函数的压轴小题练习题和详细的分析解答(4)零点问题

1、函数的压轴小题练习题和详细的分析解答(4)零点问题9.已知函数，(x)(3a - 2) x2 - 8x+12a+7, g (x) =/nx,记(x) =min(f (x), gG) ,若6 (x)至少有三个零点，则实数。的取值范围是()A. (8, - ) B. , +oo)108r 1 1、 r 1 1C.,-)D.,-10 810 8且内< 1 < X, <,则的值为OB. -81C. -9D. 910.已知函数/(x) = 9(lnxy+(a 3)工111工+3(3-4)/有三个不同的零点公，巧，A. 81-X + l,X<0 211.已知/a)= V+xsinx

2、, g(x) =,若/(g(x) 一相=。有四个不111X4-X+1_,x>0xex同的解，则实数川的取值集合为。A. (0,1 + siiilB. (0,1C. 1,1+sinl D. 1+sinl12.函数f(x) = 41nx-ar+3存在两个不同零点占，%,函数g(x) = V-奴+ 2存在两个不同零点七，5,且满足玉 内 匕，则实数。的取值范围是B.A. 3,4e 4c. 2立 3)x2 + 2xx > 213.已知函数/(# = 屋' '函数g(X)= "M-有两个零点，则实数，的取值 x+2,x<2,范围为()888SA. (o,)B,

3、 (,4C. (0,)D. (口,r)U4,y)ee-ee14 .函数/(x) = 4In x- or+3在两个不同的零点占,七,函数g(x) = V - or + 2存在两个不同的零点不，匕、且满足用 须& Z，则实数的取值范围是OA,(°，3)B. (2/2,3) C. (2五,4)彳) D.(3,4C)15 .定义在R上的奇函数/W满足，当火£(0,2)时，/(x) = cos(ga-l),且x之2时, 有/ J) = g 1一 2)，则函数尸0) = x2f(x) 一 x在2,5上的零点个数为()A. 9B. 8C. 7D. 616 .设定义在R上的函数f(

4、x)是最小正周期为2 n的偶函数,f(x)是f(x)的导函数，当xe 0, m时，o<f(x)<l；当 x£(0, m 且 xw1时，f x-J /*(x)>0 ,则函数 y=f(x)|sinx| 在区间3 3上的零点个数为()A. 4B. 6C. 7D. 8函数的压轴小题练习题和详细的分析解答(4)零点问题9.已知函数，(x)(3a - 2) x2 - 8x+12a+7, g (x) =/nx,记(x) =min(f (x), gG) ,若h (x)至少有三个零点，则实数。的取值范围是()A. (-8, 一之) B. , +oo)C. 一D一10810 810 8

5、【答案】D 【解析】 【分析】根据选项，选择"0和。=:进行判断，分别排除，即可得解.【详解】 当。二。时，函数/(x)= ax3- (3a - 2) x2 - 8x+12cr+7,化为：f (x) =2 - 8x+7,函数的对称轴为42,f (2) = - 1<0, f (1) =1>0,结合已知条件可知：h (x) =min f (x), g (x) ,若 h (x)有三个零点，满足题意，排除4 8选项，、i,1 3,333x2 + 26x-64当°=一时，/ (x) = -X3 -(2) x2 - 8xh1-7, f (x)=,888283232令 3x?

6、+26x - 64=0,解得 x=2 或*=, xG ( - <»,), xG (2, +°°), f (x) >0,33函数是增函数，32xe2), f (x) <0,函数是减函数，所以产2时函数取得极小值，/ (2) =0,所以函数由3个零点，满足题意，排除C,故选：D.【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，考查了利用导数求函数单调性，考查了分类讨论思想和 排除法，要求较高的计算能力，属于难题.的值为。B. -81C. -910.已知函数/(1)=9(111工+(4-3)工111工+3(3-4*有三个不同的零点占，/，&，D. 9A

7、. 81【答案】A【解析】【分析】把/（X）的零点转化为4 _ 3 = 90nx） 3x2 -xlnx可得方程9产（51+。>+ 81 = 0有两实根人 明 由判别式大于。解得。的范围，再由根与系数的关系可得L+G = q>? = 6, 4& = 9,进一步得到"3, G = ；<3,rIn X c rIn X, r rIn X,与In X.结合 X <l<x, </，可得 3L>3,3 <3, 3<3,则可知 3L=r1,石x2x3演心用卜詈卜詈卜心3【详解】/(x) = 9(lnx)2 + («-3)xlnA

