角度制与弧度制

1、任意角和弧度制知识点1.角的分类：(1)正角：一条射线逆时针方向旋转形成的角(2)负角：一条射线顺时针方向旋转形成的角(3)零角：一条射线不做旋转2 .象限角的概念：(1)定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.(2)轴线角：如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角。(3)终边相同的角的表示：所有与角“终边相同的角，连同a在内，可构成一个集合S= 3 | 3 = a+ k , 360 kCZ,即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整个周角的和.注意：C k ZC 是任一角；C终边

2、相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个，它们相差360 °的整数倍；C角a + k 7201 a终边相同，但不能表示与角a终边相同的所有角.例如：第一象限角的集合为k360o第二象限角的集合为k360o第三象限角的集合为k360o第四象限角的集合为k360o终边在x轴上的角的集合为终边在y轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为k 360o 90o, k；o o o90 k 360 180 ,k180o k 360o 270o,k270ok 360o 360o,kk 180o,k;k 180o 90o,k；k 90o, k.3 .由角 所在象限判断 一所在

3、象限:2e、 e2£万C、££2C、£2C、£4 .弧度制:(1)角度制：规定把周角的 工作为1度的角，用度做单位来度量角的制度叫做角度制.360(2)弧度制：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角;在弧度制下,1弧度记做1rad.在实际运算中，常常将 rad单位省略.(3)弧度制的性质： _ re半圆所对的圆心角为 一re正角的弧度数是一个正数.e零角的弧度数是零.£整圆所对的圆心角为2-r- 2re负角的弧度数是一个负数.£角a的弧度数的绝对值| a|=.r注：角度制是60进制，弧度制是十进制：5 .角度与弧度之间的

4、转换：C将角度化为弧度：3602 ； 180； 1 0.01745rad ; n rad .180180e将弧度化为角度：2p = 360?； p = 180?； rad (180-)6 .常规写法:e用弧度数表示角时，常常把弧度数写成多少 兀的形式，不必写成小数.e弧度与角度不能混用.要不用弧度制，要不统一角度制。7 .特殊角的弧度角度0°30°45 °60 °90 °120135°150°180°270°360°弧023532度643234628.弧长公式- l R ,其中 的单位是弧度。

5、r、.一 . 八 1 一21 一扇形面积公式：S 1 R2lR22角度制表示弧长和面积：360c n 2S R360题型一：表示终边相同的角【例1】试写出所有终边在直线 yT3x上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角【例2】已知角“=2 010° .(1)把“改写成k - 36讲 邓C Z,0y体360°的形式，并指出它是第几象限角;(2)求以使。与a终边相同，且360 v 9<720° .【例3】已知，如图所示，(1)写出终边落在射线 OA, OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【过关练习】1一终边与

6、坐标轴重合的角a的集合是()(A) da=k- 360 ° kC Z(B) a|o=k- 180° +90kCZ(C) o|a=k- 18Q°k Z(D) d«=k- 90° kC Z2 .在0。360。范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.(1) 150° (2)650 ; (3)950° 15.3 .如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 .4 .集合 A= o|a= k - 9（P 36°, kCZ, B=0一180° 书180 ° 则 AAB =5 .如图

7、所示，写出终边落在直线y=43x上的角的集合（用0。到360。间的角表示）.题型二：象限角的判定【例1】已知“是第二象限角，试确定 2 a,，的终边所在的位置.【例2】若a= 45+k - 180 °k£Z）,则a的终边在（）A.第一或第三象限B.第二或第三象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限【过关练习】1 .若 为第三象限角 求 一、一所在象限，并在平面直角坐 标系表示出来.232 .已知a为第三象限角，则2所在的象限是（）A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限3 .已知a是第一象限角，则角:的终边可能落在 .（填写所有正确的序号）3

8、第一象限第二象限 第三象限第四象限4 .361 °的终边落在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限题型三：角度弧度的换算【例1】把112° 3枇成弧度;7 71, 一、（2）把一12化为角度.【例2】把一1 125 °化为2k兀+ “（kC Z,0<a< 2兀的形式是（）c 兀cc , 7兀A .一6 Tt 4B .- 6 兀+ 4C.一8 71 4D .一 8 兀+ 4【过关练习】1 .将下列各角度与弧度互化.57。，而兀；（2）g不一157。3 02 .已知 “=1 690 ° .把“写成2k7t+akCZ,代0,2兀朋形式

9、；求0,使。与a终边相同，且 长（4兀，4兀）题型四：弧长扇形公式的应用【例1】已知一扇形的圆心角是a,所在圆白半径是 R.若a= 60。，R= 10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；（2）若扇形的周长是一定值 C （c>0）,当a为多少弧度时，该扇形有最大面积?【例2】时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为（）14A三兀B.143KD.7一两兀【过关练习】1 .在半径为10的圆中，240 °的圆心角所对弧长为（）A冬B.20兀C200兀D.蜉兀3 3332.已知一扇形的周长为 40 cm,当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少

10、?3.一个扇形的面积为1,周长为4,求圆心角的弧度数.课后练习【补救练习】1 .将 885°化为a+ k - 360°包后360°, kCZ)的形式是 2 .与一1 692终边相同的最大负角是 .3 .与460 °角终边相同的角的集合是()A. a|a= k -36讲 460°,kC ZB. d“= k -36并 100°,kC ZC. d“= k -36并 260 °,kC ZD. a|a= k -360 260 °,kC Z4 .下列与9加终边相同的角的表达式中，正确的是()_。 _。9兀_A. 2kTt+ 4

11、5 RC Z)B. k 36并(kZ)C. k - 36(P 315 k(C Z)D. k 计 5p(k Z)【巩固练习】1 .已知角45°,在区间720o, 0o内找出所有与角有相同终边的角 2 .若“是第四象限角，则 180 - ”是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3 .以下命题正确的是（）A.第二象限角比第一象限角大B. A = d“= k - 180°k Z, B= 冈3= k 90°kC Z,则 A BC.若k-360° a<k - 36讲180°k（ Z）,则a为第一或第二象限角D.终边在x轴上的角可表示为 k - 360k（Z），一 114.把一了兀表不成。+ 2k兀kCZ）的形式，使|6|最小的。值是（）.3A .4兀 B .2 cC. d D .兀5.如图是一个半径为 R的扇形，它的周长为 4R,则这个扇形所含弓形（阴影区域）的面积是（）A 12A.(2 sin 1 cos 1)R2B.-R2sin 1cos 11 2C.R2D. (1 sin 1cos 1)R26.用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图所示）.MW.【拔高练习】