第二章--随机变量及其分布

1、 随机变量的引入与 例1 、例2 定义定义: 设随机实验的样本空间为S=e，X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数,，X=X(e)为随机变量随机变量。 说明说明 举例举例与示意图2.2 返回目录 1 随机变量随机变量 2 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 定义定义：若随机变量的取值是有限个或可列个，则称之为离散型随机变量离散型随机变量 。 说明说明 要掌握离散型随机变量X的统计规律： 知道X所有可能的取值; 且知每一可能取值的概率。 分布律分布律 定义：定义：设离散型随机变量X所有可能取值为xk , 且 PX= xk= pk, k=1,2,（2.1）我们称（2.1）式为离散

2、型随机变量X的分布律分布律。 由概率定义我们得到以下两性质： 1. pk 0, k=1,2,（2.2） 2. (2.3)11kkp 分布律还可以用表格来表示： (2.4) 例1 X x1, x2, xn, pK p1 , pK , pn , 离散型随机变量离散型随机变量 a. (01)分布分布 随机变量X只可能取0与1两个值，其分布律表格形式为： （0p1）表达式：PX=k = p k (1-p)1-k, k=0,1则称X服从参数为p的 (01)分布分布重要重要或两点分布两点分布。（说明说明） X 0 1 p k 1-p p b. 伯努利实验、二项分布伯努利实验、二项分布 说明 举例 一、一、

3、伯努利实验伯努利实验 定义：定义：设实验结果只有两种可能 ，则称为伯努利实验伯努利实验。将伯努利实验独立地重复地进行n次，则称这n次实验叫n重伯努利实验重伯努利实验。AA与 二、二、二项分布二项分布1. 定义：定义：如果随机变量X的分布如下：P ( X=k ) = C nk p k q n-k , k=0,1,2,n. (2.3)其中0p0) , (2.4) 则称X服从参数为 的泊松分布泊松分布，记作：)(Xkek!k)P(X2. 说明说明3. 举例举例 返回目录 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 定义：定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数： F(x)=PXx 称为X的分布函数

4、。说明说明基本性质基本性质举例举例（例1，例2） 返回目录 为了进一步用数学方法研究随机实验，我们把实验结果与实数对应起来，即将实验结果数量化，引入随机变量的概念。 随机实验的结果很大部分直接与数值有关, 如：产品抽样中的次品数目，多次重复抛掷硬币的实验中出现正面次数等等。 而有的实验结果与数值无直接关系，我们可以把它映射为数值来表示，如：硬币抛掷中出现正面用“0”来表示，出现反面用“1”来表示。例1：在一袋中装有编号分别为1，2，3的3只球，在袋中任取一只球，放回，再取一只球，记录它们的编号。考察两只球的编号之和。则实验的样本空间S=e=(i,j) i,j=1,2,3。 i,j分别为第一，第

5、二次取到球的号码。以X表示两球号码之和，得到样本空间的每一个样本点e，X都有一值与之对应，如图2-1。例2：抛掷一硬币3次，考查3次抛掷中，出现H的总次数，并记为X。引用第一章2的表示法，可得样本空间与X的取值的对应关系，如下表： 样本点样本点HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTTX的值的值 3 2 2 2 1 1 1 0此前例1，例2中的X均为随机变量。例3：某射手每次打中目标的概率为0.8，该射手不断向目标射击，直到打中目标为止，则此手所需射击次数X是一随机变量。例4：某车站每间隔5分钟有一公共汽车经过。若某人随机到达此站，则他等车的时间X是一随机变量。例5：某元件

6、的可能寿命X 是一随机变量。例6：一新生婴儿的性别记为X，当是男婴取X为1，当为女婴时取X为0，则未出生前此婴儿的性别X为随机变量。 实值单值函数的映射不是指单射，而是相对于多值函数的一般映射。 严格定义中“集合e|X(e) x,任 xR有确定的概率”应加入定义。但实际中不满足此情形很少见，固未加入定义。 本书中，一般大写：X，Y，Z, W，表随机变量，小写：x, y, z, w，表实数。更多 随机变量取值随实验结果而定，在实验之前不能预知它的结果, 且其取值都有一定的概率, 固与一般函数有本质区别。 L为一实数集，X在L上取值记为XL, 它表示事件B= e|X(e)L,即B是S中使所有样本点

