江苏南京师大附中高三学情调研卷数学

1、命题“x已知函数f (x)2 sin( x )(0,0的图象如图所示，贝 U=_ .有五条线段，其长度分别为 1 , 2, 4, 5, 7.现任取 两条，则这两条线段的长度之和为偶数的概率是 37设曲线f(x) 2ax a 在点(1, a)处的切线与直线2x y 10平行，则实数a的值为_&在ABC中，已知 BC=1,BABC的面积为.3，则 AC 的长为_.39 已知正方形 ABCD 的四个顶点在椭圆 $占 (a b 0)上, AB/x轴，AD 过左焦点 F,则该椭圆a b的离心率为_.210 .已知函数f (x) x abx a 2b.若f (0)11.如图，已知 C 为OAB边

2、AB 上一点，且AC 2CB,OC mOA nOB(m, n R),贝H mn =_.12 .右图是一个算法的流程图，最后输出的TJ4,则f(1)的最大值为-(11南京师大附中2011届高三学情调研卷数学试题注意事项：1.本试卷包括填空题(第 1 题第 14 题)、解答题(第 15 题第 20 题)两部分。本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。2 答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内。试题的答案写在答卷 纸上对应题目的答案空格内。考试结束后，交回答卷纸。、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答卷纸相应位置 上。1记

3、函数f(x) lg(3 x)的定义域为 A,则A N中有a bi2.已知a 3 i(a,b R,i为虚数单位)，则a b=_ .2 i3某学校高一年级 500 名学生中，血型为 O 型的有 200 人，A 型的有 125 人，B 型的有 125 人，AB 型的 有 50 人，为了研究血型与色弱之间的关系，用分层抽样的方法抽取一个容量为40 的样本，则在血型为 O 型的学生中应抽取人。_ 个元素。13 设f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当x 0时，f(x) log2x.已知a f(4),b f( 1),c fg),则a, b,c的大小关系为_ (用“ ”连结)14已知a,b,c(a b c)

4、成等差数列，将其中的两个数交换，得2 2到的三数依次成等比数列，则*2的值为b二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分。请在答卷纟 -心域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(6,0), P(cos ,sin),其中0516 (本小题满分 14 分)如图，在四棱锥 P ABCD 中，AB/ CD,CD=2AB,AB 平面 PAD, E 为 PC 的中点.(1) 求证：BE/平面 PAD;(2) 若 AD PB,求证：PA 平面 ABC D.(1) 若cos5,求证：PA6PQ;(2)若PAPO ,求sin(21

5、7 .(本小题满分 14 分)某专卖店经市场调查得知，一种商品的月销售量Q (单位：吨)与销售价格x(单位：万元/吨)的关系可用下图的一条折线表示.(1) 写出月销售量 Q 关于销售价格x的函数关系；(2)如果该商品的进价为 5 万元/吨，除去进货成本外，专卖店销售该商品每月的固定成本为10 万元,问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值.18 .(本小题满分 16 分)12已知函数f (x) x2(1)求 m 的值；(2)求函数f (x)的单调增区间.(a m)x a1nx,且f(1)0,其中a、m R.19 .(本小题满分 16 分)(1)若数列an是等差数列

6、，求a1的值;(2)当 62时，求数列an的前 n 项和Sn;附加题注意事项：1附加题供选修物理的考生使用。2 .本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟。3 .答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内。试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内。考试结束后，交回答题纸。已知圆 M 的圆心 M 在 y 轴上，半径为 1 .直线l : y在直线|的下方.(1)求圆 M 的方程；4 : 52x 2被圆 M 所截得的弦长为，且圆心 M5(2)设A(t,O), B(t 5,0)( 4 t1).若 AC,BC 是圆 M 的切线，求ABC面积的最小值.20 .(本小题满分 16

