第14章-光的衍射(4学时)

1、114.1 光的衍射现象光的衍射现象 光遇到障碍物时，能绕过障碍物边缘而进入几光遇到障碍物时，能绕过障碍物边缘而进入几何阴影传播，并且产生何阴影传播，并且产生强弱不均的光强分布强弱不均的光强分布，这种，这种现象称为现象称为光的衍射光的衍射。一一.光的衍射现象光的衍射现象*Sl ll l 10-3 a*Sl l衍射屏衍射屏观察屏观察屏aLL衍射屏衍射屏观察屏观察屏L 2二二.惠更斯惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理P点的合振动：点的合振动：P点的合成光强：点的合成光强：I = E2 dSrtrKCdEESS l l 2cosQ设初相为零设初相为零S(S(波前波前) )dS npdE(p) 波阵面上各点

2、发出的子波在空间相遇时会波阵面上各点发出的子波在空间相遇时会产生相干叠加。产生相干叠加。 “子波相干子波相干”这就是惠更斯这就是惠更斯-菲涅耳原理。菲涅耳原理。3 衍射的分类衍射的分类光源光源障碍物障碍物观察屏观察屏有限远有限远有限远有限远无限远无限远有限远有限远无限远无限远有限远有限远菲涅耳衍射：菲涅耳衍射：无限远无限远无限远无限远夫琅和费衍射：夫琅和费衍射：干涉和衍射的主要区别是什么？干涉和衍射的主要区别是什么？ 干涉是干涉是有限多有限多条光线的相干叠加；条光线的相干叠加； 衍射是衍射是无限多无限多条光线的相干叠加。条光线的相干叠加。观观察察屏屏*S4对对衍射角衍射角 ，两边缘光线两边缘光

3、线A、B的光程差是的光程差是fopAaB*SC当当衍射角衍射角 =0时，时， =BC=asin 所有光线相互加强，形成所有光线相互加强，形成中央明纹中央明纹。设平行单色光垂直入射。设平行单色光垂直入射。14.2 单缝的夫琅和费衍射单缝的夫琅和费衍射5菲涅耳半波带法菲涅耳半波带法2l 两个两个相邻波带相邻波带所发出的光线所发出的光线会会聚于屏幕上时聚于屏幕上时全部相干相消。全部相干相消。 如果单缝被分成如果单缝被分成偶数个波带偶数个波带，相邻波带成对相干相邻波带成对相干相消，屏相消，屏幕幕上对应点出现暗纹。上对应点出现暗纹。 如果单缝被分成如果单缝被分成奇数个波带奇数个波带，相邻波带相干相消相邻

4、波带相干相消的结果，还剩下一个波带的作用，于是屏的结果，还剩下一个波带的作用，于是屏幕幕上对应点上对应点出现亮纹。出现亮纹。 单缝相应就被分成若干等单缝相应就被分成若干等宽的窄带宽的窄带菲涅耳半波带。菲涅耳半波带。2l2lABaC 作一系列相距作一系列相距l l/2且垂直于且垂直于BC的平面的平面,6 单缝衍射明暗纹的中心位置是单缝衍射明暗纹的中心位置是:22sinl l ka 2) 12(sinl l ka0 暗纹暗纹 (k=1,2,3,) 亮纹亮纹 (k=1,2,3,) 零级零级(中央中央)亮纹亮纹 直线条纹直线条纹波带数波带数注意：注意：1.k 02.明暗相反明暗相反3. .4.波带数波

5、带数fopAaB*SC7 中央明纹又亮又宽中央明纹又亮又宽(约为其它明纹宽度的约为其它明纹宽度的2倍倍)。 中央两旁，明纹的亮度随着级次的增大迅速减小。中央两旁，明纹的亮度随着级次的增大迅速减小。这是由于这是由于k越大越大,分成的波带数越多分成的波带数越多,而未被抵消的波而未被抵消的波带面积越小的缘故。带面积越小的缘故。1.光强分布光强分布 sin 相对光强曲线相对光强曲线1.00.0470.0170.0470.017olala2la2la82.中央亮纹宽度中央亮纹宽度 中央亮纹范围：中央两中央亮纹范围：中央两旁两个第一级暗纹间的旁两个第一级暗纹间的区域，即区域，即 -l l asin l l

