电磁场与电磁波课后答案

1、第五章习题如图所示的电路中，电容器上的电压为 uc(t),电容为C,证明电容器中的位移电流等于导线中的传导电流。解：设电容器极板面积为 S,电容器中的位移电流为iD,传导电流为iciDSJdSD(UcC)tC若ic由麦克斯韦方程组推导 H满足的波动方程。解：解：对麦克斯韦的旋度方程两边取旋度得上式左边利用矢量恒等式2a,并考虑到H 0 ,上式右端代入麦克斯韦方程2h2H1T在线性、均匀，各向同性的导电媒质中，证明H(r,t)满足下列方程2H2ht2解：在线性、均匀，各向同性的导电媒质中，麦克斯韦旋度方程为两边取旋度得上式左边利用矢量恒等式2 .A A A,并考虑到 H 0,上式右端代入H麦克斯

2、韦方程 E-H,得t2h2h产在1,1和2, 2两种理想介质分界面上EiEx0?Ey0?Ez02HiHx? Hyp Hz02求 e2, h2。题图解：由两种理介质分界面的边界条件Eit E2t1 Ei n2E2nH it H 2t1 H in 2 H 2n得E2Ex00 EyWEz ? H2 Hx0见 Hyp,Hz0222在法线方向为n?的理想导体面上JS ?Jz0 sin t yjy0 cos t求导体表面上的 H。解：由理想导体表面上的边界条件n? H Js得导体表面上的H为 HJS? JS欠yjz0 sin t Jv0 costssz 0y 0自由空间中，在坐标原点有一个时变点电荷q q

3、e (t t0) ?,其中 q。/。,均为常数。求标量位。解：根据1 1）式(r,t)R(r1,t -)dV11vR取sV q得(r,t)q(r1,t vR将 q qoe (t to) / 代入,考虑到时变点电荷在坐标原点，得(r,t),吧4(t 1 to)2/ 2v自由空间中，在坐标原点有一用细导线连接的时变电偶极子,电偶极矩为pzqole(t to)/其中q0,to，均为常数。求标量位，矢量位。解：1）标量位(r,t)qo (e4(电(t to)/vr2(t to)/e vRi(r,t)(tqeRiR2r l / 2 cos , R1qO4l / 2 cos(t(r l /2cosvto)

4、/(t r l /2cose vRiR2to)/一)(el / 2 cosvl / 2 cose vRiR2(t - to) qe vl / 2 cosl / 2 cos(r l/2cos )e v (r l/2cos )e v )（2）矢量位细导线中的电流为i如dt代入矢量位qe(t to)/J(r-,t已知导电媒质中A(r,t)A(r,t)R )dV vRR i(r-,t -)l vRr(tto)/qolevE (r,t)及2Eoe sin( t kz)求：(1) H(r,t)； (2) w(r,t)； (3) P(r,t)； (4) S(r,t)解：（1）由麦克斯韦方程sin( tkoz

5、) kg cos( t koz)H(r,t)y? 2Ege zcos( t koz)kg sin( tkg z)(2) w(r,t) We(r,t) wm(r,t)12We(r,t) 1 E2(r,t)E2e 2 z sin2 ( tkoz)12E 0 22 z2Wm(r ,t)H (r,t)(-) e cos( tkoz) ko sin( t koz)2(3) P(r,t) E2 2 Eoe 2 zsin2( t koz)_2En(4 ) S(r ,t) E H 2e sin( t koz) cos( tkoz) ko sin( tkoz)在无源的自由空间E1(r,t) 22Eosin( t

6、 koz) 2 2Eocos( t koz)H2(r,t),2Hxosin(t ky) 2.2Hzcos(t ky)求：EKr),H1(r), HKr,t), H ?(r), E?(r), E2(r,t)。解：E1(r,t) 2 2Eo sin( t koz) 2 2Eocos( t koz)E1Eo( j? y)e jkozE j oHH1. E 2 EkE2 (j? X)e 1kozj ooo 2kEnH1?sin( t koz)欠cos( t koz)H2(r,t) ?. 2Hx0sin( t ky) J?. 2Hz0cos( t ky)H2( jH、？ Hzo.ejk0y由 H j o

