第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系

1、第3 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1. (2015 湖北卷, 12表示空间中的两条直线，若p: li, 12是异面直线；q : li,l2 不相交，则 ()A. p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件B. p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件C. p是q的充分必要条件D. p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件解析 直线li, 12是异面直线，一定有li与12不相交，因此p是q的充分条件； 若li与12不相交，那么li与12可能平行，也可能是异面直线，所以 p不是q 的必要条件 . 故选 A.答案 A2. (20i7 郑州联)已知直线a和平面a，

2、 B，aGB=丨，a?a， a? p,且a在a，B内的射影分别为直线b和c,贝U直线b和c的位置关系是()A. 相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面解析 依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面，选 D.答案 D3. 给出下列说法：梯形的四个顶点共面；三条平行直线共面；有三个公共点的两个平面重合；三条直线两两相交，可以确定i个或3个平面.其中正确的序号是 ()A. B.C.D.解析显然命题正确由于三棱柱的三条平行棱不共面，错命题中，两个平面重合或相交，错三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题正确答案 B4. （2017 济南模拟,b , c是两两

3、不同的三条直线，下面四个命题中，真命题A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B. 若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C. 若a /b，则a，b与c所成的角相等D. 若 a 丄b，b 丄 c，贝U a /c解析 若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，贝U a，c相交、平行或异面；若a丄b，b丄c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知 C正确.故选C.答案 C/DiFD为异面直线AE与DiF所成的角.5. 已知正方体 ABCD AiBiCiDi中，E, F分别为BBi，CCi的中点，那么异面直线AE与DiF所成角的余弦值为

4、（）4325A一B.c.D.5537解析连接DF，则AE/DF，设正方体棱长为a，贝U DiD = a, DF'cos ZD i FD =答案 B、填空题6. 如图，在正方体ABCD AiBiCiDi中，M ,N分别为棱CiDi,CiC的中点，有以下四个结论： 直线AM与CCi是相交直线； 直线AM与BN是平行直线; 直线BN与MB i是异面直线； 直线MN与AC所成的角为60 °其中正确的结论为填序号）.解析 A，M，Ci三点共面，且在平面 ADiCiB中，但C?平面ADiCiB，Ci?AM，因此直线AM与CCi是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，错；M，B，Bi三点共

5、面，且在平面 MBBi中，但N?平面MBB i，B?MB i，因此直线BN与MBi是异面直线，正确；连接 DiC，因为DiC/MN，所以直 线MN与AC所成的角就是DiC与AC所成的角，且角为60 °答案7如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a上，且AB /CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为B冲ND /BM ,故异面直线BM与AN所成角的余弦值为解析 取CD的中点H，连接EH, FH.在正四面体CDEF中，由于CD丄EH , CD丄HF, 且 EHAFH = H，所以CD丄平面EFH,所以AB丄平面EFH，贝U平 面EFH与正方体的左右两侧面平行，则E

6、F也与之平行，与其余四个平面相交. 答案48.(2014 全国U卷改编直三棱柱ABC AiBiCi中，/BCA = 90 °,M，N分别是AiBi，A1C1的中点，BC= CA= CCi，贝U BM与AN所成角的余弦值为、解答题(i)三棱锥P ABC的体积;9如图所示，正方体 ABCD AiBiCiDi中，M , N分别是A1B1, B1C1的中点.问：(1) AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2) DiB和CCi是否是异面直线？说明理由.解(1)AM，CN不是异面直线.理由：连接MN ， A1C1, AC. 因为M ， N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN /AiCi.又

7、因为AiA綉CiC，所以四边形AiACCi为平行四边形，所以 AiCi /AC，所以 MN /AC, 所以A，M，N，C在同一平面内， 故AM和CN不是异面直线.直线DiB和CCi是异面直线.理由：因为ABCD AiBiCiDi是正方体，所以B, C,Ci,Di不共面.假设DiB 与CCi不是异面直线，则存在平面a,使DiB?平面a, CCi?平面a,所以 Di , B, C, Ci a,这与B, C, Ci, Di不共面矛盾.所以假设不成立，(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.三棱锥P ABC的体积为二 3s-cPA二 3X2如图，取PB的中点E,连接DE, AE,贝U ED /BC,

8、以ZADE是异面直线BC与AD所成的角（或其补角）.在zADE 中，DE = 2 , AE = ：2, AD = 2,22 + 22 2cos ZADE2 X 2 X2 43故异面直线BC与AD所成角的余弦值为；.11.以下四个命题中， 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点A, B, C, D共面，点A, B, C, E共面，则点A, B, C, D , E共面; 若直线a, b共面，直线a, c共面，则直线b , c共面; 依次首尾相接的四条线段必共面正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3解析 假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任

9、意三点不共线，所以正确 从条件看出两平面 有三个公共点A, B, C,但是若A , B, C共线，则结论不正确；不正确；不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边答案 Bi2.若空间中四条两两不同的直线1i, 12, 13 , 14，满足 1i 丄 12 ,12 丄 13, 13 丄 14,贝 U下列结论一定正确的是（）A.1i 丄 14B.1i /I4C.1i与14既不垂直也不平行D.1i与14的位置关系不确定解析 如图，在长方体 ABCD AiBiCiDi中，记li = DDi,12= DC , 13 = DA.若 14 = AAi，满足 li 丄 12, 12 丄

10、 13 , 13 丄 14，此时1i /l4，可以排除选项A和C.若取CiD为14，则1i与14相交；若取BA为14,则1i与14异面；取CiDi为14,则1i与14相交且垂直因此1i与14的位置关系不能确定答案 Di3.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC = BC = 2, ZACB= 90 °,F, G分别是线段 AE,BC的中点，贝U AD与GF所成的角的余弦值为 .i解析 取DE的中点H，连接HF, GH.由题设，HF綉jAD.KFH为异面直线AD与GF所成的角（或其补角）.D H E在AGHF中，可求HF = ;；2 ,答案o14. 如图，

11、在四棱锥 0 ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，0A丄底面ABCD , 0A = 2, M为0A的中点.(1) 求四棱锥0 ABCD的体积；(2) 求异面直线0C与MD所成角的正切值.解 由已知可求得正方形 ABCD的面积S = 4,18所以四棱锥0 ABCD的体积V = 一X4 X2 = 一.3 3(2)如图，连接AC,设线段AC的中点为E,连接ME , DE. 又M为0A中点，.ME /0C,则ZEMD(或其补角)为异面直线0C与MD所成的角，由已知可得 DE=，；2, EM ：3, MD = ：5,r,'2)2 + (七)2二 C ,'5)2,DE 2 J6/DEM为直角三角形，二tan ZEMD =EM yj33异面直线0C与MD所成角的正切值为解析 如图所示，取BC中点D，连接MN ， ND，AD.VM，N分别是AiBi, AiCi的中点，1iMN 銹一B