安徽省宿州市十三所省重点中学2020-2021学年高二上学期期中联考数学(理科)试题(含答案与解析)

1、十三所省重点中学2020-2021学年高二上学期期中联考数学（理）试题一、单选题1 .点（4,1）到直线4a-3v + 2 = O的距离等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】根扌居点到直线距离公式，直接计算，即可得出结果.【详解】点（4,1）到直线4a-3v + 2 = O的距离为EKL耳=3.故选：C【点睛】本题主要考查求点到直线的距离，熟记公式即可，属于基础题型.2. 下列说法正确的是（）A. 三点确定一个平面B. 四边形一定是平面图形C. 梯形一定是平面图形D. 平面和平面B有不同在一条直线上的三个交点【答案】C【解析】A错误。不共线的三个点才可以确定一个平面；B错误

2、。四边形不一定是平面图形。如：三棱锥的四个顶点构成的四边形：C正确。梯形有一组对边平行，两条平行线确定一平面；D错误。两个平面有公共点，这些点共线，是两个平面的交线；故选C3. “k=3”是“两直线kx-3y-1 = O和2b+6y-7 = O互相垂直”的（）A.充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先由k=3,求两直线的斜率，再由两直线垂直求R的取值，根据充分条件与 必要条件的槪念，即可得出结果.【详解】 当k=3时，两直线总一3y-2 = O和2d + 6y-7 = O的斜率分别为：* = 1和3k=-1,所以两直线垂直；3若两直线也3y 2

3、= O和2kx + 6y 7 = O互相垂直，则k 2k + (3) 6 = O ,解得：R =±3 ；因此"&=3”是“两直线kx-3y-2 = O和2kx + y-l = O互相垂直”的充分不必 要条件故选：A【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定方法即可，属于基础题型.4. 已知K(X-I)2+(>'+2)2 =2与圆O'关于X轴对称，则圆O'的方程是()A. (X-+(y + l)i =1B. (-1) +(>,-2)2 = 2C. (-2)2+(>-1)2=2D

4、. (x+2)2+(y-l)2 =2【答案】B【解析】先由已知圆的方程，得到已知圆的圆心坐标与半径，再由已知圆与所求圆的对称关系，得到所求圆的圆心与半径，即可得出结果.【详解】因为圆(xl +(y+2)2 = 2的圆心坐标为(1,-2),半径为JT ,又圆(-1)2 ÷(y÷2)2 = 2与圆O'关于X轴对称，所以圆O'的圆心坐标为(1,2),半径为r = 2 ：因此圆O'的方程为：(x-l)'+(y-2)2 =2.故选：B【点睛】本题主要考查求圆的方程，熟记即圆与圆位置关系即可，属于基础题型.5. 若直线/平面直线du,则/与的位置关系是(

5、)A. laB. /与 异面C. /与d相交D. /与没有公共点【答案】D【解析】根据直线与平面平行的性质.得到平面内的直线与/平行或异面，进而可得 出结果.【详解】因为直线/平面则平面Q内的直线与/平行或异面，又直线"UQ,所以/与d平行或异面，即没有公共点故选：D【点睛】本题主要考查线线位置关系的判定，熟记线线、线面位置关系即可，属于基础题型.6. 圆 + -2x + 2y-7 = 01直线x-y = 0所得的孫长等于()A. 6B. 2TC. 7D. 27【答案】D【解析】先将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标，与半径厂，根据点到直线距离公 式，求出圆心到直线的距离，再由弦长等

6、于2rr-62 ,即可得出结果.【详解】因为 + -2x + 2y-7 = 0 可化为(-l)2+(y + l)2 =9,所以圆(x-l)2+(y + l)2 =9的圆心为(1,-1),半径为r = 3,因为点(1,-1)到直线X-y = 0的距离为 = 2 ,1 + 1所以，圆x2÷-2x + 2y-7 = 0直线x-y = 0所得的弦长=2yr-d2 = 292 = 27故选：D【点睛】本题主要考查求圆的弦长，熟记几何法求解即可，属于常考题型7. 一个平面图形用轩二测画法作的直观图是一个边长为血的正方形，則原图形的周 长是()11【答案】DD. 82【解析】根据斜二测画法的性质求