6、( 很很小小, 有有sin ) 中央亮纹半角宽度：中央亮纹半角宽度： al l 中央亮纹的线宽度：中央亮纹的线宽度：afxl l2 l lx单缝单缝透镜透镜观测屏观测屏 fa9设窄带设窄带dx的光振动为的光振动为taxAEo cosdd 此坐标为此坐标为x 处的窄带处的窄带 (子波源子波源)在在P点产生的光振动为点产生的光振动为3.用惠更斯用惠更斯-菲涅耳原理求光强分布菲涅耳原理求光强分布 )2cos(ddl l rtaxAEo 用用ro表示从单缝中心表示从单缝中心o点到点到P点的光程，则点的光程，则r=ro+xsin ，上，上式变为式变为 xdxABPErroo)2(sin2cosdtrxa

7、dxAEoo l l l l 将上式对整个缝宽积分，就得将上式对整个缝宽积分，就得P点的合振动：点的合振动：10)2(sin2cos22trxadxAEooaa l l l l xdxABPErroo)2cos(sin)sinsin(traaAoo l l l l l l P点合振动的振幅为点合振动的振幅为sinouAAu l l sinau 令令11则则P点的光强可表示为点的光强可表示为 22sin uuIAIouAAosinu xdxABPErroo (1)当当 =0时，时，u=0，I=Io，光强最大，此即，光强最大，此即中央中央 (零级零级)明纹明纹中心中心。 l l sinau ,si

8、n(2)时时当当 l l kau 即即 asin = kl l (k=1,2,3,)，时，时, I=0，此即，此即暗纹暗纹中心的条件。中心的条件。 1222sin uuIAIo l l sinau (3)令令 ，可求得各级，可求得各级亮纹亮纹的条件为的条件为 0sindd2 uuutgu=u asin 1=1.43l l ， I1=0.0472Io l l23asin 2=2.46l l ， I2=0.0165Io l l25即即asin 2)12(l l k13解解 由单缝的暗纹条件：由单缝的暗纹条件：2)12(sinl l ka k=1, =30,得：得：a =2l l 。 (半半)波带数

9、波带数=2/sinl l a (半半)波带数波带数=2 一般一般计算计算波带数的方法是：波带数的方法是：2k=2 。l ll l kka 22sin例题例题14.2.1 波长波长l l的单色光垂直照射单的单色光垂直照射单缝，第缝，第一级暗纹一级暗纹衍射角为衍射角为30，求狭，求狭缝的缝宽及对缝的缝宽及对应此应此衍射角狭衍射角狭缝的波阵面可分为几个半波带。缝的波阵面可分为几个半波带。14 解解 (1)第三级第三级暗纹位置：暗纹位置： asin =3l l tgfx 很小很小sin o p fx,33afxl l afxdl l623 fda6 l l=5000 例题例题14.2.2 单单缝宽缝宽

10、a=0.15mm, 透镜焦距透镜焦距f =400mm。测得测得中央明纹两侧的中央明纹两侧的两条第三级两条第三级 暗纹间的距离暗纹间的距离d=8mm,求求:(1)入射光的波长入射光的波长; (2)中央明纹线宽度中央明纹线宽度;(3)第二级第二级暗纹到透镜焦点的距离。暗纹到透镜焦点的距离。15第二级第二级暗纹到焦点的距离暗纹到焦点的距离:afxl l2 =2.67mm (2)中央明纹的线宽度中央明纹的线宽度:afxl l2 a=0.15mm, f =400mm, l l=5000=2.67mm(3)第二级第二级暗纹到透镜焦点的距离。暗纹到透镜焦点的距离。第二级第二级暗纹位置：暗纹位置： asin

11、=2l l tgfx 很小很小sin o p fx16 解解 明纹明纹: 2)12(sinl l ka tgfx 很小很小sin 121042)12(27 kfkaxl l在可见光波波长范围，取在可见光波波长范围，取 k=3，l l=6000,相应相应单缝被划分为单缝被划分为7个半波带；个半波带； k=4，l l=4667,相应相应单缝被划分为单缝被划分为9个半波带。个半波带。o p fx 例题例题14.2.3 单缝宽单缝宽a=0.6mm，透镜焦距，透镜焦距 f=40cm。平行光垂直照射。平行光垂直照射,距中心距中心o点点 x=1.4mm的的P点处恰为一明纹中心点处恰为一明纹中心,求入射光求入

