李廉锟版_10矩阵位移法

1、第十章第十章 矩阵位移法矩阵位移法10-1 概述概述10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 10-3 单元刚度矩阵的坐标转换单元刚度矩阵的坐标转换10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵10-5 支承条件的引入支承条件的引入10-6 非结点荷载的处理非结点荷载的处理10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例矩阵位移法的计算步骤及示例10-8 几点补充说明几点补充说明手算：手算：小型、简单问题，讲究技巧。小型、简单问题，讲究技巧。一一、手算与电算比较：、手算与电算比较：电算：电算：大型、复杂问题，要求方法具有系统性、大型、复杂问题，要求方法具有系统性、 通用性。通用性。结构力学中的电算方法结构力学中

2、的电算方法 结构矩阵分析方法结构矩阵分析方法 (杆件有限元法杆件有限元法) 结构矩阵分析方法是以传统结构力学理论为基础、结构矩阵分析方法是以传统结构力学理论为基础、以矩阵作为数学表述形式、以电子计算机作为计算手以矩阵作为数学表述形式、以电子计算机作为计算手段大规模的计算方法。段大规模的计算方法。 超静定结构分析：超静定结构分析： 力法，位移法，力矩分配法。力法，位移法，力矩分配法。10-1 概述概述二、结构矩阵分析方法二、结构矩阵分析方法特点与分类：特点与分类： (1) 公式推导书写简明公式推导书写简明, ,导出公式紧凑导出公式紧凑, ,形式规格化。形式规格化。 矩阵力法矩阵力法( (或称柔度

3、法或称柔度法) )以力作为基本未知量。以力作为基本未知量。 矩阵位移法矩阵位移法( (或称刚度法）或称刚度法）采用结点位移作为基采用结点位移作为基本未知量。借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种本未知量。借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。杆系结构受力、变形等计算的方法。 (2) 各种情况可统一处理，通用性强。各种情况可统一处理，通用性强。 (3) 计算过程规范化，适合计算机进行自动化解算。计算过程规范化，适合计算机进行自动化解算。 对于杆系结构，对于杆系结构，矩阵位移法矩阵位移法易于编制通用的计算程序。易于编制通用的计算程序。10-1 概述概述三、矩阵位移法的三

4、、矩阵位移法的思路思路 ：1）离散，进行单元分析单元分析，建立单元杆端力和杆端位移的关系。2）集合，进行整体分析整体分析，建立结点力与结点位移的关系。任务任务意义意义单元单元分析分析建立杆端力与杆端位移建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单间的刚度方程，形成单元刚度矩阵元刚度矩阵用矩阵形式表示杆用矩阵形式表示杆件的转角位移方程件的转角位移方程整体整体分析分析由变形条件和平衡条件由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整间的刚度方程，形成整体刚度矩阵体刚度矩阵用矩阵形式表示位用矩阵形式表示位移法基本方程移法基本方程10-1 概述概述 构造结点构造结点: :

5、杆件的转折点、汇交点、支承点和截面突杆件的转折点、汇交点、支承点和截面突变点。变点。 非构造结点非构造结点: :一根等截面直杆内的单元与单元之间的一根等截面直杆内的单元与单元之间的结点。结点。 1. 结点和单元结点和单元 单元与单元之间通过单元与单元之间通过结点结点联结，结点一经确定，则单联结，结点一经确定，则单元也就全部确定了。元也就全部确定了。 单元单元最基本的分析部件，最简单的单元是等截面最基本的分析部件，最简单的单元是等截面直杆。直杆。 梁单元梁单元受轴力、还受剪力和弯矩作用则称为梁单受轴力、还受剪力和弯矩作用则称为梁单元（梁、刚架）。元（梁、刚架）。 轴力单元轴力单元只受轴力作用的单

6、元（桁架）。只受轴力作用的单元（桁架）。 四、基本概念四、基本概念 10-1 概述概述2. 坐标系坐标系4321123234 结构整体坐标系结构整体坐标系xoy用于描述结构整体的量用于描述结构整体的量结点的坐标、结点的位移、作用在结构上的外力等。结点的坐标、结点的位移、作用在结构上的外力等。 单元局部坐标系单元局部坐标系固定在单元上，固定在单元上， 轴与杆轴重合轴与杆轴重合, ,自自 轴逆时针旋转轴逆时针旋转900时时的方向为的方向为 轴正向。用于描述单元的杆轴正向。用于描述单元的杆端力和杆端位移等。端力和杆端位移等。 xxy10-1 概述概述将结构离散成单元的分割点称作结点将结构离散成单元的

