第三章导数与分

1、1、设 f (x)2、设 f(x)可导，又3、设 f(x)4、证明函数5、6、7、8、9、导数与微分(A)1一，试按定义求f (x)， f1 Xx a (x)，其中(x)为连续函数，且(a)0,证明f(x)在a点不f(x)在a点处的左导数和右导数各等于什么?已知f (x)f(x)求曲线y e在抛物线yx 0，求f'(x), f'(0)又f (0)是否存在.1 x 1IX0xax bX 0 在x=0处连续但不可导.x 000，问a, b应为何值时，f(x)处连续、可导.在点(0,1)处的切线方程和法线方程x2上哪一点的切线有下面的性质(1) 平行于ox轴；(2) 与ox轴的正向构

2、成45°角;(3)与抛物线上横坐标为x-i1,x23的两点连线平行.求过原点且与曲线y证明:若在点Xi10、已知汽相切的直线方程.X0 处 f(x)可导，则 limXf(X0)X0f(x)X X0x X0f(Xo) Xof(Xo).a与y bln(1 2x)在x 1对应的曲线上的点处相切，求 a , b的一 一 1 211、一质点以初速为v°向上作抛物运动，其运动方程为S S(t) v°tgt ( V0 >0为常数）（1）求质点在t时刻的瞬时速度；（2）何时质点的速度为0;（3）求质点回到出发点时的速度.12、（ 1）求圆的面积变量S相对于半径变量r的变化率

3、；（2）求圆的面积为1时，周长 相对于变量r的变化率；（3） 求圆的面积为1时，面积变量相对于变量周长的变化率.13、讨论函数y sinx在x=0处的连续性和可导性.14、 设y x x在x=0处可导，求 的取值范围.15、证明：双曲线xy a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形面积都等于2a2.16、求下列函数的导数：(1)y2 x32x(2) yC X11)( x 1)J5；x(3)y2 xx 1(4) y2 x2x 1x3x(5)y(x3) ,6x(6) yx x x(7)yx(xa）（x b） （a ,b为正常数）(8) yxe17、求下列各函数的导数(1)y3xx5x 2 3e(

4、2) yln x 2 lg x log5 x(3)yln xx(4) y1 ln x(5)y2 tan x secx cos a（a为常数）(6)y3cosx ex(7) ysin xx(8)y1 si nt(9) yx ln x secx1 cost(10)y2l nx x3(11) y12“ 22 23ln x x1 x x(13)25x 3x 4x21(14)f(x) & 5二，求 f (0),f.(15)y=、 sin(xta nx 2cscx(17)10x 110x 1(18) y2secx1 x2(19)ln3cot x(20) yx2ax si nx e(21)f(x)

5、(1 x)(51-2),求fx(1), f (a).(22)(23)xarcta nx(24)x2 arcsinx33 x2(25)arcs in x arccosx(26)(28)(30)18(1)(3)(5)(7)(9)2cos xsin x cosxarcs in xarccosxn(x k)k 0求下列各函数的导数y=(2x+5)43x2y ay=ln(1 +x2)y=arcta n&)y=logacosx(27)(29)(10)(12)(14)y= loga(cscx-cotx)1ln x1ln xxn ln x(2) y=cos(4-3x)2(4) y=sinx(a>

6、0,a HI)(11)(13)2y=ln(x +x+ 1)y arcsin , x(15)2(8) y= tanx2y cos 3x e(6) y=、a2 xy=ln( secx+ta nx)1y=arccos-x(y= (arcsi n)22(17) y= 1 ln2 x(18)arcta n 代y= e(19) y=lnln(In x)(20)J1 x 41 / x_ zv'1 x(21) y=arcsin J _x 1 x(22)y=arctanJ/ x 1(23) y=sin .1 2x 2(24)y=l n(2-x+3-x+4-x)x1(25) y= 2 ln(sinx)(2

7、6)y=x、x2 a2 a2ln(xx2a2)(27)Vx2 2xy=3、x32(28)y = ln $V e 1(29)1 tan xy=si n ex(30)xy lntan cosx tan(ln x)2(31)x e y= arcta n()x(32)y=(arccos)2e-xx(33)y=se(?(ex +1)(34)y=ln(x sin . 1 x2 )(35)(36)cosxy=.cos2x(37)y= 1 cot(2x 1)19、求下列隐函数的导数(1) y2 2xy+9=0(3)x+ yxy=e $(2)x3+y3 3xy=0(4)yy 1 xe(5)y=ta n(x+y)

8、(6)y sin x+cos(x-y)=0(7)xy yx (x>0,y>0)(8)(9)exey sin (xy)(10)sin(xy) + ln(y-x)=x,求 y(11)ln(x2+y2)=x+y 1,求 dy .(exey2xy 1(13) arctan ln x2y2x(14)y=x+ Iny(15) xsiny+y sinx=0(16)2cos(x +y)=x(18)y=exy+x(17)(19)(20).x2 y25arctanx(21)(22)sin(xy) ln x11，求 yy(24)x ,y 4x2y e2x= sinyx yx= e y(23) y 2x=

9、(x y)ln(x y)设y=y(x)是由方程1+sin(x+y)= e xy在(0, 0)点附近所确定的隐函数,20、求y及y=y(x)在(0, 0)点处的法线方程利用取对数求导法求下列函数的导数(1)xx y=-1 x(3)y= x 2(3 x)4(x 1)5(4)y= x sin x , 1 ex(5)x23y=C3 x.(3 x)2(6) y=(x 1)(x2) +xsinx(2x 3)(3x 4)(7)2 Xy=(x+ .1 x2 )(8)x cot_ y=(ta n2x) 2求下列函数的二阶导数.(1)y=2x2+l nx(3)y=xcosx(4)2x-1y=e-t .丄y=e s