7、解即可.【详解】由斜二测画法性质得，原图OA = OA, = 2, OB = 2OB' = 4.故原图形的周长为2(OA + AB) = 2(2 + 2 + 16) = 82故选：D【点睛】本题主要考查了斜二测画法的性质，属于基础题型.8.若过点(1,一3)有两条直线与圆 + y2-x÷2y + H + l= O相切，則实数川的取值 范围是()A. (-°o,-l)B. (7+)C. I 4,十D.(71)【答案】C【解析】先由方程表示圆，得到(-1)2+22-4(h + 1)>0:再由过点(1,-3)有两条直线与圆x2 + y2-x + 2y + /

8、7; + 1 = 0相切，得到点(1,-3)在圆x2 + y2-x + 2y + m + l= O外，列出不等式求解，即可得出结果【详解】因为x' +y2 -x + 2y + m + = O表示圆的方程，所以点(1,3)在圆 X2 + y2 一x + 2y +加+ 1 =O外,因此l2+(-3y-l + 2×(-3) + >7 + l>O,即 m > -4:综上，-4<,h<-.故选：C【点睛】本题主要考查由直线与圆位置关系求参数，熟记过圆外一点的圆的切线条数的判定方 法，以及圆的一般方程即可，属于常考题型9.已知二面角-AB-的平面角是锐角8,

9、 内一点C到B的距离为3, AC到棱AB的距 离为4,那么tang的值等于33A. 4 B. 5 C. T D.【答案】D【解析】解：如图，作CE丄AB, CDdB,连接ED,由条件可知，ZCED= , CD=3, CE=4 ED = 7. tan = 37 = 377.故选D10.直线x-y-l = O分别与X轴，)'轴交于A, 两点，点P在圆(x+2 + y2=2上，AABP面积的取值范围是()【答案】AB. 2,6C.根据点到直线距离公式，求出圆心到【解析】先由圆(X + 2)2 + r=2得到圆心坐标,直线X-V-1 = 0的距离，确定直线与圆位置关系，求出圆上的点到直线的距离

10、的范围, 再由直线方程求出A , B两点坐标，根据三角形面积公式，即可得出结果.【详解】因为圆(x+2)2+=2的圆心为(-2,0),半径为r = 2.由点到直线距离公式可得：点(-2,0)到直线x-y-l = 0的距离为所以直线与圆相离:2 52又点 P 在圆(x + 2)2 + y2 =2±,所以点P到直线x-y-1 = 0距离范围是：d-r.d + r9即 又直线x-y- = 0分别与X轴，$轴交于人，B两点，所以 A 1,0 , 8(0,-1),因此 I AB = 2,所以 Z X × T - -Zx y ×' 即 FSSWp 亍故选：A【点睛】本

11、题主要考查三角形面积的取值范国，熟记直线与圆位置关系，会求圆上的点到直线距 离的范国即可，属于常考题型.11. 如图，直三棱柱ABC-ABC的体积为y ,点P0分别在侧AA和CC上，AP = C Q9则四棱锥B-APQC的体积为()VVVVA. 一BC. 一D.-2345【答案】Bh =×1×234认为P,0分别为侧棱AA和CC JL的中点，则【解析】试题分析：不妨设三棱柱是正三棱柱，设底面边长d和侧棱长/7均为1,则H =LSXPoC =-×-×- = -×-(其中为 MBC边 AC上的高)，所 'Pa 3 APm 23 22342以

