伪谱最优控制方法

1、伪谱最优限制方法,又称为正交配置法,主要利用Lagrange插值多项式近似离散最优 限制问题中的状态变量和限制变量,将连续型最优限制问题转化成离散形式的非线性规划(NLP)问题,然后利用相应的 NLP算法求解.根据配置点的不同,伪谱法主要分为 Legendre 伪 谱 法1、Gauss伪 谱 法2-3和 Radau伪 谱法4-5 3种.为了利用最优限制理论研究串联式混合动力的能量治理策略,需要建立动力总成和各个能量源的数学模型.文中忽略动力系统传动部件的效率损失.串联混合动力驱动系统的能量治理为复杂的非线性系统,其最优限制问题是寻找最优限制序列使得给定的性能指标能够达到最小,同时,也要满足一定

2、的机械和电气约束.本文研究重点在最优限制理论的应用,采用较简单的模型进行混合动力车辆能量治理的研究.整车能量治理问题作为最优限制问题求解,需要形成通用形式表达的最优限制问题.非线性最优限制问题(Optimal Control Problem,OCP层指性能指标、状态方程或者约束条件中存在非线性函数项的最优限制问题,通用的表述形式为确定状态x,限制 u(t)使性能泛函 J取得最小值：J二中出巾),仙,3)4)+ 卜),1|1)威2其中状态方程为:双.一= 0 酸( 2,2)边界条件为工= 0 e !Ky(23)路径约束为工0 e R*(24)状态盘和限制量的上下限约束如下式；x(z) xi/)

3、x(rh f e 加(2.5)u(Z) M u(/) W u(0, / e mm,箕中.此处的性能泛函J由两局部组成,第一项反响对终端性能的要求,称为终 端指标函数,如果目标性能泛函仅仅包含第项,称为纯端型或苫梅耶型目标泛函 假设仅仅包占第二项的形式的性能指标称为枳分型或者拉格朗口型口标泛函口如式24 所示的为综合型或者BHza型目标泛函.其中的梅耶项幻*可以通过 变换转化为拉格朗日项,u(f)分别为系统状态量和限制量,状态方程和边界条 件亦可以看作是施加于系统的等式的束,此处电池模型果用的是简单的内阻模型叫 如图工6所示.图2.6电池电路模型根据鱼池的电路模型可知当电池输出功率为尸风,输出电

4、压为九,两者表达式可由电路模型得到:(2-8)几=%-兀%尸M Ubui - itw从数学上看,混合动力汽车能量治理问题就是利用一系列离散限制使一定时间围车辆行 驶的的性能指标到达最优,故可将能量治理问题抽象为最优限制问题,其核心任务就是获得最优的限制律.直接法理论优化问题一般分为参数优化离散、静态和过程优化连续、动态两大类.最优限制问 题本质上是一个连续、动态的过程优化问题, 采用动态优化方法求解,比方变分法和极大值原理.但现代计算技术的高速开展使得静态/动态、离散/连续的界限越来越模糊.目前基于求解非线性规划问题的参数优化方法越来越多应用于求解类似于最优限制问题或者动态轨 迹优化问题,这就

5、是轨迹优化中的直接法.直接法通过引入时间离散网格,将限制变量和/或状态变量离散,并将动态约束条件转化为代数约束条件,最终使原来的连续轨迹优化问题转化为一个离散参数优化问题即非线性 规划问题Nonlinear Programing, NLP,结合非线性规划求解器即可获得最优解.优化变量通 常包含离散网格点上的限制变量序列和/或状态变量序列直接法根据离散化变景的不同可分为三类口第类方法为自接配点法,同时将状 态变量和限制变母禽散化,微分方程便转化为代数约束条件,比方通过引入离散网格 可以将微分方程占氏.在某离散时间节点li处采用梯形积分公式得到 gx + 0,5*i+/x力相当于是通过有限差分法来

6、近似导致项,此处 /=/依,科明.进而将高散的动态约束条件改号成残值形式,即 = + 1-*-0.5由/ + 1+/取 +.离散的动态约束条件就等阶于要求残值凡在节 点上为零.优化的过程就是不停调整状态和限制量使这些残值趋于零,同时也要满足 边界条件,并使性能指标最小.这样,这些残值表达式和原最优限制问题中的其他约 束一起构成配点法中非线性规划问题的约束条件.这一类算法收敛速度快,并且收敛 半处增大.是目前应用较多的求解最优限制问题的的方法之一.第二类方法是数值积分法只离散限制变景,对澈分方程进行显式数值积分,同 忖得到状志变显序列,进而得到终端时刻的状态.优化的过程就是不断调整限制变 最序列

