简单利率衍生品工程

1、目 录5.3用欧洲货币期货对冲远期利率协议15.3.1一些技术问题16.现实中的复杂性26.1询价差26.2非对称性37.远期利率和期限结构37.1债券价格37.2远期利率的含意47.2.1注记48.惯例59.一个题外话：剥离510.结论6简单利率衍生品工程 5.3用欧洲货币期货对冲远期利率协议 对短期合约来说，凸性和其他差别可能是微不足道的，我们可以问下面问题。如果忽略凸性差异，可不可以用欧洲货币期货来对冲FRA头寸，反过来怎样呢? 回答这个问题最好用一个例子，这个例子也说明了现实中对冲的一些复杂情况。 例子：假设2002年6月17日欧洲美元期货的价格如下:9月价格(交割日：9月16日)96

2、.500（隐含利率=3.500)； 12月价格(交割日：12月16日)96.250(隐含利率=3.750)； 3月价格(交割日：3月17日)96.000(隐含利率=4.000)。 一个交易商想在6月17日卖一个名义本金为100000000美元的3 x 6远期利率协议，如何用这些期货合约来对冲这笔交易呢? 首先注意，按照价值和结算日惯例，远期利率协议的存续期是从9月19日到12月19日共计92天，并以9月17日的Libor利率进行结算。另一方面，9月期货合约将以9月16日的Libor利率进行结算，并且按30/360的天数计算惯例来计算计息时间。由此可知二者的隐含远期利率也会有所不同。 令f表示远

3、期利率协议利率，表示此利率与期货合约的隐含远期利率的差，利用公式(25),本金1亿美元的远期利率协议结算时价值可以写为注意到，这个结算是贴现到9月19日的，并且一旦已知相关的Libor利率，远期利率协议的持有者就会收到这部分资金。忽略盯市和其他一些影响，一个具有类似存续期的期货合约的结算金额为注意至少两点不同。首先，期货合约的本金为100万美元。其次，按惯例期货合约中一个月以30天计，而在远期利率协议中是以实际天数计。是我们选取的能够对冲远期利率协议头寸的期货合约数。交易商必须选取使得两次的结算值尽可能相近。这样，通过在这两种合约中建立反方向头寸，交易者将可以实现对冲。 5.3.1一些技术问题

4、 对冲的过程中可能会遇到一些技术问题和实际困难，我们还是以前面的例子来说明一下这个问题。 (1)假设要对冲(或定价) FRA的某个剥离，而不是使用已有期货合约的剥离调整单一FRA，使之适应于合同，那么FRA的这个剥离就必须处理本金不断增加的问题。若期货合约的本金是固定的，那么就需要调整期货合约的数目。 (2)如前所述，期货市场上3个月按90天计算，而FRA合约是以这3个月中的实际天数计算的。 (3)由于在定价公式中的凸性差异，两种合约的隐含远期利率会不同，又由于Libor波动率的变化，这个差异可大可小。(4)两合约使用的Libor利率或许会有一两天的差别。这些技术差别虽然是从一个具体的例子引出

5、的，但对于大多数对冲和定价有着普遍的意义。 6.现实中的复杂性至此，前面的讨论都忽略了现实中的复杂性。我们做如下简化：(1)忽略询价差；(2)不考虑信用风险；(3)忽略FRA中固定日期与结算日一般不相同这一事实，实际上这是FRA合约中涉及的另一个日期。下面来讨论这些问题。 6.1询价差我们从询价差开始，用债券市场的构造来说明。借助于债券市场复制远期贷款时，买一份B(t0，t1)债券，卖空一份B(t0，t2)债券，因此必须用到B(t0，t1)的卖方报价和B(t0，t2)的买方报价。这意味着一个远期利率的卖价将为类似地，当客户卖一个FRA时，他要用到交易商和经纪人的买方报价。通过债券市场，得到这意

6、味着同样的询价差也可通过在货币市场使用询价差的货币市场合成工具创造：显然又有因此，定价通常会产生双向价格。在市场实践中， FRA询价差不通过上述方式得到。FRA利率的价差报价是以下面的方式计算的：先从相应的Libor利率得到一个利率，然后在它的两方都加上一个利差。很多参与人也用流动性更好的欧洲货币期货来做市。 6.2非对称性用FRA进行对冲时还存在另一个问题：来自利率头寸的净收益和净成本是不对称的。这是因为，不管是买(支付固定利息)还是卖(接受固定利息)，FRA总是以Libor来结算。但Libor是一个卖方利率，这就产生了一种不对称。先考虑浮动利率贷款成本的一个对冲。当一个公司要对冲浮动利率货

