85)由 确定 根据（6-17）式有,mc

24、dBjGmmm98lg101)5 . 0(20lg20)(lg2020从上式中，求得：sradsradmcm/10 /54.10故故取取？为什么要如此计算，目的在于获得最大补偿角6）由a、 确定Tm由（6-3）式得：ssTsTssGTTcm0354. 012832. 0111)(2832. 00354. 080354. 0810117）验算已校正系统的性能指标 ) 10354. 0)(15 . 0() 12832. 0(20)()()(0sssssGsGsGc显然校正后的剪切频率为：Wc=10rad/s，故校正后的相位裕度为000504 .62)(180cjG这类问题如果利用Matlab，是非

25、常方便的（1)绘制未校正前的Bode图，对照要求的性能指标分析系统校正后系统的开环传递函数为：Matlab程序% 清除内存变量 clear;num=20;den=conv(1 0,0.5 1);%绘制未校正系统的Bode图figure(1)bode(num,den);grid%计算未校正系统频率应Gm0,Pm0,Wg0,Wc0=margin(num,den);disp(margin of old system);kg0=20*log10(Gm0);Pm0,Wg0,Wc0,kg0%未校正系统的单位阶跃响应图num=20;den=conv(1 0,0.5 1);numb,denb=cloop(nu

26、m,den);step(num,denb)未校正前：Kg0=Inf，Pm0=17.96420，Wc0=6.185，Wg0=Inf 由仿真结果可见，相位裕度与剪切频率不满足要求，故需校正，为提高系统的相位裕度，所以采用超前校正装置。（2）验算校正系统的性能指标Matlab程序：num=20;den=conv(1 0,0.5 1);num1=conv(num,0.2832,1);den1=conv(den,0.0354,1);%绘制已校正系统的Bode图figure(2)bode(num1,den1);grid;%计算Gm,Pm,Wg,Wc=margin(num1,den1);disp(margi

27、n of new system);kg=20*log10(Gm);Pm,Wg,Wc,kg运行上面的程序后，得知：Kg=Inf，Pm=61.3210，Wg=Inf，Wc=10.9224从以上运行结果可见，通过超前校正后系统的性能指标全部得到的满足。观察校正前后，系统地单位阶跃响应通过simulink建模观察% G(s)=20/s(0.5s+1)-Gx(s)=20(0.2832s+1)/s(0.5s+1)(0.0354s+1)num=20;den=0.5 1 0;numb,denb=cloop(num,den) %未校正前step(numb,denb)numx=conv(0.2832 1,20);

28、denx=conv(0.0354 1,0.5 1 0);numxb,denxb=cloop(numx,denx); %校正后hold onstep(numxb,denxb)通过Malta编程观察由此可见系统通过超前校正，系统的平稳性和快速行均得到明显的改善三、超前校正的特点n利用超前校正可提高系统的相对稳定性，因为加入一个相位超前环节，使相位裕度提高，提高了系统的相对稳定性。n超前校正缓解可提高系统的快速性，因为r增加是系统的Mr和 %量下降。Ts减小。n超前环节可提高系统稳定性。采用PD控制器，其微分作用相当于增大系统的阻尼比，系统稳定性提高。6-3 6-3 滞后校正参数的确定滞后校正参数的

29、确定一、滞后校正及滞后校正元件的特征如前所述的PI控制器的运动方程为：tippdttTktktm0)()()(则PI控制器的传递函数为：sTsTkssMiip1)()( 从PI控制器的传递函数容易看出，其分子提供相位超前角度小于分母提供的相位滞后角度，就是说总相位是滞后的。因此PI控制器具有滞后特性的元件，称为滞后校正装置， 从PI控制器的传递函数的表达式，可见PI控制器可提高系统无差度，从而提高系统的精度，降低稳态误差。 在控制系统中，当采用具有相位滞后特性的控制器作为系统的校正装置，这种校正形均称为滞后校正。在实际运用中，采用近似PI控制器实现串联滞后校正，其传递函数为：1)( 11)(b