12、故选 B【考点】柱、锥、台体的体积.【思路点睛】把问题给理想化，认为三棱柱是正三棱柱，设底面边长d和侧棱长力均为1 , P0分别为侧棱AA和CC上的中点，求出底面面积和高，即可求出四棱锥B-APQC的体积本题考查柱、锥、台体的体积，考查计算能力，特殊化法，在解 题中有独到效果，本题还可以让P或0在特殊点，四棱锥变为三棱锥解答更好.12. 若圆M： x2 + y2+4x + 2y + = 0上的任意一点PUn,町关于直线/：2ax + 3by + 9 = O对称的点仍在圆M上，则(加一+("-“)，的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】先由题意，得到圆M关于直

13、线/对称，即直线/过圆M的圆心；根据圆的方 程，得到圆心坐标(-2,-1)与半径厂=2,得到4z+3b-9 = 0,从而推出 (-6)2+(7-Z?)2表示圆M上的点P到直线4x + 3y-9 = 0距离的平方；求出圆心到 直线4 + 3y-9 = 0的距离，进而可求出结果.【详解】因为圆M上的任意一点P(Hb n)关于直线/： 2ax + 3by + 9 = 0对称的点仍在圆M上,所以圆M关于直线/对称，即直线/过圆M的圆心：2 + y2+4x + 2y + = O 可化为(x + 2)2+(y+ I)2 =4 ,其圆心为(-2,-1),半径 为 r = 2:所以有 2 (2)+3b(-1)

14、+9 = 0,即4d+3/?9 = 0, 因此(d,b)可表示直线4x + 3y-9 = 0上的点， 5lP(,町是圆 M : X2 + y2 +4x+2y+l = 0 上的点， 所以(In-U)2 +(n-b)2表示圆M上的点P到直线4x+3y-9 = 0距离的平方； 由点到直线的距离公式可得：点(-2,-1)到直线4x + 3y-9 = 0的距离为16 + 9因此直线4x + 3y-9 = 0与圆M相离，所以圆M上的点P到直线4x+3y-9 = 0距离的就小值为d_r = 2, 所以(?一0)，+(舁一)的置小值为4故选：D【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系的综合，熟记直线与圆位置关系，

15、会求圆上的点到直线 的距离即可，属于常考題型.二、填空题13. 以点P(-2,-3)为圆心，并且与 >'轴相切的圆的方程是.【答案】(x+2)2+(y÷3)2=4【解析】先由题意，得到所求圆的半径，再由圆的标准方程，即可得出结果.【详解】因为所求圆以点P(-2,-3)为圆心，并且与)'轴相切，所以所求圜的半径为r = 2,因此，所求圆的方程为：(x+2+(y + 3)2= 4. 故答案为：(x+2)'+(y + 3)'=4【点睛】 本题主要考查求圆的方程，熟记圆的标准方程即可，属于基础題型.14如图是一个空间几何体的三視图，則该几何体的外接球的表

16、面积是.正住mot聞(左【答案】48;F【解析】由几何体的三視图可得该几何体是直三棱柱ABC-AtBfC9 ¼图所示:其中，三角形ABC是腰长为4的直角三角形，侧面ACCA是边长为4的正方形，则 该几何体的外接球的半径为J!+4-+4 = 2馆2该几何体的外接球的表面积为4龙X (23)2 = 48故答案为48龙.点睛：本题主要考查三棱柱外接球表面积的求法，属于中档题.要求外接球的表面积和 体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用4R2=a2+b2+c2 Sb,c为三棱的长)；若SA丄面ABC (S4 = ),则4R2=4r2+a2 (厂为AABC外接圆

17、半径)：可以转化为长方体的外接球；特殊几 何体可以直接找出球心和半径.15已知命题“ 3?使得2cosx0-d0 ”是假命题，则实数的取值范围是【答案】>2【解析】先由题意，得到命题的否定为真命題，即>2cosx对任意XWR恒成立，进而可求出结果.【详解】 因为命题“日观丘7?使得2cosx0-fOw是假命题，所以其否定"VxwR使得2cosx-v0"是真命题，即a > 2cost对任意XeR恒成立，所以只需a>2.故答案为：a >2【点睛】本题主要考查由命题的真假求参数熟记含有一个量词的命题的否定即可，属于基础题 型.16.已知kR, P (