12、射光的波长及对应的波长及对应P点单缝被划分为几个半波带。点单缝被划分为几个半波带。1714.3 光光 栅栅 衍衍 射射 a 透光缝宽度；透光缝宽度； b 不透光部分宽度；不透光部分宽度； d=(a+b) 光栅常数光栅常数。 光栅分为光栅分为 透射光栅透射光栅 反射光栅反射光栅一一.光光 栅栅abfoEp 大量等宽、等间距的平行狭缝的集合大量等宽、等间距的平行狭缝的集合光栅光栅。实用的光栅每厘米有成千上万条狭缝。实用的光栅每厘米有成千上万条狭缝。18设平行光线垂直入射。设平行光线垂直入射。二二.平面透射光栅平面透射光栅abfoEp 对于缝间干涉，两相邻对于缝间干涉，两相邻狭缝光线：狭缝光线：d=

13、kl l , 主极大主极大(明纹明纹)( k=0,1, 2,) dsin 光栅方程光栅方程每条狭缝有衍射每条狭缝有衍射,缝间光线还有干涉缝间光线还有干涉,可以证明可以证明:屏上合成光强屏上合成光强 =单缝衍射光强单缝衍射光强缝间干涉光强缝间干涉光强各明纹亮度相同各明纹亮度相同:I=N2Ii 19dsin =kl l , 主极大主极大(亮纹亮纹) ( k=0,1, 2,) 1.光栅方程的物理意义：光栅方程的物理意义： 光栅方程是衍射光栅合成光强光栅方程是衍射光栅合成光强出现亮纹出现亮纹(主极大主极大)的的必要条件必要条件。 屏上合成光强屏上合成光强 =单缝衍射光强单缝衍射光强缝间干涉光强缝间干涉

14、光强 20缝数愈多，缝数愈多，亮纹愈细。亮纹愈细。0I-2-112单缝衍射光强单缝衍射光强asin /l lk=(a)dsin /l l04-8-48多缝干涉光强多缝干涉光强 亮纹亮纹(主极大主极大)k=(b)IN2I0单单048-4-8dsin (l l/d)单缝衍射单缝衍射 轮廓线轮廓线光栅衍射光栅衍射光强曲线光强曲线k=dsin /l l(c) 21 光强分布特点光强分布特点:亮纹又亮又细，中间隔着较宽的亮纹又亮又细，中间隔着较宽的暗区暗区(即在黑暗的背景上显现明亮细窄的谱线即在黑暗的背景上显现明亮细窄的谱线)。谱线。谱线的亮度还受到单缝衍射因子的调制。的亮度还受到单缝衍射因子的调制。

15、2.谱线的缺级谱线的缺级 dsin =kl l , (光栅光栅)亮纹亮纹( k=0,1, 2,) asin =kl l , (单缝单缝)暗纹暗纹( k=1, 2,) 则缺的级次为则缺的级次为kadk ,.)2 , 1( , kIN2I0单单048-4-8dsin (l l/d)单缝衍射单缝衍射 轮廓线轮廓线光栅衍射光栅衍射光强曲线光强曲线k=(dsin /l l22k=0k=1k=2k=3k=-1k=-2k=-3kadk ,.)2 , 1( , k 例：例：(1)a=b, d=a+b=2a, 则则k=2k =2,4,6,级缺。级缺。 (2)b=2a, d=a+b=3a, 则则k=3k =3,6

16、,9,级缺。级缺。 三三.光栅光谱光栅光谱 如果用白光照射光栅如果用白光照射光栅, dsin =kl l , 亮纹亮纹( k=0,1, 2,) 则同一级谱线中，不同波长的谱线则同一级谱线中，不同波长的谱线 (除中央零级外除中央零级外)由中央向外波长由短到长的次序分开排列，形成颜色由中央向外波长由短到长的次序分开排列，形成颜色的光带的光带光栅光谱光栅光谱。这就是光栅的色散特性。这就是光栅的色散特性。23四四.光谱级的重叠光谱级的重叠k=0k=1k=2k=3k=-1k=-2k=-3 如果不同的波长如果不同的波长l l1 ，l l2同时满足：同时满足： dsin =k1l l1= k2l l2 l

17、l1 的的k1级和级和l l2的的 k2级发生了级发生了重叠重叠。 在可见光范围内，第二、三级光谱一定会发在可见光范围内，第二、三级光谱一定会发生重叠。级次愈高，重叠愈复杂。生重叠。级次愈高，重叠愈复杂。 如：如：dsin =34000= 2600024 解解 (1) dsin 1 =kl l , dsin 2=(k+1)l l12sinsin l l d=10l l=610-6m(2)因第因第4级缺级，由缺级公式：级缺级，由缺级公式：kadk =4，取取k =1(因要因要a最小最小)求得：求得：a=d/4 =1.5-6m 例题例题14.3.1 l l=6000的的平行光垂直照射光平行光垂直照

