初三数学第11讲：圆的认识及垂径定理学案

1、圆的认识及垂径定理适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域通用课时时长（分钟）120知识点1、弦、弧（优弧、劣弧、等弧）的定义2、圆的垂径定理学习目标1、掌握圆弧的概念以及优弧、劣弧、等弧、弦的定义.2、理解并掌握垂径定理的内容并能利用垂径定理解决数学问题.学习重点掌握垂径定理的内容并能利用垂径定理解决数学问题.学习难点利用垂径定理解决数学问题.学习过程一、复习预习1、已知圆的半径为r,则圆的周长：2M2、求圆的面积时题中给出的已知条件有几种情况？怎样求出圆面积?已知半径r求面积S=曲2已知直径d求面积 S=兀（f ） 2已知周长c求面积S=兀（呈）23、环形面积：S=兀（R2-r2）二、知

2、识讲解考点 1圆的认识（弦、弧）1 、什么叫弦？直径与弦的关系？弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径.2、什么叫弧？什么叫优弧？什么叫劣弧？什么是等弧？弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，大于半圆的叫优弧，小于半圆的叫劣弧，能够完全重合的两条弧叫等弧3、圆的对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？圆即是轴对称图形也是中心对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴考点2垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.已知：直径CD、弦AB且CD，AB垂足为M求证：AM BM , AC=BC, AD=BD.BC即可.分析：要证AM BM ,只要证A

3、M、BM构成的两个三角形全等.因此，只要连结 OA、OB或AC、证明：如图，连结 OA、OB,则OA=OB在 Rt OAM 和 Rt OBM 中OA OBOM OM.Rt OAM Rt OBM.AM BM 点A和点B关于CD对称 . OO关于直径CD对称；当圆沿着直线cd对折时，点a与点b重合，AC与BC重合，AD与BD重合.C C C C AC=BC, AD= BD进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧垂径定理推论：1 、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧推论扩展推论 1 ： （ 1 ）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦

4、，并且平分弦所对的两条弧。2 ）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。2、垂径定理及其推论可概括为尸过圆心、垂直于弦1 y直径平分弦知二推三平OT的弧三、例题精析例1【题干】卜列五个命题:(1)平分弦的直径必垂直于弦(2)圆是轴对称图形，对称轴是直径(3)圆中两点之间的部分叫做弧(4)长度相等的两条弧叫等弧(5)直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径其中真命题有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】(1)平分弦(不是直径)的直径必垂直于弦，故原命题是假命题,(2)圆的

5、对称轴是直径所在的直线，故原命题是假命题，(3)圆上两点之间的部分叫做弧，故原命题是假命题，(4)能够完全重合的两条弧叫等弧，故原命题是假命题，(5)直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径，原命题是真命题，其中真命题有1个.例2【题干】如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中 55,点。是55的圆心，矶中CD=600m , E为方上一点, 且OELCD,垂足为F, EF=90m ,求这段弯路的半径.【答案】：如图，连接OC设弯路的半径为R,则OF= (R-90) m.OEXCD1 1 CF CD 600 300m 22根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2即 R2=300 2+ (R-90) 2

6、 解得 R=545这段弯路的半径为545m .【解析】连接OC设弯路的半径为R,根据垂径定理及勾股定理求解即可例4【题干】下列说法：半圆是弧；弧是半圆；圆中的弧分为优弧和劣弧.其中正确的个数有（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】解：半圆是弧，正确；弧是半圆，错误；圆中的弧分为优弧和劣弧还有半圆，故错误.所以正确的有一个，故选B.例4【题干】已知：。的半径为10cm,弦AB/CD, AB=12cm , CD=16cm ,求AB、CD间的距离.【答案】解：(1)如图，当。O的圆心O位于AB、CD之问时，作OM XAB 于点M，并延长MO , 交CD于N点.分别 连结AO、CO.又

7、AB /CD. .ON ±CD,即ON为弦CD的弦心距.AB=12cm , CD=16cm , AO=OC=10cmAM=,CN=CD =Bcm 22I .，I 广.41=8+6=14(cm)(2)如图所示，当。的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时同理可证：MN=OM-ON=8-6=2(cm).0O中，平行线AB、CD间的距离是14cm或2cm.【解析】解这类问题时，要依平行线与圆心间的位置关系及垂径定理的知识，分类讨论，千万别丢解.在解圆的有关问题 时经常会出现多解的情况，要特别注意例6【题干】下列说法中，错误的是（）弦是直径；半圆是弧；长度相等的两

8、条弧是等弧；能够互相重合的弧是等弧；大于半圆的弧是劣弧，小于半圆的弧是优弧.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】c【解析】根据弦、直径、弧的概念进行判断.解：过圆心的弦是直径.故错误；半圆半圆就是一条弧.故正确；长度相等的两条弧是等弧.故正确；在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧.故错误；大于半圆的弧是优弧，小于半圆的弧是劣弧.故错误;综上所述，错误的结论有3个.故选：C.例6【题干】已知如图，等腰三角形ABC中，AB=AC ,半径OB = 5cm ,圆心O到BC的距离为3cm ,求A到BC的距离.【答案】解：作ADLBC,交BC于点D,则AC必过圆心O, RtSDB , OB=5

9、cm , OD=3cm ,勾股定理可得BD=4 ,由等腰三角形三线合一的性质， AD即为A到BC的距离，AD=AO+OD =5+3 = 8cm【解析】由垂径定理的推理得，垂直弦且平分弦的弦必过圆心，是直径例7【题干】下列语句中正确的个数为（）等弧的度数相等；等弧的弧长相等；长度相等的弧是等弧A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个;度数相等的弧是等弧.【解析】 根据等弧的概念，在同圆或等圆中，度数相等或长度相等的弧叫等弧解：等弧的度数、长度都相等， 1 、 2 都对；而度数相等或长度相等的弧不一定相等， 3、 4 错误，故选 B 例9【题干】绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距

10、离 CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（ ）A. 4mB. 5mC. 6mD.8m【答案】D【解析】解：连接0A,D B桥拱半径0C为5m ,.CD=8m ,.0A=5m ,-0D=8 - 5=3m ,-'-AD= 7OA2 -0D2= a/52 - 32=4m ，,.AB=2AD=2 X4=8 (m );故选；D .例10AB=?60m ,水面到拱顶距离CD=18m ,当洪水泛【题干】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽滥时，水面宽MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由.0【答案】 解：设OA=R ,在RtAOC中，AC=30 , CD=18R2

11、=302+ （R-18） 2 R2=900+R 2-36R+324解得 R=34 （ m ）连接 OM ,设 DE=x ,在 RtdMOE 中，ME=16342=16 2+ （34-x ） 216 2+34 2-68x+x 2=34 2x2-68x+256=0解得 x1=4 ， x2=64 （不合题意舍）. DE=4不需采取紧急措施.【解析】：要求当洪水到来时，水面宽 MN=32m?是否需要采取紧急措施， 次要求出DE的长，因此只要求半径R,然后运用几何代数解求R例10【题干】如图，在同一平面内，有一组平行线11、12、13,相邻两条平行线之间的距离均为 4,点O在直线ll上,与直线13的交点为A、B, AB=12 ,求。的半径.【答案】解：连接OA,过点。作ODLAB,;相邻两