7、分割点称作结点. .634512结点的选择结点的选择: :转折点、汇交点、支承点、转折点、汇交点、支承点、 刚度变化、荷载作用点等刚度变化、荷载作用点等整体编码：单元编码、结点编码、整体编码：单元编码、结点编码、 结点位移编码。结点位移编码。（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（10,11,12）（13,14,15）（16,17,18）坐标系坐标系: :整体整体( (结构结构) )坐标系坐标系; ;X XY Y局部局部( (单元单元) )坐标系坐标系. .曲杆结构曲杆结构: :以直代曲以直代曲. .变截面杆结构变截面杆结构: :以等截面杆以等截面杆 代变截面杆代变截面杆10-1 概述概述

8、 不忽略单元的轴向变形时，平面结构中每个刚结不忽略单元的轴向变形时，平面结构中每个刚结点都有点都有3个独立的位移（个独立的位移（2个独立线位移、个独立线位移、1个角位个角位移），每一个铰结点则有移），每一个铰结点则有2个独立线位移。个独立线位移。 平面刚架单元的杆端力列向量为平面刚架单元的杆端力列向量为 TSNSNjjjiiiMFFMFFeF( (10-1) ) 平面刚架单元的杆端位移列向量为平面刚架单元的杆端位移列向量为 T)(jjjiiievuvu (10-2） 注意：注意：杆端力与杆端位移必定是一一对应的，即有杆端力与杆端位移必定是一一对应的，即有几个杆端位移分量就有几个杆端力分量。几个

9、杆端位移分量就有几个杆端力分量。 3. 杆端位移和杆端力杆端位移和杆端力10-1 概述概述 平面桁架铰结点只有两个独立的线位移，与此对平面桁架铰结点只有两个独立的线位移，与此对应，桁架单元的杆端力只有轴力和剪力与其对应，但应，桁架单元的杆端力只有轴力和剪力与其对应，但实际上桁架单元的剪力总是为零的，所以有实际上桁架单元的剪力总是为零的，所以有TNN00jieFFF( (10-3) ) 杆端位移向量杆端位移向量 T00jieuu (10-4) 其他任何单元都存在杆端力与杆端位移一一对其他任何单元都存在杆端力与杆端位移一一对应的关系。应的关系。 杆端力向量杆端力向量10-1 概述概述 作用于结点上

10、的所有的力的合力作用于结点上的所有的力的合力, 沿坐标轴方沿坐标轴方向分解为三个分量向分解为三个分量, 构成该结点的构成该结点的结点力向量结点力向量。4. 结点力和结点位移结点力和结点位移 与结点力向量对应的是与结点力向量对应的是结点位移向量结点位移向量，是矩阵，是矩阵位移法的位移法的基本未知量基本未知量。注意：注意：结点力和结点位移都是相对于结点力和结点位移都是相对于整体坐标系整体坐标系的。的。 10-1 概述概述杆端位移和杆端力杆端位移和杆端力的正负号：的正负号： 作用在作用在结点上的外力和结点位移结点上的外力和结点位移的正负号：的正负号： 5. 正负号规定正负号规定 凡是与单元坐标轴方向

11、一致的位移和力均为正值，凡是与单元坐标轴方向一致的位移和力均为正值，反之为负值。反之为负值。 力偶和转角以力偶和转角以逆时针逆时针方向为正，反之为负。方向为正，反之为负。 与整体坐标系方向一致的结点力和结点位移为正，与整体坐标系方向一致的结点力和结点位移为正，反之为负。反之为负。 以以逆时针逆时针转的结点力偶和结点转角为正值转的结点力偶和结点转角为正值, ,反之为反之为负值。负值。10-1 概述概述重点：重点：矩阵位移法基本思想矩阵位移法基本思想- 结构离散化结构离散化将结构拆成杆件，杆件称作将结构拆成杆件，杆件称作单元单元。单元的连接点称作单元的连接点称作结点结点。- 单元分析单元分析对单元

12、和结点编码对单元和结点编码.634512e单元杆端力单元杆端力- 整体分析整体分析单元杆端力单元杆端力结点外力结点外力单元杆端位移单元杆端位移结点外力结点外力单元杆端位移单元杆端位移(杆端位移杆端位移=结点位移结点位移)结点外力结点外力结点位移结点位移基本未知量基本未知量:结点位移结点位移10-1 概述概述1. 建立建立单元杆端力与杆端位移之间的关系单元杆端力与杆端位移之间的关系 截面直杆单元截面直杆单元e , 其其杆端位移列向量与杆端力列杆端位移列向量与杆端力列向量分别为向量分别为 TejejejeieieievuvuTejeyjexjeieyiexieMFFMFFF10-2 单元刚度矩阵单

