数学模型练习

1、数学模型考试题型填空题(16分) （基本概念） 简答题(24分) （基本概念）计算题(60分) （基本计算）复习重点章节：Ch1.建立数学模型（基本概念）1 数学建模的背景及重要意义；2模型和数学模型的概念；3数学建模的流程图、基本方法和步骤；4数学模型的分类与特点；Ch2.初等模型（基本计算）10量纲分析与无量纲化；Ch3.简单的优化模型（基本概念）1存储模型2生猪的出售时机；Ch4.数学规划模型（基本计算）1奶制品的生产与销售；Ch5. 微分方程模型（基本概念及计算）1传染病模型；3正规战与游击战Ch6.稳定性模型（基本概念及计算）1捕鱼业的持续收获；2军备竞赛Ch7. 差分方程模型（基本

2、计算）1市场经济中蛛网模型Ch8.离散模型（基本概念）1 层次分析模型；2循环比赛的名次Ch9.概率模型（基本概念）1传送系统的效率；2 报童的诀窍；3 随机存贮策略；典型题型1建立数学模型的基本步骤为：模型准备、 、 、 、 、模型应用等. 2数学模型按照应用领域分类的数学模型名称有：人口模型、水资源模型、 、 、 等. 3每对顶点之间都有一条边相连的 称为竞赛图4个顶点的竞赛图共有 种形式4求正互反矩阵的最大特征根和特征向量的实用算法有： 、 、 5写出5个按照建模目的分类的数学模型名称6.写出5个按照建立数学模型的数学方法分类的模型名称以及5个按照应用领域分类的模型名称. 答:按数学方法

3、分类:初等模型,几何模型,微分方程模型,统计回归模型,数学规划模型7.有4支球队A、B、C、D进行单循环赛，比赛结果是这样的：A胜B和C，B胜C和D，C胜D，D胜A.试给出这4支球队比赛对应的竞赛图或其邻接矩阵.它是否为双向连通图？并给出这4支球队的名次答：这4支球队的竞赛图对应的邻接矩阵为 ，它是双向连通的.；令，分别计算.从而可得这4支球队A、B、C、D的名次为（A，B），（D，C）8.基于思想性、艺术性、娱乐性、票房等四项因素，拟用层次分析法在电影A、电影B、电影C这三个方案中选一个，画出目标为“评选影片”的层次结构图.9. 写出数学建模过程的流程图（10）开普勒第三定律可由万有引力定律

4、得到.设行星运行的周期与其椭圆轨道长半轴、太阳与行星的质量、万有引力常数有关，试用量纲分析方法给出行星运行周期的表达式.（万有引力定律公式为：）解：设, 的关系为,=0.其量纲表达式为， ，=,其中，是基本量纲.量纲矩阵为 A= 齐次线性方程组Ay=0 ，即 的基本解为 由量纲定理 得 . ，其中是无量纲常数.10.雨滴的速度与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式.解：设,， 的关系为.其量纲表达式为=LM0T-1 =L-3MT0 =L-1MT-1 =L

5、M0T0 =LM0T-2其中L，M，T是基本量纲.量纲矩阵为A=齐次线性方程组Ay=0 即 的基本解为 得到两个相互独立的无量纲量即 . 由 , 得 , 其中是未定函数. 11某糕点厂生产两种糕点产品：精制糕点和普通糕点，已知每千克精制和普通糕点的原料（面粉、糖、蛋）和利润如下表：品种面粉（千克）糖（千克）蛋（千克）利润（千元）精制0.10.20.30.3普通0.30.20.10.2已知库存面粉、糖、蛋分别为15千克、12千克和15千克.假设生产的糕点可以全部卖掉，试决定生产精制糕点和普通糕点的产量，使厂商获得的利润最大. 解：为方便起见，设精制糕点和普通糕点的产量分别为10千克和10千克，糕

6、点的利润为（千元），由题意得此问题的数学模型为： y 6 5 (3/2,9/2) 4 3 2 (9/2,3/2) L1 1 x 0 1 2 3 4 5 6 x+y=6 3x+y=15 L3 L2 s.t. 模型的求解： 用图解法.可行域为：由直线 组成的凸五边形区域. 直线在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当过的交点时，取最大值. 由 解得：，（千元）. 故生产精制糕点和普通糕点分别为45千克和15千克，糕点的利润为16.5（千元）. （11）一食品加工厂用牛奶生产两种产品，1桶牛奶可以在甲设备上有12小时加工成3公斤，或者在乙设备上有8小时加工成4公斤，每公斤获利24元，每公斤获利16元.

7、现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480个小时，并且甲设备每天至多能加工100公斤，而乙设备的加工能力没有限制.试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大.12已知某商品在时段的数量和价格分别为和，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为和.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为和.设曲线和相交于点，在点附近可以用直线来近似表示曲线和： -（1） - -（2）由（2）得 -（3） （1）代入（3），可得 ， -（4）上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方

8、程.为了寻求点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根为 -（5）当8时，显然有 -（6）从而 2，在单位圆外下面设，由(5)式可以算出 要使特征根均在单位圆内，即 ，必须 故点稳定平衡条件为 （12）. 已知某商品在时段的数量和价格分别为和，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为和.试建立关于商品价格的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知需求函数和供应函数分别为和.设曲线和相交于点，在点附近可以用直线来近似表示曲线和： （1） （2）从上述两式中消去可得 ， （3）上式是我们所建立关于商品价格的差分方程模型，且是二阶

9、线性常系数差分方程.为了寻求点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的特征方程 容易算出其特征根为 -（4）当3时，显然有 -（5）从而 1，在单位圆外下面设，由(5)式可以算出 要使特征根均在单位圆内，即 ，必须 故点稳定平衡条件为 13设某渔场鱼量(时刻渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：其中为固有增长率,为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数.（1）求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;（2）试确定捕捞强度,使渔场单位时间内具有最大持续产量,并求此时渔场鱼量水平.解：（1）.变化规律的数学模型为 记,令 ，即 -（1） ， （1）的解为： 当时，（1）无实根，此时无平衡点； 当时，（1）有

10、两个相等的实根，平衡点为. ， 不能断定其稳定性.但 及 均有 ，即不稳定； 当时，得到两个平衡点： ， 易知 ， ， 平衡点不稳定 ，平衡点稳定. （2）最大持续产量的数学模型为： 即 ， 易得 此时 ，但这个平衡点不稳定.要获得最大持续产量，应使渔场鱼量,且尽量接近,但不能等于.（13）试求Gompertz模型：的非零平衡点，并讨论其稳定性(P178页 ) 其中和的意义与Logistic模型相同设渔场鱼量的自然增长服从这个模型,又单位捕捞量为.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性,求最大持续产量及获得最大产量的捕捞强度和渔场鱼量水平 (.)解：（1）变化规律的数学模型为 记 ，令，即 0得到两个平衡点：（如图所示）， 可证稳定，不稳定 （与E，r的大小无关）. Ex ， o x N （2）最大持续产量的数学模型为：max hEx s.t. 由，得E ，故最大持续产量此时捕捞强度E