18、射光 栅栅,发现两相邻的主极大分别出现在发现两相邻的主极大分别出现在sin 1=0.2 和和sin 2=0.3处，而第处，而第4级缺级。求：级缺级。求： (1)光栅常数光栅常数 d=？ (2)最小缝宽最小缝宽 a=？ (3)屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数。屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数。25 dsin =kl l 最大最大k对应对应 =90，于是，于是 kmax=d /l l=10 缺级：缺级： d=610-6m a=1.510-6m8 , 44 kkadk 屏上实际呈现屏上实际呈现: 0，1，2，3，5，6，7，9共共8级，级，15条亮条亮纹纹(10在无穷远处，看不见在无穷远处，看不见)

19、。 (3)屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数: abfoEp 26afxl l2 = 0.048m (2) d=10-2/200 =5 10-5m 共有共有3个主极大：个主极大：k=0 , 1。dsin =kl l , k= 0,1,2, asin =l l,.4 , 22 kkadk缺级：缺级：k=2解解 (1)由中央明纹宽度公式由中央明纹宽度公式 例题例题14.3.2 一光栅每厘米有一光栅每厘米有200条狭缝，透条狭缝，透 光缝宽光缝宽a=2.510-5m, 透镜焦距透镜焦距f =1m, 波长波长 l l=6000的光的光垂直入射垂直入射。求：。求：(1)单缝

20、衍射的单缝衍射的中央明纹宽度中央明纹宽度 x=？ (2)在此中央明纹宽度内共有几在此中央明纹宽度内共有几个主极大？个主极大？27k=370004000 dsin =k1l l1= k2l l2 第第2级光谱被第级光谱被第3级光谱重叠的波长范围：级光谱重叠的波长范围： 6000 7000 第第3级光谱被第级光谱被第2级光谱重叠的波长范围：级光谱重叠的波长范围： 4000 4667解解k=240007000.k=0中央 例题例题14.3.3 光栅光栅d=1.210-5m, 用白光用白光 (l l=4000 7000)垂直照射垂直照射, f =0.6m,求第求第 2级光谱与第级光谱与第3级光谱的级光

21、谱的重叠范围重叠范围。6000466728 x因因 很小，很小， x/f=tg sin d.x1/f=3l l1， d.x2/f=2l l2重叠区域的宽度：重叠区域的宽度： x=x2-x1=f(2l l2 -3l l1)/d=10mm x=4000的第的第3级与级与7000的第的第2级谱线间的距离。级谱线间的距离。 dsin 1=3l l1， l l1=4000 dsin 2=2l l2， l l2=7000重叠区域的宽度重叠区域的宽度:k=370004000k=240007000.k=0中央poEf x 29解解 (1)mmmd33. 33001 dsin22.46 =1.38 m =kl

22、l 对红光：对红光： k=2, l lr=0.69 m 对蓝光：对蓝光： k=3, l lb=0.46 m 例题例题14.3.4 光栅每毫米有光栅每毫米有300条刻痕。红光条刻痕。红光: : 0.63-0.76 m，蓝光蓝光: :0.430.49 m, 垂直入射，垂直入射， 发现在发现在22.46 角度处，红蓝两谱线同时出现。求：角度处，红蓝两谱线同时出现。求：(1)在在22.46 角度处，同时出现红蓝两谱线的级次和波长；角度处，同时出现红蓝两谱线的级次和波长；(2)如果还有的话，在什么角度还会出现这种复合光谱？如果还有的话，在什么角度还会出现这种复合光谱？30 (2)如果还有的话，在什么角度

23、还会出现这种复如果还有的话，在什么角度还会出现这种复合光谱？合光谱？dsin =krl lr =kbl lb这种复合光谱这种复合光谱: l lr=0.69 m , l lb=0.46 m dsin22.46 =1.38 m =kl l 对红光：对红光： k=2, l lr=0.69 m 对蓝光：对蓝光： k=3, l lb=0.46 m3kr =2kb第一次重迭第一次重迭: kr =2, kb=3第二次重迭第二次重迭: kr =4, kb=6没有第三次重迭没有第三次重迭, 因为若因为若 =90 对红光：对红光： k kmaxmax=d/=d/0.69=4.8, 取取kmax=4 对蓝光：对蓝光

