第6讲高效演练分层突破

1、基础题组练1 .设厶ABC的内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c若a = 2, c= 2 3, cos A=¥且b<c,则 b=()C. 2解析：选 C.由余弦定理 b2+ c2- 2bccos A= a2,得 b2-6b + 8= 0,解得 b= 2 或 b= 4,因为b<c= 2 3,所以b = 2.选C.2.AABC的内角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,已知b = .7, c= 4, cos A=子,则厶ABC的面积等于（）A. 3,73,7B. 2C. 9解析：选 B .因为 cos A7,贝U sin A = 3,所以 Sbc =1 x

2、 bcsin A =色,故选 B .3.在 ABC中，已知C= n b= 4,A ABC的面积为2肃，贝V c=（）A. 2 ,7C. 2 2解析：选 D .由 S= |absin C = 2ax# = 2 .3,解得a= 2,由余弦定理得c2= a2+ b2-2abcos C = 12,故 c= 2 , 3.4. （2020湖南省湘东六校联考）在厶ABC中，=ac,且sin C = 2sin B,则其最小内角的余弦值为.2AI"A, B,C的对边分别为a, b, c,其中b2C. ¥解析：选C.由sin C = 2sin B及正弦定理， 得 c = . 2b.又 b2=

3、ac,所以 b= 2a,所以c = 2a ,所以A为 ABC的最小内角.由余弦定理，知cos A =b2 + c2- a22bc(2a) 2+( 2a)2 2a2a故选C.5. （多选）（2021预测）下列命题中，正确的是（）A .在 ABC 中，若 A>B，贝U sin A>sin BB.在锐角三角形 ABC中，不等式sin A>cos B恒成立。在厶ABC中，若acos A= bcosABC必是等腰直角三角形D.在 ABC中，若B= 60°, b2= ac,UA ABC必是等边三角形解析：选ABD .对于A ,在厶ABC中，由正弦定理可得 一J =匚,所以sin

4、 A>sin B sin A sin Bnn n n? a>b? A>B,故A正确；对于B,在锐角三角形 ABC中，A ,B 0,-，且A + B/，则n>A>nnB>0,所以 sin A>sin 2 B = cos B,故 B 正确；对于 C,在 ABC 中，由 acos A = bcos B,n利用正弦定理可得 sin 2A= sin 2B，得到2A= 2B或2A= n 2B,故A= B或A= B，即 ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D ,在厶ABC中，若B= 60°, b2= ac,由余弦定理可得，b2= a2+ c2 2

5、accos B,所以 ac= a2 + c2 ac,即（a c）2= 0,解得 a= c.又 B =60°,所以 ABC必是等边三角形，故D正确.故选 ABD .b276. 在 ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 acos B c-= 0, a2= bc,r r bb>c,则-=.c解析：由acos B c 2 = 0及正弦定理可得sin AcosB sin C sin B2=0.因为 sin C = si n(A + B) = sin Acos B + cos As in B,所以一sin B2ar-7cos A sin B = 0,所以 co

6、s A=",即 A =于由余弦定理得 a2= ?bc= b2 + c2 + bc,即 2b2 5bc+ 2c2 = 0,又 b>c,所以b= 2. c答案：27. (2020 河南期末改编)在厶 ABC 中，B=扌,AC = .3 ,且 cos2C cos2A sin2B = . 2sinBsin C,贝U C =, BC =.解析：由 cos2C cos2A sin2B= 2sin Bsin C ,可得 1 sin2C (1 sin2A) sin2B= .2sin Bsin C,即 sin2A sin2C sin2B= , 2sin BsinC.结合正弦定理得 BC2 AB2

7、 AC2=J2ACAB,所以 cos A=，A=n 则 C =冗答案：5n 28. (2020兰州模拟)已知在 ABC中，角A, B, C的对边分别为 a, b, c,且asin B + bcos A= 0.(1)求角A的大小；若a = 2 5, b = 2,求边c的长.解：(1)因为 asin B+ bcos A= 0,所以 sin Asin B+ sin Bcos A = 0,即 sin B(sin A + cos A) = 0,由于B为三角形的内角，所以 sin A + cos A = 0,所以一2si nA + n = 0,而A为三角形的内角(2)在厶 ABC 中，a2= c2 + b

