《圆锥曲线与方程》全章复习与巩固(理)

1、圆锥曲线与方程全章复习与巩固编稿：李霞 审稿： 张林娟【学习目标】（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。数学探索©版权所有（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质数学探索©版权所有（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质（4）掌握直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用.【知识网络】直线与圆锥曲线的位置关系圆锥曲线曲线与方程圆锥曲线与方程椭圆的定义及标准方程椭圆椭圆的几何性质双曲线的定义及标准方程双曲线双曲线的几何性质抛物线的定义及标准方程抛物线抛物线的几何性质【要点梳理】要点一：圆锥曲线的标准方程和几何性质1椭圆：（1）椭圆概念平面内与

2、两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。要点诠释：上方程中的大小，其中；在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。（2）椭圆的性质范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；对称性： 椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点： ，是椭圆的四个顶点。同时，线段、分别叫做椭圆的长

3、轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为。2双曲线（1）双曲线的概念平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线.要点诠释：式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；当时，表示两条射线；当时，不表示任何图形；两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。（2）双曲线的性质范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双

4、曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。渐近线： 渐近线方程：.

5、这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。3抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。方程叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是 ；（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程图形焦点坐标准线方程范围对称性轴轴轴轴顶点离心

6、率要点诠释：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。要点二：直线和圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线有三种位置关系：相交，相切，相离。1直线与圆锥曲线C的位置关系判断直线与圆锥曲线C的位置关系时，将直线的方程代入曲线C的方程，消去y（也可消去x）得一个关于变量x（或y）的一元二次方程ax2+bx+c=0。当a0时，若0，则与C相交；若=0，则与C相切；若0，则有与C相离。当a=0时，即得到一个一次方程，若方程有解，则直线与C相交，此时只有一

7、个公共点若C为双曲线，则平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则平行于抛物线的对称轴。2直线被圆锥曲线截得的弦长公式：斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，设，则弦长公式：当时, 弦长公式还可以写成：要点诠释：（1）当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线和双曲线、抛物线可能相切，也可能相交。（2）利用弦长公式求弦长时，应注意应用韦达定理。要点三：有关圆锥曲线综合题类型1.求圆锥曲线方程的方法定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定

8、量”的步骤：定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置，如果位置不确定时，考虑是否多解。此时注意数形结合，在图形上标出已知条件，检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确等。定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0) 定量由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。此处注意n个未知数，列够n个独立的方程，并注意“点在线上”条件及韦达定理的使用。直接法建系设点点满足的几何条件坐标化整理化简成最简形式证明（可省略，但必须删去增加的或者补上丢失的解）代入法当题目中有多个动点时，将其他动点

9、的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.参数法 参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.常见的参数法有：（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x轴上一动点P，常设P（t，0）；直线x-2y+1=0上一动点P。除设P（x1,y1）外，也可直接设P（2y,-1,y1）（2）斜率为参数 当直线过某一定点P(x0,y0)时，常设此直线为y-y0=k(

10、x-x0)，即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等。（3）角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。要点诠释：（1）求轨迹方程的一般思路：若曲线的类型已确定，一般用待定系数法；若曲线的类型未确定，但曲线上动点的运动在题目中有明确的表述，一般采用直接法；若动点的变化依赖于另一相关点的变化，一般采用相关点法（代入转移法）；若动点坐标之间的关系不易找出，一般可采用参数法。但应注意所列方程个数比参数个数要多一个，才可以消去参数。（2）求轨迹方程应注意的问题：求轨迹方程后一定要注意轨迹的纯粹性和完备性；以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应的关系, 尤其是题中涉及三

11、角形、斜率、参数方程中参数的限制, 往往使方程产生增根。要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念。2.直线与圆锥曲线相交 - 弦的有关问题： 韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。设而不求法：解析几何的运算中，常设一些量而并不解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，

12、即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，将两式作差可得：。（2）与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，将两式作差可得：（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),同样设点作差可得2y0k=2p, 即y0k=p.3求取值范围或最值： 参数方法-将待求范围参数表示为另一个变量的函数，注意求函数的定义域。 方程与不等式组-n个未知数，列够n个

13、独立方程或不等式，注意归纳总结列不等式的方法： 利用几何性质求参数范围； 利用不等式性质(结合几何性质)求参数范围【典型例题】类型一：圆锥曲线的方程与性质例1. 已知两定点、，且，动点到与到的距离比为常数，求点的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.【思路点拨】建立坐标系，再依据题中已知条件直接列出几何关系式子，再将其“翻译”成数学语言即可.【解析】如图所示建立坐标系，则、，设是轨迹上任意一点则由题设，得,坐标代入得,化简得：整理得：点M的轨迹方程是 点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆.【总结升华】本题采用的是直接法，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程。

14、举一反三：【变式1】已知两定点、，且，动点满足：,求点的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.【答案】建立坐标系如图所示，则、，设是轨迹上任意一点则，由，得,整理得：点M的轨迹方程是；轨迹是圆.【高清课堂：圆锥曲线综合371714 例2】【变式2】设、是双曲线x2y24的两焦点，是双曲线上任意一点，从引平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程是【答案】设O为F1F2的中点， 延长F1P交QF2于A，连接OP，据题意知：AQF1为等腰三角形所以QF1=QA|QF1-QF2|=4|QA-QF2|=4即AF2=4OP为F1F2A的中位线OP=2故点P的轨迹为以O为圆心，以2为半径的圆，方程为：x2+y2=4例