8、-+3(3-a)x2=0/.(6f-3)(lnx-3x2) = -9(lnx)9(lnx)-E3x2 -xliix 二 hix3X令f = 3-处，re(0,+oo),则处=3-3 XX,. 1-liix lnx-1令r = 0,解得X = ef£（0,。时，f <0,，单调递减；f£（e,+8）时，f >0,，单调递增;r 9(3 f )2 9r-54r + 81 a - 3=9”(51+力+81 = 0.设关于t的一元二次方程有两实根jG ,/. A = (51+6f)2-4x9x81>0 ,可得a>3或a v-105.9(3-r)2 如 . a

9、-3 = >0 » 故a>3t* ci <-105 舍去.51 + a、51 + 3八.f1+/,= > = 6,柩=9 .又.4+ G =。= N 2d=6 ,当且仅当/ =人=3时等号成立,( -9由于.a>3, =-<3 (不妨设乙G). 1.,_ In X. _ 111X, _ 111X, _x. < 1 <x, <X,可得3L> 3, 3<3, 3 <3.为占占故选：A.【点睛】 本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，考查一元二次方程根的分布, 属难题.-x+l,x<0 ,211

10、.已知/() = /+ XSinx, g(x) =.,若/(g(x)-1 = 0 有四个不111X4-X+1.,x>0xex同的解，则实数”的取值集合为OA. (0,1 + siiil B. (0,1C. 1,1+sinl D. 1+sinl【答案】D【解析】【分析】根据导函数分别讨论两个函数的单调性，将问题转化为讨论/«)m= Oj = g(x)的根的个数.【详解】/(x) = x2+ xsinx是定义在R上的偶函数,讨论当 x>0 时，f'(x) = 2x+sinx+xcosx = x(l+cosx)+x+sinx,当0 cx<r,x+sinx>0

11、, x> ;r,x+sinx> 乃一1> 0,所以 r(x) = 2x+sinx+xcosx = x(l+cosx)+x+sinx >o,即函数/a)= V + xsinx在xe0,+s)单调递增，%£(-8,0单调递减, /(0) = 0,g(x) =111X+X4-1 八,X>0 rxex>0| + 1 |xer-(lnx+x+l)(x + l)e；=(2);(”一) (xer)(xev) 考虑=_lnx-x在(0,+)单调递减，/?( 一) = 1= 1 所以必存在与使得(%)=0, % = 111几,靖。=一, 则 (x) = -lnx-x

12、 , xe(0,x0),7?(x) = -lnx-x> 0, xe(x0,4-oo), h(x) = -hix-x<0 g(x)在xe(O,x。)单调递增，x4天,+8)单调递减， g(x) = g(%) = h*。+ "。+ 1 = 7。+ r 1 = 1 所以 rx0*1 / 八一，、lnx+x+1f-O0 ,若/(g(x)一m=o有四个不同的解，考虑 f(t)-m = Q,t = g(x)f若帆=0,则f = g(x)=O仅有两根，不合题意；所以加>0, /(。=见两根612,设。=T?g(x) =，i，g(x)=F一共有四个根，当G>Lg(x)=fi，

13、无解，当f=Lg(x) = l, g(x) = -l, 一共四个不同实根,此时=f(l) = l+sinl, Ovf<Lg(x) =。三个实根，g(x) = f 两个实根，不合题意， 综上所述帆= l+sinl.故选：D【点睛】此题考查根据方程的根的个数求解参数的取值范围，关键在于熟练掌握利用导函数讨论函数 性质，根据函数性质处理方程的根的问题.12 .函数f(x) = 41nx-or+3存在两个不同零点%, %,函数g(# =/一如+2存在两个不同零点七，几，且满足则实数。的取值范围是'-八(A. 3,4e 4B. 2啦,4e 4 / /C. 2点,3)D. S3)【答案】A【

14、解析】【分析】求导根据有两个零点得到0<<4eV；再根据二次函数有两个解得到2jJ<a<4e-1根 据零点的大小关系得到“占)=4E占-公3+3<0,消元得到41nx3 &? + 1<0,构造函数计算得到答案.【详解】4/(x) = 41n1一QX+ 3(x > 0) /. f *(x)=a ,x4当。<0时，/0:)=一一。>0恒成立，“X)单调递增，最多有一个零点，不满足 x44当。>0时，")在(0,)上单调递增，(一,+8)上单调递减aa444i满足/(一) = 41n a- + 3>0,解得 一屋工

15、a a aa ye综上所述：0<<4eV函数g(x) = V 一 ax + 2存在两个不同零点，则 = / 一 8 > 0. a v-2 或a > 2故 2a<<46一；零点满足& <XL <X2 <X4，则/(为)=4足入3 一。演+3<。且/(工4)= 4比工4一。“4 + 3<。又因为占2-。占+ 2 = 0,代换得到4111天一< +1 <044考虑函数尸(x) = 41nx / + l,验证知，/(1) = 0, Fx) = -2x =XX尸(x)在(0,")上单调递增，(JJ,+8)上单