18、a, b)是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2-2k+3的公共点，则ab的 最大值为.【答案】9【解析】先根据直线与圆相交，圆心到直线的距离小于等于半径，以及圆半径为正数， 求出k的范围，再根据P (a, b)是直线x+y=2k与圆x2÷y2=k2- 2k+3的公共点，满足直 线与圆方程，代入直线与圆方程，化简，求出用k表示的ab的式子，根据k的范国求 ab的最大值.【详解】由題意,圆心(0.0)到直线的距离解得-3k1,又Vk2-2k+3>0恒成立k的取值范围为-3k1,由点P (a, b)是直线x+y=2k与圆2+y2=k2 - 2k+3的公共点,k=-3时，ab的最大值

19、为9.故答案为:9【点睛】本题主要考查了直线与圆相交位置关系的判断，做题时考虑要全面，不要去情况.三、解答题17. 一块边长为IOcm的正方形铁片按如图所示的阴彩部分裁下，然后用余下的四个全 等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与X的函数关系式, 并求出函数的定义域10【答案】，刊00_乂2,定义域为(UO)【解析】设出所截等腰三角形的底边边长为xcm,在直角三角形中根据两条边长利用勾 股定理做出四棱锥的高，表示出四棱锥的体积，根据实际意狡写出定艾域【详解】如图.设所裁等腰三角形的底边边长为XCm,在正四梭锥E - ABCD中，底面ABCD是边长为X的正方形，F是BC的中

20、点，EF丄BC, EF=5,則四棱锥的离Eo = JEFLOF- 卜-电F =少罕匚 其中0<x<10,.四棱锥的体积 V= X 271OO-2 = loO-X2» 定义域为(0, 10) 【点睛】本题考查了函数模型的应用，根据实际问题选择合适的函数模型，注意题目中自变量的 取值范国，属于中档题.18.已知直线/经过点P(l,3).(1) 0(-L-3)到直线/的距离为2,求直线/的方程.(2) 直线/在坐标轴上截距相等，求直线/的方程.【答案(1) x = l, 4x-3y + 5 = O. (2) 3x-y = 0或x+y-4 = 0.【解析】(1)先讨论直线/斜率不

21、存在的情况，直接得出直线方程；再讨论直线/斜率 存在的情况，设出直线方程，根据点到直线距离公式，即可求出结果；(2)先由题意，得到直线/斜率一定存在且0,分别求出直线在两坐标轴的截距，建立等量关系求出斜率，进而即可求出结果.【详解】(1)当直线/斜率不存在时，即X = I符合要求，当直线/斜率存在时，设直线/的方程为v-3 = (-1),整理得匕一一鸟+3 = 0,点0(1,一3)到/的距离,得 4x-3y + 5 = 0,-£ + 3-£ + 3|_|-2比 + 6|4解得"亍即直线/的方程为 = l, 4x-3y + 5 = O.(2)由题知，直线/斜率一定存

22、在且k0,直线A-y-k+3 = O,k 3 当 X = O吋，y = -R + 3,当 y = 0时，X = , kk_3' k + 3 =,解得 k = 3 或 R=-I k即直线/的方程为3x-y = 0或x+y-4 = 0.【点晴】本题主要考查求直线的方程，熟记直线的点斜式方程，以及点到直线距离公式即可，属 于常考题型.19.如图，在多面体ABCDE中，为等边三角形，ADlIBCt BC丄ABtBC = IAD9 F为边的中点(1) 求证：AF/平饭DEC.(2) 在BCJL找一点G使得平面AFG平面DCEf并证明.【答案】(1)证明见解析(2)点G为3C的中点.证明见解析【解