7、E得E2 上(ZjH xo XHzo)e jkoy 0E2(y.t) 2ko XHzoCos(t koy) ZHxoSin( tky)0已知在空气中? sin jkr E(r)Eo er在圆球坐标系中，求 H(r),E(r,t),H(r,t),SCo解：E(r ,t)?. 2E0 sncos( t kr)r由 E j H,E sin jkrH ?ejr2kEo sinH (r, t) ?cos( t kr)rScE H*?kEo sinr已知在空气中Az(r) Aejkrr在圆球坐标系中，求 H(r), E(r)。 解：在圆球坐标系中jkrAAz cosAo cosAz sinAq sinjk

8、r，一1利用关系式H -A得Hr 0H 01jk 1、 jkrAq sin (- 2)e r r上式代入H j E得Er2A0 cosjk 1j( 23)er rA0sin(Krj jkr)e r已知在如图所示的用理想导体制作的矩形管中EyE0 sin( x)e jkzzakz为常数，(1)求 H ；求 E(r,t),H(r,t);(3)验证E, H满足边界条件；(4)求各理想导体面上的面电流JS;(5)求穿过管截面的平均功率。题图 解：(1)由 E j H得HxkzEosin( x)e ajkzzHz上 cos(-x)ea ajkzz(2)Ey (r ,t), 2E0 sin( x)cos(

9、 t kzz)aHx(r,t)2kz& sin(x)cos( t kzz)aH z(r ,t)2 E0 cos(- x)cos( t kzz )a a2(3)在x 0,a的理想导体面上sin(- x) 0 ,因此 aEy 0,Hx 0即Et0,Hn 0满足理想导体面边界条件。(4)由 JSr? H在x 0的理想导体面上J ? (Hx父 Hz?)?Hz(x 0) 切与 1kzza在x a的理想导体面上J 2 (Hx? Hz?) ?Hz(x 0)yje 1kzza在y0的理想导体面上kzE0J E0J P (Hx父 H z?) (? sin( x) )?- cos( x)eaa a在y b的理想导

10、体面上kzE0j E0J ? (Hx? H zz) (? sin( x) )?- cos( x)eaa ab a _ . . * (5) P ReE H dS0 0但 sin2(-x)dxdyaabkzE；2直接由麦克斯韦方程的复数形式推导电场强度和磁场强度满足的亥姆霍兹方程。 解：根据麦克斯韦方程的复数形式E j H(2)(4)2)式代入得j ( j H)B 0(1)式两端求旋度后将(H J利用矢量恒等式A A 2A,并考虑到H 0得2H 2 HJ(5)(2)式两端求旋度后将(1)式代入得E j (J j E)利用矢量恒等式A A A,并考虑到E 得2E 2 E j J -直接由麦克斯韦方程

11、的复数形式推导(5. 7-1 8)式。解：22k (5. 7-18 b)代入 D ,对于均匀介质，得将洛伦兹条件的复数形式A j 代入，得k2在线性、均匀，各向同性白导电媒质中，证明 E(r)满足下列方程2E ( 2 j )E 0解： E j H式两端求旋度将代入得j ( E j E)利用矢量恒等式，2 ，一A A A,并考虑到在均匀媒质中E 0得2E 2 E j E在线性、均匀，各向同性白导电媒质中，证明 H满足下列方程2H ( 2 j )H 0解:H E jE式两端求旋度将E j H代入得H ( j )j H利用矢量恒等式A A 2A,并考虑到在均匀媒质中2H ( 2 j )H 0写出电磁

12、场边界条件的复数形式。解：解：电磁场边界条件的复数形式和瞬时形式是相同的。即? (E1 E2)0? (也 大)Js(D1 D2) ? s(BiB2) r? 0对两理想介质的界面EitE2tH it H 2tDinD2nBinB2n在理想导体表面? E 0? HJSD ?SSB r? 0试写出矢量磁位 A AzZ在两理想介质分界面的边界条件（用直角坐标系，设介质分界面法向为2）。解：展开Bj AA得HxAzEx2 Azjk2 x zHy1 AzEy2Ajk2 y z2_2Hz 0Ez2(- k )Azjk z根据 Eit E2t, Hit H 2t 得1-Az111一Az22J Az1_J_Az21 1 z 2 2 z证明电场可以用矢量磁位表示为1 E j A -y A k证明： 将 A jA代入 E j Aj A令k22 得1E j A 尸 Ak如图所示，两个厚度为d ,间距为b的平行导体长板。导体板宽度为a (a b),板上恒定电流为I构成回路，电压为 V。(1)导体板近似看作理想导体，忽略边缘效应。求穿过 z 0端面的功率。(2)证明流进电导率为的单位长度导体板中的