7、,使得终端差束条件得到满足并使性值指标取极值.这种方法需要进行数值积 分,收点是计算属较大,代及算法是直接单步或多步打靶法.第三类方法,是只离散状态变最的微分包含法,该方法通过求解局部状态方程将 诧制变最消去,并将余下的状态方程进行离散从而转化为残值形式余下的思路和配 点法类似,只不过此处优化变量只有状态变埴序列.依据以上所述不同的变盘进行离散后的连续最优限制问眄转化为非线性规划问 题,求解NLP的算法已经相对较成熟,主要有罚函数法、SQPm Sequence Quadratic法、内立法和信赖域法,口前存在的求解软件包自以稀疏SQP算法为根底 为 SNORRSparse Monlinear

8、Uptimizur软件包以内点法为根底的 IPOPTClnlerior Point Optimizer、以囊括了两种内点法和 种线性SQP方法为根底的KNITRO,等等口克接法的形式有很多.优化变最的选择和动态约束的离散方法有很大的员活性. 假设将假分包含法看成特殊的配点法,那么可以用略地将直接法分成直接配点法和直接打 靶法两大类.早期的直接配点法采用固定阶分段多项式近似状态量,求解收敛速度较 低*目前正交卷项苴被用来近似状态和限制最,不仅梃高了计算精度,也同时加速了 收敛速度T又被称为伪谱法.因此,伪谱法在越来越多的澳际问题中表现出很好的优 势,为求解复杂的非线性最优限制问题提供一个方向.基

9、于MMab环境下采用直接法 求解最优限制问题的软件包也日渐增名,代表性的软件包有GPOPS, RIOTS、DIDO, DIRECT. PROPT 串伪谱法伪谱法与普通足点法最大的差利在它使用数值微分来近似导数项,采用基F Lagrange插低的全局近似或者局部近似,从而得到节点上的离散动力学方程,也即残 值表达式；而普通配点法采用数值积分或有限差分方法得到微分方程,即动态约束在 典散节点上的残值.构造伪谱法离散网格点行两个特点,第一,它们不是任给的均匀 涧格点,而是正交多项式或其蛆合的零点；第二,它们通常是Gmiss积分点,也就是 根据相应权函数可以利用被积函数在伪谱网格点上的值来求积分值J常

10、用正交蓦项式 仃Legendre多项式、Chebyshev多项式和Jocobi多项式,而每一种正交卷项式可以 时应不同的 _iau55 枳分点!l|l Gauss-LobaTto 节点、Gauss T.和 GamRn出u】H 点： 这三类Tauss枳分点侬次包含两个时间边界节点、不含时间边界守点和一个时间边 界节点.利用不同正交多项式和Gauss积分点组合口I构造出多种伪谱法格式,常见 伪谱法格式存 Chebyshev-Gauss-Lobalco (CGL) * Ixcndre-Gauss 、 LG)Lcgcndrc-Gauss-Radau(LGR). Legendre-Gmu监工曲3(1.亿

11、仃)等“伪潜法与大局部 同接法相比.有个理论上的亮点,即可以利用其结果来估计间接法中的协态变量曲 绝大局部的宜接法,由于没有利用最优限制所诱导的一阶最优必要条件,因此很难保 证结果的最优特性.而在伪谱法中,伪谱法禽散原连续轨迹优化问题转化为非线性规 划问题,这个小线性规划问题的一阶必要条件网(即心皿h-Kuh+Tu&cr或KKT条 件)可以证实H最优限制所诱导的最优必要条件足等价的.即乘子等价映射.如图4.1 所示,这一结果沟通了直接法和间接法即最优限制理论的联系.推导详见第六章.其 中KKT条件是建立乘了等价映射的第一步是推导H线性规划问题的一阶必要条件, 推导如下.对于式(44)所述非线性

12、规划问题： niin/(x) si. = 0 f = .抑 侬、)0 j = 12/口)xe R其中N Xd为口维优化变量,/为目标函数.等式约束 而=01 = 1,2明和不等式约束或富)WO = 12.3都足够光滑,其中my,可以 将上述等式约束和不等式约束分别记为册D = 0( = 12m)和M、) = 0.U = l2 p), 引入Lagnmg0函数和未知Lgran炉乘广可将上述的带有约束的优化问题变为无约束极 正响题,这样便可以得到上述非畿性规划问题的KKT条件：定义Lagrange函数L为:(4.2)其中 H(sO；力心)= 0.(,= 1,2加卜 G(x):(x)0.(7 = 1,

