带Peano型余项的Taylor公式及其应用技巧定稿

1、乐山师范学院毕业论文（设计） 本科生毕业论文（设计）系（院）数学与信息科学学院 专业 数学与应用数学 论文题目 带Peano型余项的Taylor公式 及其应用技巧 学生姓名 周玲娅 指导教师 罗世尧（副教授）（姓名及职称）班 级 2009级本科1班 学 号 1129S001 完成日期：2013 年 4 月2带Peano型余项的Taylor公式及其应用技巧周玲娅 数信学院 数学与应用数学 1129S001 【摘 要】 带Peano型余项的Taylor公式，是Taylor公式各种形式中所需要的条件较少，同时形式比较简单的一种类型。尽管该种类型的余项只是给出了定性描述，不能进行定量的计算，但它在处理

2、某些定性问题时极为简便。因此，本文将对于数学分析教材当中的相关内容加以整理，介绍带Peano型余项的泰勒公式及其证明，并举例说明其在求极限、估计无穷小（大）量的阶、判定敛散性、求高阶导数在某些点的数值、判断函数的极值和拐点方面的应用。【关键词】 Peano型余项 Taylor定理 证明 应用技巧0 引言 Taylor公式是高等数学中一个非常重要的内容，它能够将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的重要工具。 我们常见的Taylor公式有两种形式的余项：带Lagrange型余项和带Peano型余项。在我们的教材中一般都会着重讲解带Lagra

3、nge型余项的Taylor公式，而对带Peano型余项的Taylor公式的介绍只是一带而过，导致不少初学者认为其作用根本不大，因此对其不以为然。实际上，虽然带Peano型的余项只给出了定性描述，没有给出定量计算，但其所要求的条件非常宽松，形式也十分简单，并且其在求极限、估计无穷小（大）量的阶、判定敛散性、求高阶导数在某些点的数值、判断函数的极值和拐点方面起着重要作用。所以，本文的目的就是希望通过一些范例来归纳Taylor公式在解题中的应用，以便更好地运用带Peano型余项的Taylor公式解题。1介绍带Peano型余项的Taylor公式及其证明定理 设函数在点处具有阶导数，则有 （1）证明 记

4、 由于与在点处都阶可导，从而得出在点处阶可导， 进而在的邻域内阶可导，并且还有 因为在点处连续，所以 为了证得（1）式，只需证 根据以上分析，可知该极限是的未定式，我们可以连续运用次洛必达，得 注意到 ： ，根据导数定义可得 因此 ，定理得证。注 该定理说明当用Taylor多项式来近似替代时，其误差 是比高阶的无穷小。其中的 叫作peano型余项。 相较于带Lagrange型余项的Taylor公式，该定理对的要求比较 少：只需要点处阶可导，不需阶导数存在，也不要求在的邻域内 存在阶的连续导数，由此我们可以看出，带Peano型余项的Taylor公式的应 用范围比较广。2 带Peano型余项的Ta

5、ylor公式的应用 2.1 带Peano型余项的Taylor公式在求极限方面的应用例1 求解： 首先将分子中的的和分别按照带Peano余项型的Taylor公式展开： 原式 注 在看到这道题时，大部分同学可能会忽视用该种方法，反而会发现可以将题目中的分子拆分成，进而再分别用等价无穷小将其替换： ， 这样就把分子消掉，得出错误答案0因为在这要特别注意一点，关于等价替换的条件应该在乘与除这两种运算法则中进行，而不能在加与减中进行。然而我们应用带Peano型余项的Taylor公式可以将分子的两项都展开至二阶，得到含有的项，从而求出答案，大大的简化了解题过程。例2 求极限解 ： 又当时，因而原极限 注

6、大部分同学在看到这道题时，会发现它是型（当时），第一反应就是使用L，Hospital法则，但是在化简的过程中，我们会发现越化越繁，所以同学们应适当的考虑用带Peano型余项的Taylor公式进行求极限。例 3 求极限解：由于 ， 从而 ，所以 例 4 求极限解： 例5 设，函数在内具有阶连续导数，且在内的泰勒公式为 证明：证明 由于函数在内具有阶连续导数，故在内存在 阶的带Peano型余项的Taylor公式为：将此式与题中的泰勒公式两边分别相减，可得： 两边同除以，得： ，进而得出： ，令，两边同时取极限，得： 所以有 综上，我们可以总结出用带Peano型余项的Taylor公式求极限的大概步骤

7、：（1）检验所给的函数表达式当中的各个函数是否满足Taylor公式所要求的条件；（2）用带Peano型余项的Taylor公式在估计分母无穷小（大）量的阶；（3）接着将分子中各函数写成带Peano型余项的Taylor公式（注意：展开的阶数依分母的阶数为准）；（4）最后，将展开式代入原式，求取极限。 2.2 带Peano型余项的Taylor公式在估计无穷小（大）量的阶方面的应用怎样去估计无穷小（大）量的阶？我们可以用估猜法来估计出简单函数的阶数，但是对于复杂函数就不知该如何入手了，若用带Peano型余项的Taylor公式就能迎刃而解了。例6 问当时，是的几阶无穷小？解： 首先将在点的附近展开至四阶