13、元刚度矩阵xyijeeiueju i jeivejveiejexiFeyiFeiMexjFeyjFejM 当杆端轴向位移为当杆端轴向位移为 、 时，时， （伸长为（伸长为正），正），由胡克定律得杆件轴向变形的刚度方程为由胡克定律得杆件轴向变形的刚度方程为eiuejueiejijuulejeieiejexjejeieiejexiulEAulEAuulEAFulEAulEAuulEAF)()( （a） 在线性小位移范在线性小位移范围内，忽略轴向受力围内，忽略轴向受力状态与弯曲向受力状状态与弯曲向受力状态之间的影响。态之间的影响。10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵xyijeeiueju i jeiv

14、ejveiejexiFeyiFeiMexjFeyjFejM 杆端横向位移杆端横向位移ij正负正负号规定号规定: :使使杆的杆的j 端绕端绕 i 端端作逆时针转时为正值。作逆时针转时为正值。)(eiejijvv 由两端固定等截面由两端固定等截面直杆的转角位移方程有直杆的转角位移方程有)(12)(6)(6)(12)(6)(6)(6)(4)(2)(6)(2)(422eiejejeieyjeiejejeieyieiejejeiejeiejejeieivvlililiFvvlililiFlvviiiMlvviiiM（b） 10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵xyijeeiueju i jeivejveie

15、jexiFeyiFeiMexjFeyjFejM整理可得：整理可得：)(1266)(1266)(642)(62422eiejejeieyjeiejejeieyieiejejeiejeiejejeieivvlililiFvvlililiFlvviiiMlvviiiM10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵将上述将上述（a）和和（b）两式合在一起，写成矩阵形式，有两式合在一起，写成矩阵形式，有 ejeyjexjeieyiexiMFFMFFlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA4602606120612000002604606

16、12061200000222323222323ejejejeieieivuvu =单元在局部坐标系中的单元刚度方程。单元在局部坐标系中的单元刚度方程。它可记为它可记为 eeeKF（10-6a） 10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵其中其中 （10-7）1iu1iv1i1ju1jv1j66222323222323460260612061200000260460612061200000lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAeKeK 称为局部坐标系中的单元刚度矩阵（简称单刚）。称为局部坐

17、标系中的单元刚度矩阵（简称单刚）。 的行数等于杆端力向量的分量数的行数等于杆端力向量的分量数, 列数等于杆端位列数等于杆端位移向量的分量数，移向量的分量数， eKeK 的每一个元素称为单元刚度系数，其表示了一个力。的每一个元素称为单元刚度系数，其表示了一个力。10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 任一元素任一元素 表示当表示当j号位移为一单位时引起杆端沿号位移为一单位时引起杆端沿i 号号位移方向的反力。位移方向的反力。eijk1iu1iv1i1ju1jv1j66222323222323460260612061200000260460612061200000lEIlEIlEIlEIlEIlEIlE

18、IlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAeK10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 单刚阵单刚阵 中某一列的六个元素表示当某个秆端位移中某一列的六个元素表示当某个秆端位移分量等于分量等于1时所引起的时所引起的六六个杆端力分量。个杆端力分量。eK 第第1列的列的六六个元素就是当个元素就是当 (即端点即端点i沿沿 正方向发正方向发生单位位移生单位位移)时，单元的时，单元的六六个杆端力分量。个杆端力分量。1eiux1iu1iv1i1ju1jv1j66222323222323460260612061200000260460612061200000lEIlEIlEIl

19、EIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAeK10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 2. . 单元刚度矩阵的特性单元刚度矩阵的特性（反力互等定理）（反力互等定理） （1） 是对称矩阵。是对称矩阵。 )(jikkejieijeK1iu1iv1i1ju1jv1j66222323222323460260612061200000260460612061200000lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAeK10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 表达的杆端力和杆端位移的关