10、in t(5)y= a2 x2(6) y=ln(1-x2)(7)y=ta n x(9)2y=(1+x )arctan x(10)x e y= x2(11) y=xex(12)y=l n(1+ . 1x2 )若f"(x)存在，求下列函数的二阶导数(1) y=f ( x2 )(2) y = f(sin2x)(3) y=f (Inx) Inx(4) y=lnf (x)23、求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数(1) y=tan(x+y)( 2)y x&=1,求 y"(0)(3) xy ex+y=0(4) 设y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且其一阶导数不等于1.(5)

11、24、求下列函数的微分1L(1) y= - 2 xx(3)(7)(9)xy=x21y=x2e2xy=arcsin 一1 x2(2) y=x sin 2x(4) y=ln(1 -x)2(6) y=e-xcos(1-x)(8) y=tan2(1+2x2)1 x2y=arcta n 21 x(10) S=Asin( t )(A,是常数)(11) y=lncosx In(x2 1)(13) y=xlnx25、求下列隐函数的微分.(1) xy+ey -x = 0(3) y=1 + sin x cosy26、利用微分求近似值.(1) cos 149°Q ii(12) y=cot、x 2 ln s

12、in . x(14) y= y=xy(4) y2+exy=x(2) 4 8027、当丨x丨较小时，证明近似公式1 x.(B)/一、选择题：1、在 充分” 必要” 充分必要”中选择一个正确的填入下列空格内是f(x)在点(1) f(x)在点X0可导是f(x)在X0处连接的 条件，f(x)在点X0连接X0可导的条件.(2) f / (x)在点X0的左导数f (X0)及右导数f (X0)都存在且相等是f (x)在点X0条件.2、设 Xim0则(Xf(x)在x=0处不一定连续(B)3、(C)(D)f(x)在x=0处连续，但不可导f(x)在x=0处可导，但f (x)在x=0处不连续f(x)在x=0处导函数

13、连续函数f (x) =cosVX2在点x=0处(A)不可导，且f (0),(B)不可导，且f (0),可导的(C)可导，且 f (0)=0,4、).(A) f(x) g(x)在X0处不可导(B)f (x)(g (x)0)在X0处不可导g(x)(C) g(x) f(x) (g(x)>0)在 X。处不可导(D)以上命题均不对1(D)可导，且 f (0)=-，2设f(x)在X0处可等，g(x)在X0处不可导，贝U下列命题正确的是(5、(B)若 f (x) g(x),则 f (x) >g (x)(C)如果 lim (f (x) g (x)0,则 lim (f (x)X X0x X0g(x)

14、 0(D)如果 f(X0)= g (x0), f (x) , g (x)在 X0 处可导且 lim 0,则 f (Xo)g(x°).X X0XXg6、F列命题正确的是(A)如果 lim f (x)=a ,贝U f (xo)=a ;X X)(B)如果lim f (x)不存在，则f(x)在点X0处不可导; X X°(C)如果f在X0处存在，则f (x)在点X0处连续;设g(x), f(x)均可导，下列命题正确的是(A)若 f (x)>g (x)，则 f(x) >g(x)(D)如果f (X)在一个区间内处处连续，则f(X)在该区间内有界.7、设函数 y=f(e-x),

15、 y=f(u)可微，则 dy=(A) f (e x)dx ;(D) - e-x f (e x)dx(C) f (e x) dx ;(B) e-x f (e x)dx;8、函数y= | sinx |在点x=0处的导数是(A) 0(B) 1(C)-1(D)不存在9、由方程y=x+ln(xy)所确定的曲线y=f(x),在点(2, 2)处的斜率(9(A) 94(B) 19) 5(D) 3ln(3 f(x)10、如果 lim -x 00，其中a是大于0的常数，则(A) limx 0f(x)存在且不为0;x(B) lim dj单存在且不为x 0 x '0；(C) limx 0匕单存在且不为0；x(

16、D) lim包勺存在且不为0. x 0 x2、综合题3、设 f(x)=ax esin2xX 0试问当a,b为何值时f (x)为可导函数，并写出导函数. x> 04、讨论函数f(x)1e：2x5、设函数f(x)g(x)si n1x0在x=0处的可微性.00 ,g(o)存在，问g(0), g (0)等于什么时，f(x)01、设f(x)在点X0的左、右导数都存在，证明f(x)在X0连续.2、设f(x)在x=0处连续，且lim f(x)存在，证明在点x=0处可微.X 0 x在x=0处可微?6、试求由方程y= (y+x)x所确定的隐函数y=y(x),求 3dx设y ln(1 x2)，求乎,书,芈，牛,dx d(x2) d(x3) dx28、设 y=x | x | ，求 y9、设 f (xsin3y)=yex,其中 f 可微，求 dy.10、计算3 1.0098 (精确到小数点后第四位)11、计算 037)： 1的近似值.(2.037)11 /12、设 f(x) 2，求 f1 x帀),f(帀13、设f (xo)存在，求limn14设f(X)在x=0点连续'且 牛11 ).n f(X。) f(X0n(1)求f(0),问f(x)在x=0点是否可导.15、设 f(0)=1, f (0) = 1,求极限(1) limfxLJx 2 x2