第六章 变质量动力学（理论力学Ⅱ）

1、第六章第六章变质量动力学变质量动力学 6 61 1 变质量质点的运动微分方程变质量质点的运动微分方程 1.变质量质点的运动微分方程 设作用于质点系的外力为)(eF质点系在瞬时t的动量为11pmmd质点系在瞬时t+dt的动量为)d)(d(2mmp根据动量定理tFpppedd)(12得tFmmmmed)d()d)(d()(1将上式展开得tFmmmmedddddd)(1略去高阶微量ddm并以dt除各项得)(1ddddddeFtmtmtm或)(1)(ddddeFtmtm（61）式中 是微小质量dm在并入前)(1对于质点m得相对速度r令rddtmF（62）则式（61）改写为FFtme)(dd（63）上式

2、称为变质量质点的运动微分方程式中m是变量tmdd是代数量因 具有力的量纲且与喷气方向相反F称为反推力2.常用的几种质量变化规律（1）质量按线性规律变化设变化规律为1)1 (0ttmm，（64）式中 皆为常数，0m该式代表质量随时间呈线性变化由 知0ddmtm其反推力为rrmtmF0dd（65）可见 当 为常数时r反推力也为常量 且与 方向相反r（2）质量按指数规律变化 设变化规律为tmme0（66）式中 皆为常数，0m由 知tmtmedd0其反推力为rtrmtmFedd0（67）令 表示仅在反推力 作用下变质量质点的加速度aFrmFa（68）则当 为常量时ra也是常量即由反推力引起的加速度为常

3、量例 61设火箭在真空中运动且不受任何外力作用方向与火箭运功方向相反单级火箭其喷射出的气体相对于速度 的大小不变r此问题称齐奥尔科夫斯基第一类问题 对这一问题变质量质点的运动微分方程（63）在运动方向上的投影为tmtmrdddd或mmrdd（a）设初始时刻t=0时00mm 将式（a）积分得mmr00ln（b）设火箭燃烧终了时质量为fm速度为v令f0mmN （c）称N为质量比（有些资料取 为质量比）0f/mmN 令Nrlnf（b）称 为火箭的特征速度f它代表这一级火箭在初始速度 的基础上所能增加的速度0由式（d）可得rmmN/f0fe（c）称此式为齐奥尔科夫斯基公式它表明在 已知时r0欲使火箭达

4、到特征速度 所应具备的质量比如果火箭在真空中且处于均匀重力场内沿铅直方向向上运动 称为齐奥尔科夫斯基第二类问题与第一问题的区别是有均匀重力作用运动微分方程（63）在铅直方向上的投影为rtmmgtmdddd（f）设初始时刻t=0时00mm 且 为常量r将式（f）积分得mmgtr00ln（g）例 62单级火箭具有重大的缺欠任何时候火箭的反推力不仅要使有效载荷产生加速度二级火箭及多级火箭而且也要使庞大的壳体产生同样的加速度这就限制火箭速度的提高多级火箭可以克服这一缺欠那就是燃料装得越多其壳体也就越大当前一级火箭燃料燃烧终了时 连同其壳体一起抛弃后一级火箭开始工作二级火箭由3部分组成第一级火箭 第二级

5、火箭和载荷设第一级火箭总质量为1m其内携带燃料的质量为em1且11mme第二级火箭总质量为2m其内携带燃料的质量为22mme载荷的质量为pm设燃料从火箭喷出的相对速度r=常数方向与火箭速度方向相反 每秒喷出的燃料质量也为常数火箭由静止开始运动 略去重力由例6.1式（b）可得第一级火箭的燃料全部喷射完时火箭的速度为121211lnmmmmmmmppr（a）当第二级火箭的燃料也全部喷射完时 速度为22212lnmmmmmppr（b）如果取s300/8 . 050321gmmmrp，则由式（a）及（b）可得m/s14.67612如果用单级火箭 仍采用上面的参数所求得的速度就要低的多设二级火箭的总质量

6、（不含载荷质量 ）pm21mmm为常量则 的不同分配将影响火箭的速度21mm ，将式（a）代入式（b）记21mmm则 是 的函数22m为求 的最大值2将其对 求导2m并令0d/d22m化简并只取M/P幂级数展开的首项得1222mmmmmpp（d）满足式（c）的 将使 达到最大值mm /22将式（c）代入式（a）（b）略去 及 的高次项mm /2mmp/可得)(1 1ln22/12max2mmr（d）如果取100/1/mmp则10/9/10/1/12mmmm，如果仍用s300/8 . 0gr、则由式（d）可得m/s7500max2这显然比 时的 要大得多21mm m/s60002下面讨论多级火箭

7、设各级火箭的质量分别为nmmm， 21各级火箭内的燃料质量为)21(nimii， 载荷质量为pm各级火箭喷射气体的相对速度方向都与火箭速度方向相反大小分别为rnrr， 21不计重力则由例61式（b）可以求得第i级火箭在燃料喷射完毕时所增加的速度)21()1 (ln11nimmmmmmmmpniiipniirii， 令)1 (11pniiipniiimmmmmmmm （e）则得第n级火箭燃料燃烧完毕时的速度niirin1ln（f）利用拉格朗日乘子法i可以求得满足下式的 将使火箭的总质量为最小值)21()1 (1niiririi， （g）式中为拉格朗日乘子将式（g）代入式（f）设 皆为已知irin