7、e所组成的事件，此时有PX L=P(B)= Pe|X(e)L。 如：在例2中取X为2，记为X=2，它表事件B=HHT,HTH,THH,PX=2=P(B)=PHHT,HTH,THH=3/8。 例例1：设一汽车在开往目的地的道路上要经四组信号灯, 每组信号灯以1/2的 概率允许或禁止汽车通过。以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯组数（设各组信号灯的工作相互独立），求X的分布律。 分析：分析：在第 i (1,2,3 ,4 )组信号灯前停下时，通过的信灯数为 i -1且此事件发生的概率为(1/2) i-11/2 (因子 (1/2) i-1表示前 i -1个允许通过的概率，因子1/2表示被第 i 个

8、禁止通过的概率)，同理，能到达目的地的概率为 (1/2)4。（解答） 解：解：以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，X所有可能取值为0，1，2，3，4。得X的分布律为：PX= k= (1-p)k p , k=0,1,2,3, PX= 4= (1-p)4。用表格表示如下： 代入p=1/2可得结果，可验证此结果满足分布律两性质。 X 0 1 2 3 4 pk p (1-p) p (1-p)2 p (1-p)3 p (1-p)4 说明：说明： 凡是可以用自然数1，2，编号的无限数集均为可列的。 如某城市120服务台一日内可能收到的呼唤次数是可列的，是一个离散型随机变量。 但一灯泡可能的寿命大小却是不

9、可列的，不是离散型随机变量。 说明：说明： 任一实验，若结果只有两个即S=e1,e2,则总可定义：X=X(e)= ，显然X服从(01)分布。 比如新生 婴儿是男还是女，明天是否下雨，抛一硬币是否出现正面等。21, 1, 0eeee当当 说明：说明： 记P( )=p (0p1),则P( )=1-p。n重伯努利实验定义中“重复”是指每次实验中 发生的概率不变。“独立”是指各次实验互不影响。记第i次实验结果为ci , ci为 ，i=1,2,3,n.由独立得到： Pc1 , c2 , cn =p(ci) p(c2) p(cn) . (2.5) n重伯努利实验是一个很重要的数学模型，有二项分布，几何分布

10、，巴斯卡分布等常见分布以它为模型。AAAA与AA与举例举例 抛掷一个硬币观察正面反面，就是一个伯努利实验。若抛掷n次就是n重伯努利实验。 抛掷一颗骰子，可得到6个点数，但是若我们考察结果是否为“1点”与“非1点”，则就是一个伯努利实验。若抛掷n次就是n重伯努利实验。 在一批产品中，若做n次放回抽样，观察得到的产品是否为次品, 则为n重伯努利实验; 若做n次不放回抽样，由于各次实验不相互“独立”，故不是n重伯努利实验。但是若此批产品的数目很大，抽出的数目相对很小，则此时不放回抽样可看作放回抽样, 如此n次不放回抽样也是n重伯努利实验 例例2： 按规定，某种型号的电子元件的使用寿命超过1500小时

11、的为一级品。已知某一大批产品的一级品率为0.2，现在从中随机地抽取20只。问20只元件中恰有k只（k=0,1,，20）为一级品的概率市多少。 分析：分析：这是不放回抽样。由于元件总数很大，而抽取的元件数量相对很少，检查20只元件相当于做20重伯努利实验。记X表抽取的20只元件中一级品的个数，则： （解答）)2 . 0 ,20( bX 解：解：以X表示20只元件中一级品的个数。则 。 将结果列表如下：)2 . 0 ,20( bX.20, 1 , 0,)8 . 0()2 . 0(2020kkkXPkk PX=0=0.012 PX=1=0.058 PX=2=0.137 PX=3=0.205 PX=4

12、=0.218 PX=5=0.175 PX=6=0.109 PX=7=0.055 P X=8 =0.022 P X=9 =0.007 PX=10=0.02 PX=k 0.001 , 当 k 11时 例例3： 某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。 分析：分析：400次射击可看成400重伯努利实验。击中的次数 。“至少击中2次”等价于“击中次数不是0或1次”。（解答）)02.0 ,400( bX 结论：结论： a. 决不可轻视小概率事件。 b. 当所求事件的概率很小或很大时，可以根据实际推断原理来判断实验的假设。 解：解：设击中次数为X，则 ，即：