20、系，表达的杆端力和杆端位移的关系，对应对应于一个完全的自由单元，于一个完全的自由单元，没有任何支承约束，可以有没有任何支承约束，可以有任意的刚体位移。任意的刚体位移。(2) 是奇异矩阵。是奇异矩阵。eK即即 ，其逆矩阵不存在，其逆矩阵不存在.0 eK可以由杆端位移可以由杆端位移 确定杆端力确定杆端力 。反之，若已知杆端。反之，若已知杆端力力 ，却不能由式，却不能由式 反求杆端位移反求杆端位移 。eeeFeFeeeKFeeeKF物理概念为：物理概念为： 局部坐标系中的单元刚度矩阵局部坐标系中的单元刚度矩阵 ，只与单元的几何形，只与单元的几何形状、尺寸和物理常数有关，与单元在结构中的位置无关。状、

21、尺寸和物理常数有关，与单元在结构中的位置无关。(3) 位置无关性位置无关性eK矩阵位移法的单元体现了更强的通用性。矩阵位移法的单元体现了更强的通用性。10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵单元刚度矩阵为单元刚度矩阵为: : eKlEAlEAlEAlEAlEA00000101000001010000000000003. . 其他单元的单元刚度矩阵其他单元的单元刚度矩阵TT0000exjexieejeieFFuuF0000000000000000ejeiexjexiuulEAlEAlEAlEAFF （10-9）( (1) ) 平面桁架单元平面桁架单元10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 若把连续梁两支座

22、间的一跨取若把连续梁两支座间的一跨取作单元，杆端位移条件为：作单元，杆端位移条件为： ， ， ， 。 0eiu0eiv0ejv0eju单元刚度方程为单元刚度方程为TTejeiejeieMMe eF(10-11)单元刚度矩阵为单元刚度矩阵为ejeiejeilEIlEIlEIlEIMM4224lEIlEIlEIlEIe4224K（10-12）（10-13）(2) 连续梁单元连续梁单元杆端位移向量与单元杆端力向量为杆端位移向量与单元杆端力向量为: :10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵eiejeiMejMelijEI 注意：注意：矩阵中只列出弯矩没列出剪力。这并不矩阵中只列出弯矩没列出剪力。这并不是说

23、连续梁单元中没有剪力是说连续梁单元中没有剪力, , 只不过是只把杆端只不过是只把杆端转角作为基本未知量来考虑而己。求出杆端弯矩转角作为基本未知量来考虑而己。求出杆端弯矩, , 便可求出剪力。便可求出剪力。10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 整体分析时必须建立一个统一的坐标系，称为整体整体分析时必须建立一个统一的坐标系，称为整体坐标系，其作用是把各单元上不同方向的量值统一到整坐标系，其作用是把各单元上不同方向的量值统一到整体坐标系方向上来。整体坐标系中，单元杆端位移向量体坐标系方向上来。整体坐标系中，单元杆端位移向量记为记为 e , ,单元杆端力向量记为单元杆端力向量记为 Fe TTejeyje

24、xjeieyiexiejejejeieieiMFFMFFvuvueeF问题的提出问题的提出10-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换局部坐标系下的杆端力局部坐标系下的杆端力整体坐标系下的杆端力整体坐标系下的杆端力1. 单元坐标转换矩阵单元坐标转换矩阵 局部坐标系局部坐标系 与整与整体坐标系为体坐标系为xoy的夹角的夹角以以x轴轴逆时针逆时针转到与局部坐转到与局部坐标系标系 为正。为正。 xyox10-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换j 端点杆端力转换关系端点杆端力转换关系 端点端点i 处的杆端力分量，有下列转换关系：处的杆端力分量，有下列转换关系：eieieyiex

25、ieyieyiexiexiMMFFFFFFcossinsincos（10-10a） ejejeyjexjeyjeyjexjexjMMFFFFFFcossinsincos（10-10b） 整体坐标系下的杆端力与局部坐标系下的杆端力之间的关系整体坐标系下的杆端力与局部坐标系下的杆端力之间的关系10-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换ejeyjexjeieyiexiejeyjexjeieyiexiMFFMFFMFFMFF1000000cossin-0000sincos0000001000000cossin-0000sincos简记为简记为 eeFTF将（将（10-10a）和（）和（10

26、-10b）联合起来写成矩阵形式）联合起来写成矩阵形式10-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换1000000cossin-0000sincos0000001000000cossin-0000sincosTTT称为单元坐标转换矩阵称为单元坐标转换矩阵, , TT是一正交矩阵。是一正交矩阵。T1TTI为与为与T 同阶的单位矩阵。同阶的单位矩阵。TTTTTT或或10-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换同理同理 eeTTeeTeeFTF由由T-1eeeFTFTF可得可得cossin-00sincos0000cossin-00sincosT坐标转换矩阵为：坐标转换矩阵为： 对平

