两个平面的位置关系

1、三.两个平面的位置关系知识提要1 .空间两个平面有相交(有一条公共直线)和平行(无公共点)两种位置关系.2 . (1)定义 如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行.(2)判定如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面 平行.(3)性质 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.3 . (1)定义 如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂 直.(2)判定如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.(3)性质(1)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面.(2)如果两个平面互相垂直

2、，那么在一个平面内垂直于另一个平面的直线，也垂 直于交线.4 .二面角平面内一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面.一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.5 .二面角的平面角以二面角棱上的任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的平面角是900时称直二面角。6 .作二面角的平面角有：定义法，三垂线(或其逆)定理法，垂面法.把平面角放入相关三角形中求解.课前练习1 . “、3是两个不同的平面，m, n是平面a及此外的两条不同直线，给出四个论断： m

3、±n ,a, n,m, a.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并证明它.解析： ma, n，B,a，B mn (或 mn, m，& n± 3 a± (3)证明如下：过不在 a、 B内的任一点 P,作PM /m, PN /n,过PM、PN作平面r交a于MQ ,交盯NQ .mPM /mPMPM MQ,同理PN ±NQ .因此/MPN +ZMQN = 180故/MQN = 90/MPN = 90即 m，a, n ± 3,(3 m ± n2 .自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线，求证：

4、它们所成的角与这个二面角 的平面角互补.证明：如图PQ±, PQXAB,PR, PR,AB,则 AB上面 PQR.经PQR的平面交 、于SR、SQ,那么 ABXSR, ABXSQ./QSR就是二面角的平面角.因四边形 SRPQ 中，ZPQS=ZPRS= 90因此/P+ ZQSR=1803.在60°的二面角MaN内有一点P, P到平面M、平面N的距离分别为1和2, 求P点到直线a的距离.解析：本题涉及点到平面的距离，点到直线的距离，二面角的平面角等概念，图中都没有表 示，按怎样的顺序先后作出相应的图形是解决本题的关键.可以有不同的作法， 下面仅以一个作法为例，说明这些概念的特

5、点，分别作PALM, A是垂足，PB±N, B是垂足，先作了两条垂线，找出 P点到两个平面的距离，其余概念要通过推理得出：于是PA、PB确定平面”，设 anM = AC, aAN=BC, CCa.由于 PALM,则 PAX a,同理 PB±a,因此 a ，平面a,彳导a±PC.这样，/ ACB是二面角的平面角， PC是P点到直线a的距离，下面 只要在四边形 ACBP内，利用平面几何的知识在 PAB中求出AB,再在4ABC中利用正弦 定理求外接圆直径2R=至21,即为P点到直线a的距离，为红213 34 .判定下列命题的真假(1)两个平面垂直，过其中一个平面内一点作

6、与它们的交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；定分别与另一平面垂直;(2)两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线,(3)两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直。解析：(1)若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的,AB如图，正方体 ACi中，平面 AC，平面 ADi,平面 AC nW ADi = AD ,在AD上取点A,连结ABi,则ABiXAD ,即过棱上一点 A的直线ABi与棱垂直，但ABi与平面ABCD不垂直，其错误的原因是 ABi没有保证在平面 ADD iAi内，可以看 出：线在面内这一条件的重要性；(2)该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图

7、，在正方体ACi中，平面 AD i,平面 AC , AD i 平面 ADD iAi, AB 平面 ABCD，且 AB，ADi ,即AB与AD i相互垂直，但 AD i与平面ABCD不垂直；(3)如图，正方体 ACi中，平面ADD iAi，平面 ABCD , ADi 平面 ADD iAi , AC 平 面ABCD , AD i与AC所成的角为600,即AD i与AC不垂直解：由上面的分析知，命题、都是假命题。点评:在利用两个平面垂直的性质定理时，要注意下列的三个条件缺一不可：两个平面垂直；直线必须在其中一个面内；直线必须垂直它们的交线。5 .设 S 为 ABC 平面外的一点，SA=SB=SC ,

8、 ASB 2 , BSC 2 , ASC 22. 2. 2右sinsinsin,求证：平面 ASC 平面ABC。解析：(i)把角的关系转化为边的关系(2)利用棱锥的性质(三棱锥的侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心)证明：设D为AB的中点SA SBASDAD AB sin SA 2SA同理sinBC .,sin 2SBAC2SC_，,2.2.2SA SB SC且 sin sin sinAB2 BC2 AC2即ABC为RtABC且S在平面上的射影O为ABC的外心则O在斜边AC的中点。SO 平面ABCSO 平面SAC平面ASC 平面ABC教学过程一.平面与平面的平行例1已知平面、，如果

9、直线a ± ,a 1 ，求证：平面/平面 。证明：设a Oi,过Oi作ai,h两相交直线，设a与a1确定的平面为丫，a2,从而 a ai,a a?a"/a?a"/ 。同理打。所以 /例2已知平面 /平面，（1）若直线a /平面，判断直线a与平面 的位置关系。（2） 若直线a，平面 ，判断直线a与平面 的位置关系。（3）给出的三个平面（与、不重合），试判断平面、 之间的位置关系。解：（1） a 或 a 。（2） a 。（3） / / 或，都相交。例3 在正方体ABCD AiBiCiDi中，M、N分别为棱AB、AQ的中点，E、F分别为棱BG、CiDi的中点。（1）求证