13、所求事件概率： PX2=1PX=0 PX=1 =1(0.98)400 400(0.02)(0.98)399 =0.9972.400, 1 , 0 ,)98. 0()02. 0(40020kkkXPkk)02. 0 ,400( bX分析分析: 对第一种方法，“不能及时维修”等价于“4人中任1人负责的20台中有2台或2台以上的设备发生故障”。 对第二种方法，“不能及时维修”等价于“80台中有4台或4台以上的设备发生故障”。（解答）例例4：设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4个人维护，每人负责20

14、台；其二是由3人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维护的概率大小。解答：解答：对第一种方法. 以 Ai (i=1,2,3,4,) 表示“第i人维护的20台机器中发生故障不能及时维修”。则第一人维护的20台中同时刻发生故障的台数则发生故障不能及时维修的概率为（转下页） )01.0,20( bX0659.09831.01)(1)()()()(1)(1)(441432143214321APAPAPAPAPAAAAPAAAAP0169. 0)99. 0()01. 0(2011212)(1020101kkkkkkXPXPXPAP 对第二种方法.80台中同时刻发生故障的设备台数则发生

15、故障不能及时维修的概率为 比较第一、第二种方法。第二种方法虽然平均个人任务更重，工作效率却更高。 )01.0,80( bY0659. 00087. 0)99. 0()01. 0(8011414308030kkkkkkYPYPYP分析：分析：由分布函数定义，可根据随机变量X的分布律求出分布函数。再由随机变量落在任一区间上的概率与其分布函数的关系 如 (3.1) 易求解。（解答）（结论）例例1：设随机变量X的分布律为求X的分布函数，并求PX1/2， P3/2X 5/2， P2 X 3。 X -1 2 3 pk 1/4 1/2 1/4解：解：X仅在x= -1,2,3三点的概率0，根据分布函数定义及概

16、率的有限可加性：即：F(x)的图形如图25，是一条阶梯形曲线，有x= -1,2,3三个跳跃点，跳跃值分别为1/4，1/2，1/4。（转下页）3,132,2121,11,0)(xxXPXPxXPxxF3,132,4321,411,0)(xxxxxF 由分布函数定义：PX 1/2=F(1/2) = 1/4, P3/2X 5/2=F(5/2) F(3/2) =3/4 1/4=1/2,P2X 3=F(3) F(2) PX =2 =1 3/4 1/2=3/4.结论：结论：对已知离散型随机变量X的分布律： P X = xk = pk , k=1,2, 由概率的可列可加性可得出X的分布函数： F(x) =P

17、 X x = (3.2)它在x=x(k=1,2,)处有跳跃点，跳跃值为P X = xk = pk 。.xxkxxkkkpxXP分析：分析： 由题目已知可得: 1. 随机变量X的实际取值范围为0，2，故F(x)=0,x0； F(x)=1, x2； 2. p0X x=kx2, 其中 k待定且 0 x 2 ； 3. p0X 2=1（必然事件概率为1）。由 1, 2,3 三点易求X的分布函数。（解答） （结论）例例2： 一个靶子是半径为2米的圆盘，射击中靶上任一个同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。解：解：由于随机变量X的实

18、际取值范围为0，2，当x0 时, F(x)=0；当x2时， F(x)=1；当0 x 2时， P0 X x= kx2, 其中 k待定。 由于X必然落在0，2 上，必然事件概率为1， 所以p0X 2=1= 22k, 故k=1/4。 此时F(x)=PX x= PX 0 + P0 X x= F(0)+ 1/4 x2 = 1/4 x2 。 综上所述： 2, 120,40,0)(2xxxxxF F(x)图形是一个连续曲线如图26所示。 F(x)还可写成以下形式：其中 F(x)恰是非负函数f(t)在区间( - ,x 上积分，此时，我们称X为连续型随机变量。dttfxFx)()(.,020,2)(其它，ttt

19、f基本性质：基本性质：1. F(x)是一个增函数.2. 0 F(x) 1且;0)(lim)(xFFx.0)(lim)(xFFx3. F(x+0)= F(x),即F(x)是右连续的. 证明性质 1，2，3 分别要利用概率的： 1. 非负性，2. 规范性，3. 可列可加性.故分布函数的三个基本性质正好对应于概率的三个基本性质。证明：证明：是增函数。故且任)(0)()(.,. 121122121xFxXxPxFxFxxRxx)0()()0()()(lim)()()()()(.3111111xFxFxFxFxFxFxFxFxXxPxFxFxxxnnnnnnn故是严格递减的数列且记范性加以说明。可从几何