27、面桁架单元对平面桁架单元 ， 。011eeMM022eeMM10-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换整体坐标系中的单元刚度方程写为整体坐标系中的单元刚度方程写为 eeeKF局部坐标系中的单元刚度方程写为局部坐标系中的单元刚度方程写为eeeKF由由 ， ，得，得eeFTFeeTeeeeeeTKKFTF等式两边左乘等式两边左乘 ，得，得TTTeeeeeKTKTF2. 整体坐标系中的单元刚度矩阵整体坐标系中的单元刚度矩阵TTTKee从而可得两种坐标系中单元刚度矩阵转换关系式从而可得两种坐标系中单元刚度矩阵转换关系式: :10-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换对于平面刚架

28、单元，对于平面刚架单元，整体坐标系中的单元刚度矩阵为整体坐标系中的单元刚度矩阵为 iCliCliBCCliCCliBCliBCiCliCliiCliCliBCCCliBCliCliBCCliCCliBCliBCCliCCliBCliBCxxyyyxyxxyxxyyxxxyyyxyxyyxyxe46126121226646121261261212612122222222222222222222222对称K式中：式中：sin;cos,yxCClEIilEAB10-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换平面桁架单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵为平面桁架单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵为:

29、: lEACCCCCCCCCCCCCCyyxxyyxyyxxyxxe222222)(称对K 整体坐标系中的单元刚度矩阵整体坐标系中的单元刚度矩阵 具有与具有与 类似的性类似的性质质(对称性和奇异性对称性和奇异性)。 eKeK10-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换eieyiexieiMFFFejeyjexjejMFFFeieieieivuejejejejvu2 表示单元表示单元 j 端产生单位位移时引起端产生单位位移时引起 i 端的杆端力。端的杆端力。eijK对于平面刚架单元对于平面刚架单元 整体分析中，对每一个结点分别建立平衡方程，为了整体分析中，对每一个结点分别建立平衡方程，

30、为了讨论方便，将单元刚度方程按两端的结点讨论方便，将单元刚度方程按两端的结点 i 、j 进行分块，进行分块，写为写为对于平面刚架单元，它们都是对于平面刚架单元，它们都是33阶方阵。阶方阵。对于平面桁架单元，它们都是对于平面桁架单元，它们都是22阶方阵。阶方阵。 ejeiejjejieijeiiejeiKKKKFF10-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换例例: :整体单刚的计算整体单刚的计算 48602460610610005 . 0005 . 024004860610610005 . 0005 . 021kk, 1/12, 5 . 0/2lilEAl2xy1l已知已知: :121

31、2EI12; 6 lEA求求: :各单元整体单刚各单元整体单刚解解: :484 ,242 , 6/6iili01 1000000100000010000001000000100000011T 11111kTkTkT10-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换 1000000010000100000001000000010000102T9024806240605 .0005 .006016012406480605 .0005 .00601601 2222TkTkT10-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换分析任务分析任务: :建立结点力与结点位移的关系建立结点力与结点位移的

32、关系- -结构的刚度方程结构的刚度方程例例: : 4321FFFFF 4321第一步第一步: : 编号，建坐标编号，建坐标符号：与整体坐标正向为正。iiiivu iiiiMYXF结点力列向量结点力列向量结点位移列向量结点位移列向量其中：10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵 1F、 4F 支座反力 2F、 4F 结点外力 F F= = K K 表示整个结构在整体坐标系中的结表示整个结构在整体坐标系中的结点位移与结点力之间的变换关系。点位移与结点力之间的变换关系。-明确任务明确任务有有n个结点的平面刚架，个结点的平面刚架，是是3 3n阶向量阶向量。T222111)(nnnvuvuvuT2

33、211)(nnvuvuvu F结构的结点力向量。它是由作用在每个结点上结构的结点力向量。它是由作用在每个结点上的外力的外力 ( (包括已知的荷载和未知的支座反力包括已知的荷载和未知的支座反力) ) 构成的。构成的。注意：注意：F与与的阶数相同的阶数相同, , 而且是一一对应的。而且是一一对应的。结构的结点位移向量。矩阵位移法的基本未知量结构的结点位移向量。矩阵位移法的基本未知量。 K 结构的整体刚度矩阵（总刚）。其行、列数等结构的整体刚度矩阵（总刚）。其行、列数等于结构结点的位移数。于结构结点的位移数。 10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵第二步：单元分析第二步：单元分析323332