23、析】(1)取EC中点M.连接FM 9 DM .根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立：(2)先由题意，确定点G为BC的中点；再给出证明：连接FG , AG9根扌居面面平 行的判定定理即可证明结论成立.【详解】(1)取EC中点M,连接FM, DM ,V ADlIBClIFMJ AD = -BC = MF 9 ：.ADMF是平行四边形， AFllDM ,V AF平面 DEC, QMU平面 DEC9 ：. AF/平面 DEC.16(2)点G为3C的中点证：连接FG, AG,因为G、F分别是BC, BE的中点，所以GF/CE,又GF(Z平面DCE CEU平面DCE9所以GF/平面DCE9 又因为 A

24、Dl/BC , AD = BC ,所以 AD/GC 且 AD = GC , 即四边形ADCG是平行四边形，所以DCllAG, 因为AG(Z平面DCE,所以AG/平面DCE.又因为AGGF = G,所以平面AFG平面DCE【点晴】本题主要考查证明线面平行，以及补全面面平行的条件，熟记线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理即可，属于常考题型20.已知圓 C: (x-1)2+=9.(1) 设直线ax-y + 3 = O与圆C相交于E、F两点，求实数。的取值范囤.(2) 在(1)的条件下，是否存在实数 ,使得过点P(7,-4)的直线/垂直平分戏EF ? 若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

25、【答案】(D (Y,0)UGT (2)存在，« = -|-【解析】(1)由题圆心到直线的距离小于半径，列式解不等式即可.设/的方程，再根据直线I垂直平分弦EF得圆心(1,0)必在上,代入方程求解参数 即可.【详解】(1)因为直线ax-y + 3 = 0与圆相交于E、F两点，所以圆心到直线的距离小于半径，(2)设符合条件的实数存在，由(1)得0,则直线/的斜率为一丄, I垂苴平分弦EF ,故圆心(1,0)必在/上,'l+4+4 = 0,解得：G =【点晴】本题主要考查了直线与圆相交的问题，主要根据圆心到直线的距离求解，同时也考査了圆的对称性，属于中等题型.21.如图，在以P为顶

26、点，母线长为血的圆锥中，底面圆O的直径长为2点C在圆O所 在平面内，且Ae是圆O的切线，BC交圆O于点D,连接PD. OD(1) 求证：PB丄平面PAC;(2) 若AC =竽，求点O到平面PBD的距离.【答案】(1)详见解析：(2)丰.【解析】由題意可知AC丄AB,又PO丄AC,从而可得AC丄平面PAB,从而AC丄PB. 由勾股定理得PA丄PB,由线面垂直的判定定理可得到证明；(2)由条件计算SAoBD和 Spbd,然后利用Vp_OBD = VO_PBD即可得到结果.【详解】解：(1)因为AB是圆O的直径 AC与圆O切于点A,所以AC丄AB又在圆锥中，Po垂直底面圆6 所以PO丄AC,而PO

27、AB=O,所以AC丄平面PAB,从而AC丄PB在三角形PAB中,PA2 ÷ PB2 = AB所以PA丄PB,又PAnAC=A所以PB丄平面PAC(2)因为AB = 2, AC=半，AC丄AB,所以在直角AABC中，厶XBC=W又OD = OB= 1 =PO,则0BD是等腰三角形，所以BD = $，S A OBD = × 1 × 1 × Siny = y又PB = PD = 2> 所以S PBD = g % 诉 * £ =乎设点O到平面PBD的距离为d,由VP_OBD = VO_PBD,即亍S OBD PO =亍SA PBD d,所以d = y【点睛】本题考査线面垂直的判定定理的应用，考查利用等体积法求点到面的距离，考查空间想 象能力和计算能力，属于中档题.22.已知 ： (x-4)2+(y-5)2=4,圓 N 与圖 M 关于直线/： x+y-2 = 0 对称.(1) 求圆N的方程；(2) 过直线/上的点P分别作斜率为-丄，4的两条直线仁I29使得厶被圆M截得4的弦长与厶被囲N截得的弦长相等.(i) 求点P的坐标；(ii) 过点P任作两条互相垂直的直线分别与两圓相交，判断所得弦长是否恒相等， 并说明理由.【答案】(1) (x + 3)2+(y + 2)2=4 (2)(i) (-