7、分)已知数列an满足，an 1an4n 3(n N ).(3)若对任意 nN ,都有2 2anan 1anan 15成立，求a1的取值范围.921.【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分。请在答卷纸指定区域内 作答。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A.选修 4 1:几何证明选讲如图，AD 是BAC的平分线，OO 过点 A 且与 BC 边相切于点 D,与 AB AC 分别交于 E, F,求证: EF/ BCB.选修 4 2:矩阵与变换C.选修 44 :坐标系与参数方程D.选修 4 5:不等式选讲已知a,b是正数，求证(a -)(2b)b

8、2a 2已知a,b R,若矩阵M1,ab,3所对应的变换把直线l:2x y 3变换为自身，求a,b的值.将参数方程2(t )14(t(t为参数)化为普通方程.【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分。请在答卷纸指定区域内作答，解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤。22 袋中装着标有数字 1 , 2, 3, 4 的卡片各 1 张，甲从袋中任取 2 张卡片(每张卡片被取出的可能性相 等)，并记下卡面数字和为 X,然后把卡片放回，叫做一次操作。(1) 求在一次操作中随机变量 X 的概率分布和数学期望 E ( X);(2)甲进行四次操作，求至少有两次X 不大于 E (X

9、)的概率.23 .在直三棱柱 ABC A1B1C1中，底面ABC是直角三角形,(1) 求异面直线 DC1,B1C 所成角的余弦值；(2) 求二面角 B1 DC C1的平面角的余弦值.参考答案说明:1 本解答给出的解法供参考。如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分 标准制订相应的评分细则。2 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有 较严重的错误，就不再给分。3 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4 只给整数分数，填空题不给

10、中间分数。一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分 卜，共 70 分。12263.164x R, x24x 205 -6.23517 -8139.、5 110.73221112-213.cab14.209、解答题： （本大题共 6 小题，共计 90 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 （本小题满分 14 分）（方法一）（6（6解：（1）由题设知所以PAPAcosa, sin a),PO(cosa, sin a).POcosa)(cosa)(sin a)26 cosa52 . 2cos a sin a6 cosa51.0.故PA PO.因为cosa(2)因为|PAPO|,所

11、以PA一2PO所以PA PO.511亠511、因为cosa,0 a,所以sin a故P（二,).6266611115、11因此PA(:),PO(,).4分30666115112因为PA PO(-)()0.3066（方法二）6,所以PA PO16 .（本小题满分 14 分） 证明：（1）（方法一）取 PD 中点 F,连结 EF, AF. 因为 E 是 PC 的中点，F 是PD 的中点， 所以 EF/ CD,且 CD=2EF 又因为 AB/ CD,CD=2AB, 所以 EF=AB 即四边形 ABEF 是平行四边形.因此 BE/ AF. . 5 分又AF平面 PAD,BE平面 PAD, 所以 BE

12、/平面 PAD.8 分（方法二）延长 DA、CB,交于点 F,连结 PF. 因为 AB/ CD,CD=2AB, 所以 B 为 CF 的中点.又因为 E 为 PC 的中点， 所以 BE / PF.5 分因为PF平面 PAD,BE平面 PAD, 所以 BE /平面 PAD.8 分（方法三）取 CD 中点 F,连结 EF, BF. 因为 E 为 PC 中点，F 为 CD 中点， 所以 EF/ PD.因为PD平面 PAD,EF平面 PAD, 所以 EF/平面 PA D.2 分因为 F 为 CD 中点，所以 CD=2FD.又 CD=2AB,AB/ CD,故AB=FD,即四边形 ABFD 为平行四边形，所

13、以因为AD平面 PAD,BF平面 PAD 所以BF/平面PAD.因为BF EF F,BF ,EF平面 BEF,所以平面 BEF/平面 PAD. .因为BE平面 BEF,所以 BE/平面 PA D. .(2)因为 AB 平面 PAD,PAAD平面 PAD,所以AB AD, AB PA.10因为AD AB, AD PB, AB PB B,即（cosa.2sin a2 . 2cos a sin a.3解得cosa.9分5因为0 a,所以sina425因此sin 2a2sin acosa242,cos2a 2cos a 17252512 分从而sin(2a2a-cos2a24222517一25014