34、232232KKKKFF212221121121KKKKFF434443343343KKKKFF10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵第三步，利用变形条件和平衡条件建立第三步，利用变形条件和平衡条件建立 与与 F 的关系。的关系。分别对结点1，2，3，4进行分析10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵由变形条件： 222 333 1144由平衡条件：如结点如结点2 2：2220XXXX2220YYYY2220MMMM即： 222222222MYXMYXMYX即： 222FFF 323222221212)(KKKKF10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵同理，对结点1、3、

35、4的平衡条件为： 2121111KKF 434333332323)(KKKKF 4443434KKF写成矩阵形式： 43214443342222322322222112114321000000KKKKKKKKKKKKFFFF10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵上式称为结构的原始刚度方程，简写为：上式称为结构的原始刚度方程，简写为： KF K称为结构的原始刚度矩阵原始刚度矩阵，简称总刚总刚。总刚度矩阵特性总刚度矩阵特性：（1 1） K 是对称方阵；是对称方阵； kij=kji（反力互等定理），贮存总刚度矩阵时，只反力互等定理），贮存总刚度矩阵时，只需贮存它的一半就行了。需贮存它的一半就

36、行了。（2 2） K K 是稀疏矩阵；是稀疏矩阵；非零元素只分布在主对角线两侧的带状区域内。非零元素只分布在主对角线两侧的带状区域内。 表示结点位移表示结点位移 和结点力和结点力 F F 之间的关系，反映了结构之间的关系，反映了结构的刚度性质，而不涉及原结构上作用的的刚度性质，而不涉及原结构上作用的实际荷载实际荷载，并不是并不是原原结构的位移法基本方程。结构的位移法基本方程。10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵 当尚未引进支座条件的情况下，结构刚度方程当尚未引进支座条件的情况下，结构刚度方程是无法求解的（未引进支座条件时，结构存在刚体是无法求解的（未引进支座条件时，结构存在刚体位移）

37、。位移）。 （3）K 是一个奇异矩阵。是一个奇异矩阵。0K 特称没有引进支座条件的总刚度矩阵称为特称没有引进支座条件的总刚度矩阵称为原始原始总刚度矩阵总刚度矩阵。建立总刚度矩阵的方法建立总刚度矩阵的方法: : 直接由单刚矩阵按一定的规律集成总刚度矩直接由单刚矩阵按一定的规律集成总刚度矩阵，称为阵，称为直接刚度法直接刚度法10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵桁架的指示矩阵为：桁架的指示矩阵为： 任何一个杆端都与一个结点对应。图示桁架，其单元任何一个杆端都与一个结点对应。图示桁架，其单元杆端与结点号可用一个矩阵来表示。矩阵的行数为单元数，杆端与结点号可用一个矩阵来表示。矩阵的行数为单元数

38、，列数为列数为2。每一行的两个数分别表示该单元。每一行的两个数分别表示该单元 i、j 端对应的端对应的结点号。这个矩阵称为指示矩阵。结点号。这个矩阵称为指示矩阵。指示矩阵实际指示矩阵实际上也给出了各上也给出了各单元坐标系。单元坐标系。423141433221GGi j直接刚度法形成总刚度矩阵直接刚度法形成总刚度矩阵 直接刚度法直接刚度法直接由各单元刚度矩阵装配形成总刚直接由各单元刚度矩阵装配形成总刚度矩阵。是目前编制计算机程序最常用的方法。度矩阵。是目前编制计算机程序最常用的方法。 1. 1.首先应将结构的结点和单元编号。编号可以任意编，首先应将结构的结点和单元编号。编号可以任意编，并不影响计

39、算结果。并不影响计算结果。34123612F1F35F4410-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵2. 首先列出整体坐标表示的单元刚度矩阵。首先列出整体坐标表示的单元刚度矩阵。3. 将单元刚度矩阵划分为将单元刚度矩阵划分为4个子块：个子块： ejjejieijeiieK KK KK KK KK K 4. 按按“子块搬家，对号入座子块搬家，对号入座”的原则将单元刚度矩的原则将单元刚度矩阵中的子块，一块块地搬入总刚度矩阵中，而搬入的位置阵中的子块，一块块地搬入总刚度矩阵中，而搬入的位置则根据指示矩阵则根据指示矩阵G 的规定来确定。的规定来确定。 一般的规律是：第一般的规律是：第e单元单元i