10、：E、F、B、D共面；（2）证明：平面 AMN /平面 EFDB。证明：(i) EF/B iDi , BiDi/BD ,.EF/BD ,，E、F、B、D 共面。(2) NE/A iBi , Ai Bi /AB ,.NE/AB ,且 NE=AB ,，ABEN 是平行四边形。.AN/ 平面 BEFDo同理：AM/平面BEFDo，平面AMN /平面EFDB。二.平面与平面的垂直例4 已知平面 /平面，平面 !,求证： !。证明：设a,在丫内作c a c co/c例5在三棱锥S ABC中，/ ASCZASB60 , /BSC 90 , SA SB SC a,求证:平面SAB，平面SAC。证明：作 BD

11、SA于D, DEL SC于E,连接BE,设 SD=x,贝U SB=2x ,一x 3xBD、'3x,DEx, SE,22又 BSE , BE2 SB2 SE2 24x217x24一 2 一 2p 2 c 2 3X 17X_222所以BD DE BE ,所以又 BD DE 3x BDXDE,又 BD ±AS ,从而 BD，面 SAC。所以平面SAB，平面SAC。三.二面角例6 在三棱锥 S ABC中，SAL底面 ABC , AB ± BC , DE垂直平分SC且分别交 AC、SC于D、E,又SA AB, SB BC ,求以BD为棱，以BDE、BDC为面的二面角的大小。解

12、：E 为 SC 的中点，SB=BC , .1.BEXSC, X DEXSC,SC，平面 BDE,.-.BD ±SC,又 BDXSA, BD，平面 SAC,ZEDG为二面角E-BD-C的平面角。设 SA=AB=1 ,贝U SB=BC=超，.-.SC=2 , . ./SCA=30 0, . ./EDC=60 0所以二面角E-BD-C的的大小为600。例7 在立体图形 P ABCD中，底面 ABCD是正方形，PA，底面ABCD, PA=AB, Q是PC中点.AC, BD交于O点.(I)求二面角 Q-BD-C的大小:(n )求二面角 B-QD-C的大小.解析：(I)解：连 QO,则 QO /

13、PA 且 QO= 1PA21=AB 2. PA，面 ABCDQO±m ABCD面 QBD 过 QO, 面 QBD，面 ABCD故二面角Q BD C等于90° .(n )解：过O作OH ±QD ,垂足为H ,连CH .面 QBD，面 BCD,又.COXBD, ：CO,面 QBD,：CH在面QBD内的射影是 OH 。OH ±QD,CHXQD ,于是ZOHC是二面角的平面角.设正方形ABCD边长2 ,则 OQ = 1, OD = 22 , QD= V3 . OH QD = OQ OD, . OH=3OC2又 OC = J2 ,在 Rt ZCOH 中：tan Z

14、OHC = V2 = = J3OH , 3ZOHC = 60 ,故二面角 BQDC 等于 60° .例8河堤斜面与水平面所成角为60,堤面上有一条直道CD,它与堤脚的水平线 AB夹角为30。，沿着这条直道从堤脚上行走到 10米时，人升高了多少（精确到 0.1米）？解析:已知即求河堤斜面与水平面所成角为60E到地面的距离利用E或G构造棱上一点F以EG为边构造三角形解：取CD上一点E,设CE= 10 m ,过点E作直线AB所在的水平面的垂线 EG,垂足为G, 则线段EG的长就是所求的高度.在河堤斜面内，作 EF±AB.垂足为F,连接FG,由三垂线定理的逆定理，知 FGXAB.因

15、 此，ZEFG就是河堤斜面与水平面 ABG所成的二面角的平面角，/ EFG= 60 ° .由此得：EG= EFsin60 °=CE sin30 sin60 °-13 ” , 、=10 x x乂.3 (m)22答：沿着直道向上行走到 10米时，人升高了约 4.3米.例9 四棱锥P-ABCD的底面是边长为 a的正方形，PB垂直面ABCD ,证明无论四棱锥的 高怎样变化，面 PAD与面PCD所成的二面角恒大于 90 ° .解析：注意到题目中所给的二面角，面 PAD与面PCD的棱为PD,围绕PD而考虑问题 解决途径.证法一：利用定义法经A在PDA平面内作 AEL

16、PD于E,连CE.因底是正方形，故 CD = DA .zCEDAED, AE=EC, ZCED=ZAED=90 ,贝U CE± PD.故/CEA是面PAD与面PCD所成二面角的平面角.设AC与BD交于O,连EO,则EO±AC.OA a,及OA a,而 AEvADva. 22AE EC2AE ECAE2 EC2 (2OA)2 (AE . 2OA)(AE . 2OA) COS AEC 0 .所以面PAD与面PCD所成的二面角恒大于 90证法二：运用三垂线法. PB,面 ABCD,则 PBXAD ,又 AD LAB,AD,面 PAB,即面 PABXW PAD.过 B作 BEX PA,贝 U BE上面 PAD.在面PBC内作PG上BC,连GD.经C作CF上面PAD于F,那么连结EF,有E