8、，即项 由题意，我们可得： 故当时，是4阶无穷小量。例7 当时，函数是多少阶无穷小，其 中是参数。解： 故当 ，是2阶无穷小量 ；当时，是4阶无穷小量。2.3 带Peano型余项的Taylor公式在判定级数敛散性方面的应用 定理 两正项级数与，若 （通常我们会取）则 当时，级数与同时收敛或同时发散； 当且级数收敛时，级数也收敛； 当且级数发散时，级数也发散。从我们平时做该类型的题目的经验，可以发现如果盲目去寻找，是很难找到恰当的或满足以上条件，所以现在所要面临的问题就是如何寻找或者？因而，如何寻找到恰当的值使得是一个十分有意义的问题。（广义积分与之类似）我们通过研究级数通项的无穷小（大）量的阶

9、，面对这种类型的问题就可以迎刃而解了。例8 判断级数的收敛性，其中解 当时，我们可以看到 故： 例9 讨论级数的收敛性。解 由题意，得： 由此，可得 ，故该级数的通项是阶无穷小量， 结合级数的收敛性，得：当时，即时，该级数收敛；当时，即，级数发散。例10 讨论的收敛性。解：将与进行Taylor公式的展开 则：综上可得：，由收敛，通过比较判别法可知该广义 积分收敛。2.4 带Peano型余项的Taylor公式在求高阶导数在某些点的数值方面的应用若所给的的Taylor公式已知，其通项中的项的系数是，我们就可以反过来求出高阶导数的数值，没有必要再去依此求导。例11 求函数在处的高阶导数解：设，那么：

10、 在处的Taylor公式为： 进而： 在的Taylor展开式中含有的项为，所以 ， 例12 若函数在内二阶可导，且 求，以及。解：由题意，可得： 所以 由此可得： 即：所以 从而 而的Taylor展开式为： 由展开式的唯一性，可知： ，2.5 带Peano型余项的Taylor公式在判断函数的极值方面的应用 定理 设，若函数在点及邻域内具有阶连续导数， 且 由带Peano型余项的Taylor展开式得： 其中从而由，可得： 变形，得： 其中 从 式，我们可以看出 ： （1）若为奇数，在点的某一邻域内，当 时，当 时， ，此时，在 的左右两侧的符号相反，所以 ，不是的极值点。 （2）若为偶数且时，有

11、 ，即对一切有，故为极小值；同理可证，时，故为极大值。 比如说：在点处的，根据的Taylor展开式可知：当时，在处取得极小值；当，在处取得极大值。例13 求的极值点。解： 综上所述 ，当时，可见就是的极小值点。例14 已知函数在的邻域内二阶可导，且当时取得极小值，则能否在处取得极值？若能取得，那么极值是多少？解 ：我们首先将在处进行Taylor公式的展开： 由题意，知 在时，取得极小值且，则可推出：，因此： 同时 且，又由此得出：在处取得极大值，且极大值为1。2.5 带Peano型余项的Taylor公式在判断函数拐点方面的应用定理 若在点及邻域内具有阶连续导数，且 ，则（1）若为偶数，则点一定

12、不是曲线的拐点；（2）若为奇数，则点是曲线的拐点。 证明 （1） 令， 由题意，可得： 进而，得： 且： 假如是偶数，那么也是偶数，根据定理2可知在点处取得极值。 根据极值的定义，对于中的的任何一个都有或者，所以肯定不是拐点。（2）令， 类似于（1），可得： 且： 假若是奇数，那么就是奇数，根据极值定理： 在点取得极值，故在的两边异号，所以 是该函数的拐点。 例15 求函数的拐点。解： ，由此，我们可以看出是 这个函数图象的稳定点。 得： 以及 由此可得：由以上定理可知，为奇数，则点为曲线的拐点。例16 求函数的拐点解：有题意，得： 令得，此时， 当时，；当时，；当时，故函数的拐点是与。例17

13、 假设存在，且，那么是否为 的拐点。解：将展开成带Peano型余项的Taylor公式：（注意：） 由于，则不妨假设，于是存在，使得时，从而；当时，那么，由此可知，在点的两侧异号，所以是曲线的拐点。【参考文献】1王倩.带有皮亚诺(Peano)型余项的泰勒公式的推广与应用J.沈阳建筑大学学报(自然科学版),2005,21(6)2方继光.谈带皮亚诺余项的泰勒公式的应用J.安庆师范学院学报(自然科学版),2003,9(2)3华东师范大学数学系.数学分析 （第二版） M.高等教育出版社， 1991， P182. 4詹瑞清等.高等数学全真课堂M.学苑出版社，2003，P157. 5沈燮昌，邵品宗.数学分析

14、纵横谈M.北京大学出版社，1991，P98. 6方企勤.数学分析M.高等教育出版，1986，P163. 7刘三阳等1 高等数学辅导1 西安电子科技大学出版社, 2001 年8江泽坚等1 数学分析1 人民教育出版社, 1987 年Taylor formula with the Peano typeLingya ChouCollege of mathematics and Information Science mathematics and applied mathematics 【Abstract】Taylor formula with the Peano type is a form wit

15、h fewer conditions and simple type. Although the types is given by a qualitative description of which can not be calculated quantitatively, but it is extremely easy to handle certain qualitative issues. Therefore, the paper rearranges the mathematical analysis textbooks of Peano type ,and gives the examples to prove and illustrate its limit order infinitely small (large) amount, conve