40、端对应结点号为端对应结点号为g, , j 端对应结点号为端对应结点号为h。“搬家搬家”时将该单元单元刚度矩时将该单元单元刚度矩阵中的子块阵中的子块Kij搬到总刚度矩阵中的子块位置搬到总刚度矩阵中的子块位置Kgh，即，即搬到总刚度矩阵中第搬到总刚度矩阵中第g子块行，第子块行，第h子块列中去。子块列中去。10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵yxji531K11 K13K31K33423141433221G)5(iiK K)5(ijK K)5(jiK K)5(jjK K 例如例如, ,图示桁架第图示桁架第号单元的号单元的4个子块，根据指个子块，根据指示矩阵示矩阵G 的指示，分别搬到：的指示

41、，分别搬到：34123612F1F35F4410-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵 2）用上述用上述 “子块搬家，对号入座子块搬家，对号入座” 装配总装配总刚度矩阵刚度矩阵的方法的方法也适用于其他任何杆件结构。也适用于其他任何杆件结构。各单元都按此原则各单元都按此原则“搬家搬家”后，桁架的总刚度矩阵为：后，桁架的总刚度矩阵为： 1 2 3 4 4321)6()4()3()3()6()4()3()5()3()2()2()5()6()2()6()2()1 ()1 ()4()5()1 ()5()4()1 (jjjjjjjijijiijjjiijjjijiijijiiiijjjiijijiji

42、iiiiiK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK K注意：注意： 1）总刚的）总刚的一个子块位置中搬入几个子块时，这一个子块位置中搬入几个子块时，这几个子块应叠加。几个子块应叠加。34123612F1F35F4410-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵总刚度矩阵的构造总刚度矩阵的构造 图示桁架有图示桁架有4个结点，有个结点，有8个位移分量。个位移分量。= =u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4T T总刚度矩阵则为总刚度矩阵则为8 阶方阵阶方阵：子块行子块行元素行元素行43

43、218765432135kK32K 子块列子块列 1 2 3 4 元素列元素列 1 2 3 4 5 6 7 8 341234612F15F43F 将其分成将其分成4个子块。平个子块。平面桁架，每一结点具有两个面桁架，每一结点具有两个位移分量，每一子块中就有位移分量，每一子块中就有两行两列共两行两列共4个元素。个元素。 1. K32的物理意义是什么？的物理意义是什么？思考：思考：2. k35的物理意义是什么的物理意义是什么？10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵 1. 子块子块K32表示结点表示结点2产生单位位移时引起的结产生单位位移时引起的结点点3的结点力。的结点力。 2. k35表示

44、第表示第5号位移（结点号位移（结点3沿沿X方向的位移）方向的位移）为一单位时引起沿第为一单位时引起沿第3号位移（结点号位移（结点2沿沿y方向的位移）方向的位移）方向的力。这个力应该理解为相当于按位移法的基方向的力。这个力应该理解为相当于按位移法的基本结构所规定的结点本结构所规定的结点2的竖向附加约束的约束反力。的竖向附加约束的约束反力。4. 总刚度矩阵中某一元素的物理意义是什么？总刚度矩阵中某一元素的物理意义是什么？ 3. 对于空间桁架和平面刚架，每个子块中含多对于空间桁架和平面刚架，每个子块中含多少个元素？少个元素？思考：思考： 答：答：10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵1）首先

45、对其结点和单元进行编号如图示。）首先对其结点和单元进行编号如图示。 )()()()()(ejjejieijeiieK KK KK KK KK每个子块都是由每个子块都是由33阶的阶的9个元素构成的。个元素构成的。 3）列出刚架的指示矩阵）列出刚架的指示矩阵 i j54423221G G 2）列出各单元的用整体坐标表示的单元刚度矩阵）列出各单元的用整体坐标表示的单元刚度矩阵 为：为：)(eK K134223451平面刚架平面刚架 10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵对号入座装配总刚度矩阵为：对号入座装配总刚度矩阵为： 1 2 3 4 554321000000000000)4()4()4(

46、)4()3()3()2()2()3()2()3()2() 1 () 1 () 1 () 1 (jjjiijiijjjijjjiijijiiiijjjiijiiK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK K4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵主子块：主子块：主对角线上的子块， iiK副子块：副子块：非主对角线上的子块， )(jiKiji，j相关单元：相关单元：连接结点i，j单元。i相关结点：相关结点：与结点 相邻的结点。 i相关单元：相关单元：与结点 相连的单元。 ii总刚的特点：总刚的特点：1） eeiiiiKK（