13、2p)其中入=和rYr.W网VO是分别与等式约束和不等式约束相对应的Lagran吃乘已 当为 非线性规划问题(4.1)的极小值点时,需要满足一阶必要条件,即KKT条件.如下：守=入-口H(/) 书?(十)=0* V(炉AR = *) = 0(4.3)jiG(i*) = 0tg0上式中的微分算符U, = %,%-底L的化M雎化 伪谱法禽戚后的MP优化XLP 的 KKT 条T融子侪映射离散为两点总值问题图41桑/书价映射示意BB乘子等价映射在LGL、LGR. LG和CGL伪谱法格式中已经建立并得到证实, 在应用上,乘子等价映射可以用来估计间接法中的协态变房*同时也可以想据估计的 Hamiltoio

14、函数来判断结果的最优性能.关于伪谱法.以式(2+1)到(2.5)所述最优限制问题为例,上述的BNza问跑忖 间取值范围是加外 好入归一化时间变量V 1,将原最优限制问题转化为区间 口上的标掂最优限制问超：仃一 V + Fozrd-将式(4J)代入到(2.1) - (25) o时间区间变为WK,Bolza问题转 化为以下适合伪谱法的标本Bolza问题：min二例j L(K(T)/(!)#T * -IJ工;加幻,t e-1J(4.5)(46)(451也幻 0. r e-IJ(4.8)本章第三节所采用例子是基于Radau伪谱法进行求解的.针对以上经过时间 变换得到的品优限制问题简单介绍Radau的求

15、解过程口状态和限制变量离散化Radau伪讲法求解最优限制问题的根本思路为：将未知的状态变量和限制变量在 一系列Lugundru.(iaus-Rathu( LGR)点上离散化,然后采用Lagrange插值多项式逼 近真实的状态变量与限制受量,再通过对被近似的状态变量表达式求导代替状态微分 方程.LQR点为多项式尸=+P+)的零点,有N“个离散点是位于区同卜1.1内, 其中右侧端点-1也为一个的配置点.其中尸为用阶以趾nd%多项式,表达式及其 递推公式为二IFG = R7；LQ-IW(4 2 A J dr汽*力=1.产】(r) r.(4.10)(川4】)融*仃片(2川十肌人白)川小一小)(4.11

16、)其中配置点记为仁1,2其中门=1,在配置点处有离散状态呈工和离散控 制量U,*用Lagmnge插值多顼式的线性纲合来近似状态变量/和限制变量U可 得到如卜表达式：jUt)为 X(r) = E 乙(门乂(匚)=(4J2) J-lEl乙E二 n 1-IL (2,N)(4J3)门14.14)(4.15)粹*U(T)之 1= Z /T)U(h)=工上(工)1 jiri出F r %)= n 广岛向f 0 一汇其中工,为LflglFC印插值多项式.甚于上述状态变量和限制变量的离散化结果, 需要进一步时状态方程和沟束条件等进行转化计完j微 分 矩 阵 与 导 数 近 似 系统的状态方程含有状态变量对时间的

17、导数项,此处劝导数的近似一股是指整体 近似.在伪谱法中,函数的Lagran图插值基函数是全局定义的,而导致的伪谱近似 是通过对Lagrange插值多地式求温分得到的,因此它属于整体近似方法;除比之外, 通常的有限差分法属局部近似,依赖于Ugrange局部插值近似.对Lagrange插值 名项式(4J2)求导可得:匕i(r)片支(门=Z L(r)X(4J6)只考虐LGR配点上的状态变异的导数值,令二门,代入上可得： 其.虱G)制 X(TO = L(g)X,二Z DX,(4J 7)Ii-l其中,XI2-,V4, D为一个(N-l)xN的矩阵.称为状态微分矩阵口 那么状态方程(4.6)可以由下面的约

18、束条件代替：* Dg K r *;风廿, k = 127N7(4 J 8)i-i2万一1v hi( x( n ).u(nX 门；他 “i1|lrV-.|(4.19)其中.A是Ga岭枳分公式中的积分权重,也可以事先计价出AMii(r),r；hi, ft) =s 工门),)*1v i(4.19)A m jtAfXi. Ih. ri:.)*T其中,H4,gl2M,是Uhusb枳分公式中的枳分权重,也可以事先“算出NLP问题的形成通过把路在的束在LGR点上进行离散化以及将状态变吊限制变呆近似多顶式代 人(4,5)fij(4.8)可以得到离散形式的非战性规划问题,如所a minJ J =中(X j露 X.v, “) + 二 Z w必.Ik,门;地 “卜(4.20)IA-ljsx E Dl龙-“X1.5,国田)=0,* = 1