15、2过原点的直线与曲线y=x2-2x+2交于A，B两点，求弦AB中点的轨迹.【思路点拨】AB的中点是受A，B两点的影响而运动的，而A,B的运动是由于直线的转动而导致的，因此可以选择直线的斜率k作为参数.【解析】设AB的中点M(x,y), A(x1,y1), B(x2,y2),依题意，直线的斜率必须存在，设为k, 又直线 过原点，直线的方程为：y=kx, 将此式代入y=x2-2x+2整理得：x2-(2+k)x +2=0 x1+x2=2+k, 由消去k，得。又由于直线与曲线有两交点，故(1)式中的判别式>0, (2+k)2-8>0, 解得或 ,或所求的轨迹是抛物线y=2x2-2x(或)部

16、分。【总结升华】在处理涉及直线和二次曲线交点的轨迹问题时，直线的斜率是常用的参数,即“k参数”，此时要考虑直线的斜率不存在这一特殊情况.参数的选择多种多样，应视具体情况而定 常见的参数有k参数、点参数，也可以选有几何意义的量如角参数、参数a,b,c等。恰当选择参数，可以简化解题过程.解题时应先对动点的形成过程进行分析，确定参数，探求几何关系，建立参数方程.对参数方程化简以后，要重视检验工作，确定变量的范围.举一反三：【变式1】设双曲线的两个焦点分别是F1和F2, A 、B分别是双曲线两条渐进线上的动点, 且, 求线段AB中点的轨迹方程.【答案】设A点在渐近线上, B点在渐进线上, A(x1,

17、y1), B(x2, y2),线段AB中点 M(x, y), 由=30,得, , 化简得.【变式2】设直线x-y=4a与抛物线y2=4ax 交于两点A，B (a为定值)，C为抛物线上任意一点，求ABC的重心的轨迹方程.【答案】设ABC的重心为G(x,y) ,点C的坐标为C(x0,y0),A(x1,y1), B(x2,y2) 由方程组消去y并整理得：x2-12ax+16a2=0x1+x2=12a, y1+y2=(x1-4a)+(x2-4a)=(x1+x2)-8a=4a由于G(x,y)为ABC的重心, 又点C(x0,y0)在抛物线上，将点C的坐标代入抛物线的方程得：(3y-4a)2=4a(3x-1

18、2a), 即又点C与A，B不重合，。【变式3】以抛物线的弦AB为直径的圆经过原点O, 过点O作OMAB, M为垂足, 求点M的轨迹方程.【答案】设直线OA方程为, 代入得A点坐标为,，, 同理可得B(), 直线AB方程为, 即: 直线OM方程为,得: , 即为所求点M的轨迹方程.类型二：直线与圆锥曲线相交 - 弦的有关问题： 例3判断直线与椭圆的位置关系。【思路点拨】直线方程与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，通过对判别式的考虑，从而对参数k进行分类讨论. 【解析】由可得（1）当时，直线与椭圆相交；（2）当时，直线与椭圆相切；（3）当时，直线与椭圆相离.【总结升华】（1）直线与椭圆有相

19、交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去或得到关于或的一元二次方程，则有：直线与椭圆相交；直线与椭圆相切；直线与椭圆相离。所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。（2）判断直线与椭圆相交，还可证明直线经过椭圆内的某定点。定点在椭圆内部，则。举一反三：【变式1】讨论直线与双曲线的公共点的个数【答案】 联立直线与双曲线方程，消去y得当即时，当即时，由得；由得；由得或所以当时，直线与双曲线相交于两点；当时，直线与双曲线相切于一点；当时，直线与双曲线相交于一点；当时，直线与双曲线没有公共点，直线与双曲线相离【变式2】已知直线y=(a+1)x1与曲线y2=ax恰有一个公共

20、点，求实数a的值.【答案】联立方程（1）当a=0时，此方程恰有一组解为：（2）当a0时，消去x，得.若，即a=1，方程变为一元一次方程：y1=0，方程组恰有一组解：若，即a1令得：，可得，这时直线与曲线相切，只有一个公共点.综上所述知，当a=0、1、时，直线y=(a+1)x1与曲线y2=ax恰有一个公共点.例4设直线过双曲线的一个焦点，交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，若，求|AB|的值。【思路点拨】直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达定理进行求解。【解析】当ABx轴时，点A（2，3），B（2，3），不满足条件。则直线AB斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y=k(x2)。代入

21、双曲线方程，得即。设点，则当>0时，。从而 。，解得。此时，故由焦点弦长公式，得：。【总结升华】 处理涉及直线和二次曲线交点问题时，一般设出交点坐标，但不求交点坐标，而 是用韦达定理作整体运算（把x1+x2或x1x2看作一个整体），即所谓“设而不求”. 涉及直线与双曲线相交弦的问题，0是必不可少的条件。关于直线与双曲线的某一支的相交问题，不但要考虑0，同时要考虑方程根的取值范围。举一反三：【变式1】已知点A和B ，动点A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线yx交于D、E两点，求线段DE的长.【答案】设点C（x , y）,则CA |CB |±.根据双曲线的定义，可知点

22、C的轨迹是双曲线.由2a ，得a2，b2.故点C的轨迹方程是.由，得x24x.，直线与双曲线有两个交点.设D（x1，y1）、E（x2，y2），则x1x2，x1·x26.故.【变式2】设椭圆的左、右焦点分别为、，A是椭圆C上的一点，且，坐标原点O到直线的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点，较y轴于点M，若，求直线l的方程【答案】（1）由题设知由于，则有，所以点A的坐标为，故所在直线方程为，所以坐标原点O到直线的距离为，又，所以，解得，所求椭圆的方程为（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，则有，设，由于，解得 又Q在椭圆C上，得，解

23、得， 故直线l的方程为或， 即或 类型三：求取值范围或最值：例5. 定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。【思路点拨】（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。【解析】解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)则由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9即(x1+x2)2-4x1x2·1+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x0)2-(8x