7、款成本时，贷款现金和对冲策略的利率都是以Libor为基础的，这意味着：l 公司向给它提供贷款的银行支付Libor+浮动额。l 公司向FRA的对手支付固定的FRA利率，以对冲这种浮动贷款的成本。l 公司从FRA的对手收到Libor。把公司所有的收入和支出相加，得到净贷款成本为FRA利率+浮动额。现在考虑当一个公司对冲3个月浮动收入时的情况。现金头寸的相关利率采用Libid，欧洲市场上的买方利率，但FRA总是以Libor结算。所以现在情况变为：l 公司接受Libid，假定零浮动额。l 公司接受FRA利率。l 公司支付Libor。因此，公司的净收益为FRA-(Libor-Libid)。 7.远期利率

8、和期限结构第15章将讨论固定收益金融工程的具体框架，然而一些期限结构的基本模型还是有必要在这里介绍一下。这将有助于我们更清楚地理解某些记号和基本概念。 7.1债券价格令B (t0，) , =1，2，n代表债券价格族，其中每个B (t0，)表示在时支付1美元的无违约风险零息债券的价格。这些B(t0，)也可以看成用来计算无违约风险现金流现值的贴现向量。例如，给定一项复杂的无违约风险资产，它由在任意一系列时间 ，=1，2，k支付确定的现金流。如果我们假设下面的债券价格过程，我们很容易得到这笔资产的价值 ：这就是说，只要把时的现金流与时1美元的现值相乘，然后把这些结果对所有的求和即可。这个想法可以立即

9、应用于国库券的定价。给定一个面值为1美元，在时按息票率c%支付利息的国库券，它的价值很容易由前面的公式求出，其中最后一个现金流也包括本金。 7.2远期利率的含意本章得到了重要的无套利等式为了避免可能的混淆，这里的没有缩写，它表示从开始到结束应用于远期贷款的远期利率。把 B (t0，)，=1，2，n中所有债券的无套利关系写出来，我们看到：相继用前一等式替换等式右边的分子，并注意对第一个债券有B()=1，由此得到这个结果很重要，即债券价格族 B (t0，) 可以用远期利率族来表示。因此如果给定了所有的债券价格，我们就可以确定远期利率。 7.2.1注记第一个远期利率在时确定，并且适用于时开始的贷款，

10、因此它也是时的即期利率：把它写成债券价格族 B (t0，) 可以看成是贴现因子，市场参与者用它们来得到无违约风险现金流的现值。因此我们看到远期利率模型对描述收益率曲线或是贴现率曲线很有帮助。 8惯例类似于欧洲存款利率，FRA是以询价差形式双向报价的，典型的3个月期和6个月期系列的FRA报价如下。 例子：3个月系列具有以下形式：1x4 4.87 4.912x5 4.89 4.943x6 4.90 4.95第一行表示的是1个月后开始的为期3个月的远期货款利率，第二行是指2个月后开始的3个月期远期货款利率依此类推。6个月系列具有以下形式：1x7 4.87 4.912x8 4.89 4.943x9 4

11、.90 4.95根据这个表，如果某客户想锁定3个月后6个月期的固定付款利率，对于1百万美元的本金，他会买3x9的FRA并支付4.95%的利率，这6个月FRA的实际净支付为是3个月后市场上能观察到的6个月期Libor利率 。另一个惯例是FRA的买方和卖方都以Libor作为参考利率。Libor作为一个卖方利率，人们可能会认为卖出FRA的客户会得到比Libor低的利率，事实并非如此，因为参考利率是不变的。 9.一个题外话：剥离在结束本章之前我们讨论另外一种金融工具，它是等价于无违约风险折价债券B(t0，)而又最接近实际的金融工具，这个工具称为剥离。美国剥离在1985年就已存在，而英国剥离出现于1997年。考虑一个长期直接国债、一个德国债券或一个英国金边债券。假设没有隐含期权。这些债券每隔一个固定时期付息一次，它们的天数计算惯例和付息间隔会有所不同，但本质上都是标准的长期债务。事实上，它们不是我们本章讨论过的零息债券。剥离是从附息国库券引出的。市场参与者买了长期附息国库券，然后把每一个息票利息与本金剥离开，分别将它们进行交易。这样的债券等价于零息债券。不同的是，如果有必要，它们还可以重新组合成原来的附息债券。政府债券市场的监管机构，如英国的英格兰银行或美国财政部都为债券的剥离提供了必要的设施和便利，并指定了可剥离的证券。注意，只有一些特殊的交易商有剥离和重组债券的权利，他们把