20、上利用规。而性得：由概率的规范性与非负0)(, 1)(1)(0,)(. 2FFxFxXPxF 分布函数F(x)表示事件Xx( 即X的取值落在区间(,x上 )的概率 。 对于任意实数 x1, x2 (x1 x2)，有 p x1X x2 = p X x2 p X x1 = F(x2) F(x1) 。 ( 3.1 ) 已知X的分布函数，就能知道X落在任一区间 (x1, x2上概率，分布函数完整描述了随机变量的统计规律性。 通过分布函数，我们能更进一步利用数学分析方法研究随机变量。 二项分布的数学背景 在n重伯努利实验中，p为事件A在每次实验中发生的概率，定义随机变量X为：“n重伯努利实验中事件A发生

21、的次数”，此时X所满足的分布律就是二项分布。 公式 中参数 n, p 分别表示伯努利实验的重数，事件A发生的概率。当n=1时，二项分布退化为 PX=k = p k (1-p)1-k, k=0,1.成为（01）分布。 （转下页）),(pnbX 二项分布分表达式中C nk p k q n-k 刚好是二项式(p+q)n 的展开式中出现的p k那一项，故称X服从参数 n,p 为的二项分布。 X所有可能取值为0，1，2，n。 显然 1. PX=k0，k=0,1,2, n;二项分布满足分布律两性质。 . 1)(. 200nknknknkqpqpknkXP 求PX=k，即是求n重伯努利实验中事件A发生k次的

22、概率。事件A发生k次的实验的可能方式有 种，它们是两两互不相容的，且每种发生的概率相同。由于各次实验相互独立, 故每种方式发生的概率为: pk (1 p)n-k 。记q=1p，即有：knC)6 . 2(., 2 , 1 , 0,nkqpknkXPknk 为泊松 分布参数且必大于0； X所有可能取值为0，1，2， ； 易证 1. PX=k0，k=0,1,2, n; 满足分布律性质。. 1!. 2000eekekekXPnkknkknk k=0时PX=k取最大值; 当 以k与PX=k 分别作为横纵轴的图形呈“峰”形。，当10, 1 现已发现许多随机现象服从泊松分布。这情形特别集中在两个领域中。 一

23、是社会生活中：如电话交换台中收到的呼叫次数，公共汽车站到来的乘客数，某地区某时间间隔内发生的交通事故等等。 二是物理学领域：放射性物质经过某区域的质点数，热电子的发射，显微镜下某区域的微生物或血球数目等等。 因此，泊松分布在运筹学，管理科学，物理学等方面有重要地位。back 4 连续型 随机变量及其概率概布 1.定义2.概率密度的性质3.注意4.几种重要的连续型随机变量 1）均匀分布 2）指数分布 3）正态分布 定义：定义：若对随机变量的分布函数 F(x)，存在非负数 f(x)，使对于任意实数x有 (4.1) 则称X为连续型随机变量。其中 f(x) 称为的概率密度函数。xdttfxF)()(返

24、回定义：定义：若对随机变量的分布函数 F(x)，存在非负数 f(x)，使对于任意实数x有 (4.1) 则称X为连续型随机变量连续型随机变量。其中 f(x) 称为的概率密度函数概率密度函数。xdttfxF)()(返回.27132)1 (,0432230,)(X1XPXkxxxkxxf）求（的分布函数；）求；（确定常数其它，具有概率密度设随机变量、例解解: (1), (2), (3) 注意：注意： 1 改变f(x) 的个别值并不影响F(x)的取值。 2 Px1Xx2 表示在区间( x1,x2 上曲线 y=f(x)之下的曲边梯形的面积. LxdxxfLXP)( 3 PxXx+x f (x) x 4

25、PX=a=0,其中a为任意实数。 5 PaXb =PaXb =PaXb . 返回（一）均匀分布 1 定义：连续型随机变量X具有概率密度 则称X在 (a, b) 上服从均匀分布， 记为： XU(a, b). 几种重要的连续型随机变量bxbxaabaxax10 2 分布函数 F(x) =其它0,1)(bxaabxf 3 性质性质：X落在(a,b) 中任意等长度的子区间上的等可 能性相同。 对任意L，若acc+L b,即在长度为L的子区间（c,c+L）上有Pc0,有PXs+t|Xs= PXt 证明： PXs+t|Xs = PXs+t,Xs/ PXs = PXs+t/ PXs =1-F(s+t)/ 1