14、分BF/ AD.所以AD平面 PA B. . 12 分又PA平面 PAB,所以AD PA因为ABAD A,故PA面 ABCD.14 分17.(本小题满 分 14 分)5x2解：(1)由题设知，当5x 8时，Q25;当8 x12时，Qx 13;.4 分所以Q5x 25,5x8,6 分2x 13,8x12.(2)月利润为f(x) Q (x 5)10.由( 1)可知，f(x)(ix 25)(x 5) 10,5 x 8,(x 13)(x 5) 10,8 x 12,5,15245(x)5x8门八228(x9)268x 12所以当x5,8时，x , f (x)最大；当x (8,12时，x 9, f (x)

15、最大6.2 8所以当x 9时，f (x)取得最大值 6.答：该商品每吨定价为 9 万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6 万元。14 分18.(本小题满分 16 分)解：(1 )由题设知，函数f (x)的定义域为(0,),af (x) x (a m) . 2 分x由f (1)0得1(am) a0,解得m=1.4 分(2)由(1)得f (x)x (a1)-x2x(a 1)xa(xa)(x 1). 6 分xx当a 1时，由f (x)0,得xa或0 x1,此时f (x)的单调增区间为(a,)和(0,a) . 9 分当a 1时，f(x)的单调增区间为(0,).11 分当0 a 1时，由f (x)

16、0,得x 1或0 x a.此时f(x)的单调增区间为(1,)和(0,a).14 分此时0时，由f (x)0,得xf(x)的单调增区间为(1,1,).综上，当a 1时，f(x)的单调增区间为(a，)和(0,1)；当a 1时，f(x)的单调增区间为(0,当0 a 1时，f (x)的单调增区间为(1,)和(0,a)：当a(1, )16 分(本小题满分 16 分)解：(1 )设M (0,b).由题设知，M 到直线|的距离是：1所以Lj迈,解得b 1或b 3.55因为圆心M在直线|的下方，所以b 1，即所求圆 M 的方程为x2(y 1)21.(2)当直线 AC,BC 的斜率都存在,直线 AC 的斜率kA

17、ctan2 MAO即42_L1右同理直线 BC 的斜率kBC2(t 5)(t 5)2);0时，f(x)的单调增区间为所以直线 AC 的方程为y2t厂(Xt)，2(t 5)直线 BC 的方程为y2(t 5)21(xt 5).解方程组所以yF(x t),皆(x2t2t25t 12tt2110 分得.xt 5)10t22k2t210t2t 52厶t 5t 1 t 5t 1,y .212 分当0 a 1时，由f (x)0,得x 1或0 x a.(a1a?) (a3a4)(an 1an)197)2150因为4 t 1,所以t25t 13,所以y451故当t时，ABC的面积取最小值522当直线 AC, B

18、C 的斜率有一个不存在时，即t4或t1时，易求得ABC的面积为20382i 3 5012521 N.14 分综上，ai的取值范围是（，42,）.16 分5综上，当t时，ABC的面积的最小值为220 .（本小题满分 16 分）1252116 分解： （1）若数列an是等差数列，则an(n1)d, an 1a1nd.由an 1an4n3,得(aind) ai(n 1)d4n 3,即2d4,2a1d3,解得，d(2)由an1an4n(n N ),得an2an 14n1(n N ).两式相减，得an2an4.所以数列a2n 1是首项为a1，公差为 4 的等差数.数列a2n是首项为a2，公差为 4 的等差数列,由a2a-i1, a12,得 a21,所以an2n,n为奇数，2n 5, n为偶数.当n 为奇数时，an2n, an12n3.Sna1a2a3(aia2)(a3a4)(an 2an 1) an(1 4n 11)(4n11)2n2n2n23n当n为偶数时,Sna1a2a3an综上，