16、调递减故伫应三<,解得。>32此时4 = 4 + 2 一8 兀 F(2) = 41ii2-22+1<0,满足/区)<0综上所述：3,4eW /【点睛】本题考查了函数的零点问题，综合性强，计算量大，通过消元得到函数/(x) = 41nx-炉+ 1是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力.r+ 2X x>213.已知函数/(# =彳 婷''函数g(x) = F(M-，有两个零点，则实数，的取值x+2,x<2,范围为()8888A. ( ,r)B. (,4C. (0,)D. (-co,-)U4,-kx)e-eee-【答案】C【解析】分析：求出/W的

17、导数，研究“X)在x>2时的单调性和极值，结合x«2时f(x) = x + 2的性质可得结论.详解之2时，设(乃="，则如)=3+2*：,+ 2可. exex8易知当x>2时，'(x)<0,即(x)是减函数，.x = 2时 (x)最大=(2)=7，又 x时,h(x) - 0 且 /?(x) > 0,而x«2时，/(x) = x+2是增函数，/(2) = 4.g(x) =一根有两个零点，即y = /(x)的图象与直线 > =机有两个交点，8所以0<机<7，故选C.点睛：函数的零点问题常常转化为函数的图象与直线的交点，

18、如本题，g(x)有两个零点，即y = /(x)的图象与直线> 二6有两个交点，因此只要研究的单调性与极值，再结合 图象可得结论.14.函数/(x) = 4Inx-奴+3在两个不同的零点用,七,函数g(x) = / - or + 2存在两个不同的零点占,匕，且满足不<%,则实数，的取值范围是OA. (0,3)B. (2/3) c.(2"4广) D(3,4芳)【答案】D【解析】【分析】先求出/(x)有两个不同零点时。的范围，再求出g(x)有两个不同零点时。的范围,再画出y = 41nx+3与y = / + 2的图象，可得一交点为(1,3),进而由图象得到。的范围，使之满足/

19、<内 <占<七,再与之前所求得交集即可【详解】由题,/”）=3-。，当Vo时,ra）o恒成立，即在（o,+上单调递增，无法满足 X题意，故舍去；当a 0时，令r（X）= 0,可得X =，则/（X）在（0, H上单调递增,（3+8上单调递减，且x f0时,f（x）v0,故由题需满足即4厂；由上式可得。 0,因为g（x） = V -ax+ 2存在两个不同的零点，则 = （一。）一 一8 0,即a 2正，令F （力=。，8（力=。,则4111工+3 = 0¥/2 + 2 = 0¥,可得当4111犬+ 3 =12 + 2时,易得一解为x = l,此时。=3,另一解

20、设为x = x0,则当xe（Lx°）时,y = 41nx+3在=炉+ 2的只有当。3时，由图象可得1/ 石 & 匕 玉），/ _i 综上,3,4e1 /故选D【点睛】本题考查由零点个数求参问题，考查利用导数判断单调性的应用，考查运算能力15.定义在R上的奇函数/W满足，当久£（0,2）时，x） = cos（5al）,且x之2时,有“X）= g /。- 2）,则函数尸0） = x2f（x） 一 x在-2,5上的零点个数为（）A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】B【解析】【分析】先由奇函数性质求出函数在-2,2上的解析式，再利用/(x) = ；/(x2).得到2,5

21、的图象，尸(x) = t7(x) x的零点个数，等价于求/(x) = 4的解的个数.根据两函 x数交点个数即可求解.【详解】当 (0,2)时，/(x) = cos(/(x -1) = cos(-xy) = sin(-x),v/ x 是奇函数，./(。，=。，当xN2时，有/(x) = g/(x-2), ,-./(2)=1/(0) = 0, /(4) = 1/(2) = 0,若不£(一2,0),则一x«0,2),则/(一工)=5111(5工)=一5111(；1%)二一/(不),即 f (x) = sin('x), x E(2,0)即当-2<x<2时，/(x

22、) = sin(yx),当2Kx<4时，0«x2«2,此时/(X) = g /(X _ 2) = gsin(x-2) = isin(x - %) = _ g sin(y x),当4Kx<5时，2<x2«3,此时f(x) = 37(工-2) = -；sin(x-2) = 1 sin(x %) = ；sin(x),由尸(X)= x2/(x)一x = (),得：当x = 0时，由尸(0) = 0,即x = 0是尸(x)的一个零点，当XW0时，由一. = 0得Mx) = l,即/(%) =,X作出函数/(冷与8(# =在，2,5上的图象如图： x由图象知两个函数在2,5上共有7个交点，加上一个x = 0,故函数尸(x) = /(x)-x在-2,5上的零点个数为8个，故选：B.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用.判断函数零点个数的方法：直接法:即直接求零点，令/(刈=0,如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法:即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间。，以上是连续不断的曲线， 且/(。)/)<。，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少 个零点图象法:即利用图象交点的个