26、-F(s) =PXt. / )(tstseee1 定义：设连续型随机变量X的概率密度为 (4.1) 其中 为常数，则称X服从参数为 的正态分布或高斯分布，记为XN( )。xexfx222)(21)(,2,xdtext222)(212 分布函数 F( X ) = （三）正态分布正态分布返回 (1) f(x) 0 (2) 或1)(dxxf21)(f (3) 曲线关于x= 对称。3 正态分布概率密度的性质 (4) 当x= 取得最大值 (5) 改变 对图形的影响。（制图）4 标准正态分布 若XN( ), 当 则称X服从标准正态分布。2,2,1, 0X 5 定理 若X N（ ），则Z= Z N（0，1）

27、。 6 标准正态分布的性质及应用 )()(12xx)(1)()1(xx)2(21xXxP21xXxP（3）3 法则00000074.991)3(2)3()3(3344.951)2(2)2()2(2226.681)1(2)1()1(XPXPXP（4）标准正态分布的 分位点 （定义） 返回目录 例3 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在 液体的温度（以 计）是一个随机变量，且X N（d,0.5) （1）若d=90,求X小于89的概率。 （2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0 .99,问至少为多少？ 求解 （1） P X 89 0228.09772.01)2(1)2(

28、)5 .09089(5 .090895 .090XP (2) 01.0)5.080()5.080(1)5.0805.01)5.0805.0)80(99.0ddddXPddXPXP即1635.81327.25.080dd故需即)()(0,0)(),()()(,)()()()()()()()()()(xfxFxxxxxffxxFxxFdxxxxfxFxxFdttfdttfdttfxFxxFdttfxxFxxxxxxxxxx时极限，有对上式两端求处连续，且在点又由积分中值定理得，则处增加微小的增量在点其它的概率密度为于是解得得）由解：（,043,2230,6)(,611)22(,1)(14330-x

29、xxxxfXkdxxkxdxdxxf返回4143,)22(630600)()2(3030 xxdxxdxxxdxxxxFxx4811)1()27(271)3(FFxP4143,42330120,0)(22xxxxxxxxF4143,)22(630600)()2(3030 xxdxxdxxxdxxxxFxx4811)1()27(271)3(FFxP4143,42330120,0)(22xxxxxxxxF4143,)22(630600)()2(3030 xxdxxdxxxdxxxxFxx4811)1()27(271)3(FFxP4143,42330120,0)(22xxxxxxxxF 定义：设XN

30、（0，1），若 满足条件 则称点为标准正态分布的 分位点。（图形）.10,zXP0.0010.0050.010.0250.050.103.0902.5762.3271.9601.6451.282z例如： 5 5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布1. 离散型随机变量的函数分布2. 连续型随机变量的函数概率分布3. 定理 离散型随机变量的函数分布离散型随机变量的函数分布 已知随机变量X的分布律，求Y = g(X) (g（.）为连续函数的分布律) 一般若已知随机变量X的分布律为 则Y = g(X)的分布律为 X x1 xn Pk P1 Pn Y g (x1 ) g(xn ) Pk P1 Pn

31、 例题1：设随机变量X具有以下的分布律， 试求Y=（X-1）2的分布律。X -1 0 1 2Pk 0.2 0.3 0.1 0.4解： 注：此处若有相等的项需合并 Y 0 1 4P 0.1 0.7 0.2Y=(X-1)24 1 0 1Pk0.20.30.10.4返 回其它。0, 408)(xxxfX例题2 设随机变量具有概率密度 求随机变量Y=2X+8的概率密度.xxfX),(例题3 设随机变量具有概率密度 求Y = X2的概率密度？ 连续型随机变量的函数概率分布返 回的反函数。是其中其它率密度连续型随机变量，其概是则或恒有处处可导且恒有又设函数具有概率密度设随机变量)()().(),(max(),(),(min(0,)()()()(,0)(0)()(,),(xgyhggggyyhyhfyfXgYxgxgxgxxfXXYX定理：定理：（证明）例题4 设随机变量 ， 试证 明X的线性函