24、： k kmaxmax=d/=d/0.46=7.2, 取取kmax=731d=3.33 m , l lr=0.69 m, l lb=0.46 m第一次重迭第一次重迭: kr =2, kb=3第二次重迭第二次重迭: kr =4, kb=6 dsin =4l lr 算得算得: =55.9 即在衍射角即在衍射角 =55.9 处处, 红光红光(的第的第4级级)和蓝光和蓝光(的第的第6级级)将发生第二次将发生第二次重迭。重迭。32当当 =90 时时, k =-2.1=-2；当当 =-90时时, k =6.3=6 。缺级：缺级：6 , 33 kkadk 能看见：能看见：0 ,1,2, 4, 5共共5级，级

25、，7条谱线。条谱线。d(sin30 - sin )=kl l , k=0,1,2,.解解 光线斜入射时，光栅方程应写为光线斜入射时，光栅方程应写为12oEfpi 例题例题14.3.5 光栅光栅d=2.110-6m，透光缝宽，透光缝宽 a=0.710-6m，l l=5000, 光以光以i=30 的入射角的入射角 入射，入射，求能看见几级、几条谱线。求能看见几级、几条谱线。3314.4 光学仪器的分辨本领光学仪器的分辨本领相对光相对光强曲线强曲线I圆孔直径圆孔直径D一一.小圆孔的夫琅和费衍射小圆孔的夫琅和费衍射爱里斑的半角宽度：爱里斑的半角宽度：Dl l 22. 1爱里斑爱里斑34二二.光学成像仪

26、器的分辨本领光学成像仪器的分辨本领几何光学：一个点通过透镜几何光学：一个点通过透镜成像成像于一点。于一点。衍射观点：一个点通过透镜形成衍射观点：一个点通过透镜形成衍射图样衍射图样。. .0.81.0不能分辨不能分辨恰能分辨恰能分辨瑞利判据瑞利判据: 若一个点光源的衍射图样的中央最大处恰若一个点光源的衍射图样的中央最大处恰好与另一点光源衍射图样的第一极小处相重合好与另一点光源衍射图样的第一极小处相重合,则这则这两个点光源两个点光源恰能被分辨恰能被分辨。.35光学仪器的光学仪器的最小分辨角最小分辨角恰能分辨时两光点恰能分辨时两光点对透镜中心所张的角对透镜中心所张的角(即为爱里斑的半角宽度即为爱里斑

27、的半角宽度):Dl l 22. 1分辨率为分辨率为 对对望远镜望远镜，l l不变，尽量不变，尽量增大透镜孔径增大透镜孔径D，以提，以提高分辨率。高分辨率。90年哈勃太空望远镜直径达年哈勃太空望远镜直径达2.4米。米。 对对显微镜显微镜主要通过主要通过减小波长减小波长来提高分辨率。荣获来提高分辨率。荣获1986年诺贝尔物理学奖的扫描隧道显微镜最小分辨距年诺贝尔物理学奖的扫描隧道显微镜最小分辨距离已达离已达0.01，能观察到单个原子的运动图像。，能观察到单个原子的运动图像。l l 22. 11DRS1S2透镜透镜L透镜直径透镜直径D36例题例题14.4.1 通常亮度下通常亮度下, 人眼瞳孔的直径人

28、眼瞳孔的直径D=3mm，同学们最多坐多远，才不会把黑板上，同学们最多坐多远，才不会把黑板上写的相距写的相距1cm的等号的等号“=”号看成是减号号看成是减号“ ”？ 解解 只需只需“=”号对人眼号对人眼所张的角所张的角 最小分辩角就行。最小分辩角就行。DdLl l 22. 1取取l l=5500，有，有1102 . 222. 14 l l radDdL(人眼的最人眼的最小分辩角小分辩角)由上式算得：由上式算得：d =45.5m。人眼人眼dL等号等号37三三.光栅的分辨本领光栅的分辨本领 由光栅方程和瑞利判据可以证明由光栅方程和瑞利判据可以证明, 光栅光栅的分辨本领为的分辨本领为kNR l l l l ll是恰能分辨的两条谱线的波长差是恰能分辨的两条谱线的波长差, l l是两是两条谱线的平均波长。条谱线的平均波长。k是谱线的级次，是谱线的级次，N是是光栅光栅的缝数。的缝数。38例题例题14.4.2 设计一