8、、则可以求得再将求得的代入式（g）即可得i如果有)21(niirri， 则用上面方法可以求得1 1)1(rnnre（h）rnnne 21（i）式（i）表明 欲使火箭总质量为最小火箭中每一级火箭燃烧完毕所增加的速度 值应相同i即欲使火箭达到给定的最终速度使火箭总质量为最小值的条件是火箭中每一级燃料燃烧完毕时所增加的速度必须相同满足这一条件时总质量为pnnnmeemrnrn1)1 (1 min（j）利用 相等这一条件i可以求得多级火箭中各级火箭之间的质量分配例如二级火箭（n=2）1:12:21mm三级火箭（n=3）1:7 . 3:7 .13:321mmm如图所示横坐标n代表火箭级数纵坐标 代表火箭

9、总质量 与载荷质量 之比pmm/minmpm欲将人造地球卫星送入轨道火箭的最终速度应达到km/s8 . 7n设s300/8 . 0gr，按上面公式可以求得火箭总质量的最小值：一级火箭（n=1）0minm（即不可能达到7.8km/s）二级火箭（n=2）pmm147min三级火箭（n=3）pmm51min四级火箭（n=4）pmm40min五级火箭（n=5）pmm36minn级火箭（n）pmm2 .13min 6 62 2 变质量质点的运动学普遍定理变质量质点的运动学普遍定理 研究变质量质点的动量动量矩及动能的变化规律所使用的动量定理、动量矩定理及动能定理统称变质量质点的动力学普遍定理1.变质量质点

10、的动量定理tmtmtmtpddddd)(ddd（69）将式（62）（63）代入式（69）得rtmFtmtpdddddd（610）记并入（或放出）质量的绝对速度为1即r1则式（610）可写为1ddddtmFtp（611）记1addtmF（612）称 为由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力aF将其代入式（611）得a)(ddddFFmttp（613）式（613）称为变质量质点动量定理的微分形式：变质量质点的动量对时间的导数等于作用其上的外力与由于并入（或放出）质量的绝对速度而引起的反推力的矢量和将式（613）积分设t=0时质点质量为0m速度为0得mmtttmtFtFtFmm0dddd100

11、a000（614）式（614）称为变质量质点动量定理的积分形式如果并入或放出质量的绝对速度01则式（613）成为Fmt)(dd此式与不变质量质点的动量定理形式相同但其m=m( t )是变量 将其积分有ttFmm000d显然即使0F也不是常量mm/002.变质量质点的动量矩定理变质量质点对任一点O的动量矩为mrLO（615）式中 为从点O指向该质点的矢径r点O为定点)(dd)(dddd)(ddddmtrmtrmtrmrttLO将变质量质点动量定理的微分形式（613）代入可得addFrFrtLO（616）式（616）称变质量质点的动量矩定理：变质量质点对某定点的动量矩对时间的导数等于作用于质点上外

12、力的合力对该点之矩与由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力对该点力矩的矢量和3.变质量质点的动量定理变质量质点动量定理的微分形式（613）可以写成1ddddddtmFtmtm（617）将上式各项点乘rd得1ddddmrFmm由于mmmd2)21(dd22因此上式可写为mrFmmd)(dd21)21(d122（618）或rFrFmmddd21)21(da22（619）式（618）或（619）称变质量质点的动能定理：变质量质点动能的微分与放出（或并入）的元质量由于其牵连速度而具有的动能的代数和等于作用于质点上外力合力的元功与由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力所作的元功之和由于r1即

13、r21因此式（618）也可以写成为rFrFmrFmmrddddd21)21(d22（620）因此变质量质点的动能定理也可以这样叙述：变质量质点动能的微分与并入（或放出）的元质量由于牵连运动而具有的动能之差等于作用于质点上外力的合力与反推力所作的元功之和例 63图为传送砂子的装置然后流出斜面设砂子以流量q=常数（kg/s）从大漏斗中流下斜面上砂子是定常流动砂子从漏斗铅直流下其质量保持不变 不计摩擦求倾角应为多少以速度 流下倾角为的传送带上并沿斜面下滑l长度1若使砂子在斜面上的速度 为常数解：研究传送带上的砂子由变质量质点的动能定理式（618）有)(d)(ddd2)2(d221122mmrFmm式

14、中 为漏斗流入到传送带上的砂子质量元1dm2dm为从传送带上流出的砂子质量元2为 流出时的绝对速度2dm有22m常数qtmtmdddd2120ddd21mmm将这些关系式代入前式得21dsinddsin0tqtqsmg式中s为砂子沿传送带方向的位移由于流量q 质量m及斜面长度l之间有关系：lmq或qlm因此有0sinddsin21qqtsqgl即sin)(12 lg得/ )arcsin(21lg例 64设小方块长度极短初始静止 小方块最外端在桌边总长度为l的一排方块放在图所示水平桌面上求在如下两种情况下当小方块已经有一半离开桌面时总质量为0m数量很多相邻的小方块互相接触而不连接如图加一水平的常力F留在桌面上的小方块的速度（1）忽略桌面上的摩擦力（2）桌面与小方块间的动滑动摩擦因数为f解：研究仍在桌面上的一群小方块并将其视为变质量质点小方块离开桌面瞬时0r选坐标Ox（1）