8、2 2cbcos A,即 20= c2 + 4 4c 学,解得 c= 4.2(舍去)或 c= 2 ,2.9. (2020福建五校第二次联考)在厶ABC中，角A, B, C的对边分别是 a , b , c,且.3 acos C= (2b . 3c)cos A.(1)求角A的大小；若a = 2，求 ABC面积的最大值.解：(1)由正弦定理可得，3sin Acos C = 2sin Bcos A 3sin Ccos A,从而 3s in (A + C) = 2sin Bcos A,即.3sin B= 2sin Bcos A.又B为三角形的内角，所以sin B丸，于是cos A =宁,又a为三角形的内

9、角，所以a= n由余弦定理 a2= b2+ c2- 2bccos A,得 4 = b2 + c2-2bc23>2bc- 3bc,所以bcw 4(2 + ,3),所以1Sbc= gbcsin A< 2 + _ 3,故厶 ABC 面积的最大值为 2+ _ 3.综合题组练1. （2020长春市质量监测（一）在厶ABC中，内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,若1b= acos C+尹，则角A等于（A. 60°B . 120°C. 45°D. 135°1 1解析：选A .法一：由b = acos C + ?c及正弦定理，可得sin B=

10、sin Acos C+?sin C,即1 1sin (A + C)= sin Acos C+ si n C,即 sin Acos C+ cos As in C = sin Acos C + si n C,所以 cos Asin1 1C= sin C,又在 ABC 中，sin C工0,所以 cos A = ,所以 A= 60°,故选 A .,1b2 + a2- c2 1法二：由 b = acos C+ c 及余弦定理，可得 b = a 药+ Qc,即 2b2= b2+ a2- c2 +b2 + c2- a2be,整理得b2+ c2- a2= bc,于是cos A =不厂1,所以A =

11、60 °故选A .2. (2020福建漳州二模) ABC的内角A, B, =bcos C + ccos B, b + c= 3,贝U a 的最小值为(C的对边分别为 a, b, c,已知3acos AC. 2解析：选 B .在 ABC 中，因为 3acos A = bcos C + ccos B,所以 3sin Acos A = sin Bcos C+ sin Ccos B= sin(B+ C) = sin A,1即 3sin Acos A= sin A,又 A (0, n,所以 sin A0,所以 cos A = 3.因为b + c= 3,所以两边平方可得 b2 + c2+ 2bc

12、 = 9,由b2+ c2>2bc,可得9>2bc+ 2bc =4bc,解得bew 9,当且仅当b = c时等号成立，所以由a2 = b2 + c2 2bccos A,可得a2= b2 + c2- |bc= (b+ c)2- 8bc> 9 4 3,当且仅当b - c时等号成立，所以a的最小值为 3. 故选B .3. （2020湖北恩施2月质检）在锐角 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若 cos B= 3, b = 4, Sabc = 4寸2,则厶 ABC 的周长为 .3解析：由cos B = 3，得sin B = ¥,由三角形面积公式可得 2a

13、csin B=址# = 4 2,1则 ac= 12，由 b2= a2+ c2 2accos B,可得 16= a2 + c2 2X 12X?贝U a2+ c2= 24，联立可得a = c= 2 .3,所以 ABC的周长为4.3+ 4.答案：4.3 + 4asin A + bsin B csin C 2 34在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c,sin Bsin C=a, a=2西若b 1 , 3,则c的最小值为解析：as in A + bs in B csi n C 2 3a2+ b2 c23由sin Bsin C= Ta，得 2ab = 3 sina2+ b2 c

14、2C.由余弦定理可知 cos C=药,即3cos C = 3sin C,所以tan C = 3,故cos C1=2 所以 c2= b2 2 3b+ 12= (b . 3)2+ 9,因为 b 1 , 3,所以当 b= 3时，c 取最小值3.答案：355.(综合型)在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c , ?c a cos B = bcos A.(1)求cos B的值；若a = 2, cos C=乂求厶ABC外接圆的半径 R.5解：(1)因为 3c a cos B = bcos A ,5所以结合正弦定理，得§sin C sin A cos B = sin Bcos

15、 A ,所以 |sin Ccos B= si n(A + B) = sin3c.又因为sin C丸，所以cos B=3.(2)由(1)知，sin B =cos2B = 5.5因为 cos C= W?,所以sin C =VT73X 40 8077 + 517 = 85所以cos A=b2 + c2-a22bc(2 ,'7) 2 + 22- 622X 2X 2.714.4所以 sin A = sin(B+ C)= sin Bcos C+ cos Bsin C= 5X1 a 1所以R=2s=齐856. (2020重庆市学业质量调研) ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知 ABC 的面积为 accos B，且 sin A= 3sin C.(1)求角B的大小;若c= 2, AC的中点为D，求BD的长.解：(1)因