30、TsbTssGc（6-5）式近似PI控制器可由无源网络和有源网络实现滞后校正装置的频率特性为：jTjbTsGc11)(根据上式绘制的Bode图如下图所示 1)1)(1( 0)(1)(1 0)( )( m2211bTbTTTTbTbTddTtgbTtgc最大相移发生在得利用极值条件滞后环节提供的相移 与超前校正环节类似，最大滞后角发生在1/T和1/bT的几何中点处。滞后角的最大值为： 11sin1bbm二、滞后校正举例滞后校正的一般步骤1) 根据稳态误差要求,确定开环增益以K；2) 利用已知的开环增益，计算校正系统的频率响应3) 判断未校正系统在动态特性方面是否满足性能指标的要求如果上一步求出的

31、 ，则由下式00,kgocccon例例6-4 6-4 设某控制系统不可变系统部分的开环传递函数为：) 15 . 0)(1()(0sssksG要求系统的具有如下性能指标： 开环增益k=5s-1。 相位裕度r400。 幅值裕度kg(dB)10 dB。 剪切频率Wc0.4 rad/s。试确定串联滞后校正装置的参数解：（1）计算考虑开环增益的未校正系统的频率响应oocokg,o9 .12 5 . 0tgtg90180 j (G180 s /8rad. 1 01)(0.51520lg 1)5 . 0(15)j (G co1co1oocooooco2co2coco2co2cocoo）未校正前的相位裕度：解

32、得：由4dB. 41)5 . 0(1520lgkg s /rad2 10.5 905 . 015 . 0 tg905 . 0tg tg 0 2go2gogoogo2googogogogo1ogo1go1go则故有：由三角函数公式上式得有求由用相位滞后校正系统是不稳定，故宜采系统的相位负的厉害，故系统需要校正，且因可见10dB4dB. 4kg,409 .12)( oooco%未校正前的阶跃响应图num=5;den=conv(1 1 0,0.5 1);numb,denb=cloop(num,den);step(numb,denb)我们可以通过Matlab方便的进行验证%未校正系统bode图num=

33、5;den=conv(1 1 0,0.5 1);bode(num,den)（2）计算未校正系统在要求的剪切频率Wc处的相位裕度r(Wc) 就是若将未校正系统的剪切频率放在要求的wc处，此时得相位裕度为：,40409 .56 2 . 04 . 090180 )(180)(o11处的相位裕度由于在要求的剪切频率oooococtgtgjG) 15 . 0)(1()(0sssksG可见采用滞后校正是可行的。（3）依据对相角增量的要求，确定剪切频率Wc未校正前的Bode图如下：Wco=1.8ro=12.90Wc=0.4r=56.9o20lgb本例留12o的相角增量：78. 05 . 015 . 1385

34、 . 015 . 0385 . 01285 . 090)(1281801240180)(2211111ccocccoccoccocoooooctgtgtgtgtgjGjG 由三角函数公式，有而sradccccc/42. 039. 0278. 003945 . 15 . 1078. 05 . 139. 05 . 1)5 . 01 (78. 0222 整理得：故（4）由Wc确定b由（图6-8）有：1 . 009. 0 72.20 1)42. 05 . 0(142. 042. 05lg20- )(lg20lg2022bjGbco（5）由）由 确定确定Tb根据经验公式 取ssTsbTssGbTTbTc

35、c11919 .11111)(9 .11 ,119 084. 042. 051511函数为：则滞后校正装置的传递cbT)51101(1（6）验算已校正系统的性能指标）验算已校正系统的性能指标校正后的系统开环传递函数为：111919 .11)15 .0)(1(5)()()(ssssssGsGsGco校正后的相位裕度为：oooooooccccoocotgtgtgtgjG459 .887 .789 .118 .22901801199 .115 . 090180)(1801111 利用Matlab绘制校正后的bode图%校正前后的bode图num=5;den=conv(1 1 0,0.5 1);bode(num,den)hold onnumx=conv(num,11.9 1);denx=conv(den,119 1);bo