47、e为结点i的相关单元） 2）若 i，j非相关，则 0ijK ，若 ij为相关，则 eijijKK（e为结点i, 的相关单元） j总刚的形成：对号入座，同号相加。单刚子块在总刚中的分布规律总结：单刚子块在总刚中的分布规律总结：10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵解：有关参数 1234xy123llmKNlEImKNlEIKNlEImKNlEImKNlEA3332333103221064410246/101212/10500单刚见教材（p249）例：试求图示刚架的原始刚度矩阵。 已知各杆 ,200GPaE mlmAmI4,101,1032224510-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度

48、矩阵 64 0 500 24 0 12 32 0 24 281 0 500 0 24512 24 0 12 240512 32 24 0 281 0 24 12 0 24512 0 0 500240512 32024640 0 050000500 2401224012103称对K10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵4,1058665444,kkkkk（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（10,11,12）10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵12342Fx231Fy2M2M3Fy3Fx3图示刚架原始刚度方程图示刚架原始刚度方程1111122221222223333233

49、3334444344000000FkkFkkkkFkkkkFkk 未知未知未知未知未知未知未知未知已知已知已知已知已知已知已知已知10-5 支承条件的引入支承条件的引入11111222212222233332333334444344000000FkkFkkkkFkkkkFkk 未知未知未知未知未知未知未知未知已知已知已知已知已知已知已知已知由于结点由于结点1 1、4 4为固定端，故支承约束条件为为固定端，故支承约束条件为1400代入结构原始刚度方程，有代入结构原始刚度方程，有22222233333300FkkFkk 和和1122443300FkFk 10-5 支承条件的引入支承条件的引入222

50、22233333300FkkFkk 其中其中为引入支承条件后的结构刚度方程，可写为：为引入支承条件后的结构刚度方程，可写为： KF式中：式中： 只包括已知结点荷载，只包括已知结点荷载， 只包括未知结点位只包括未知结点位移，此时的矩阵移，此时的矩阵 即为从结构的原始刚度矩阵中删即为从结构的原始刚度矩阵中删去与已知为零的结点位移对应的行和列而得到，称为去与已知为零的结点位移对应的行和列而得到，称为结结构的刚度矩阵或缩减的总刚。构的刚度矩阵或缩减的总刚。FK 此时，由于引入支承条件，消除了结构的任意刚体此时，由于引入支承条件，消除了结构的任意刚体位移，故结构刚度矩阵为非奇异矩阵，可得到未知结点位移，

51、故结构刚度矩阵为非奇异矩阵，可得到未知结点位移位移 的唯一解。（若此时结构刚度矩阵仍奇异，的唯一解。（若此时结构刚度矩阵仍奇异，说明原结构为几何可变或瞬变体系）。说明原结构为几何可变或瞬变体系）。10-5 支承条件的引入支承条件的引入 求出未知结点位移后，可由单元刚度方程计算各单求出未知结点位移后，可由单元刚度方程计算各单元的内力。整体坐标系下，单元杆端力为：元的内力。整体坐标系下，单元杆端力为：可求得局部坐标系下单元杆端力可求得局部坐标系下单元杆端力或：局部坐标系下单元杆端结点位移或：局部坐标系下单元杆端结点位移同样可求得局部坐标系下单元杆端力同样可求得局部坐标系下单元杆端力eeeeeTKK

52、FeeTeeeeKTFTFeeeKF10-5 支承条件的引入支承条件的引入1122443300FkFk 求出未知结点位移后，由式求出未知结点位移后，由式可计算支座反力。可计算支座反力。 但是，当全部杆件的内力都求出后，一般可由结点但是，当全部杆件的内力都求出后，一般可由结点平衡条件求支座反力更方便。平衡条件求支座反力更方便。10-5 支承条件的引入支承条件的引入54321000000000000)4()4()4()4()3()3()2()2()3()2()3()2()1()1()1()1(jjjiijiijjjijjjiijijiiiijjjiijiiK KK KK KK KK KK KK K

53、K KK KK KK KK KK KK KK KK KK42(4)(3)(3)(3)(2)(1)iijjjiijiiiijjKKKKKKKK(3)2 4图示刚架的原始刚度矩阵图示刚架的原始刚度矩阵134212345 舍弃与约束所对应的行和列，得到引进了支座条舍弃与约束所对应的行和列，得到引进了支座条件后的总刚度矩阵件后的总刚度矩阵： 这就是这就是后处理法后处理法，即即先集成总刚度矩阵先集成总刚度矩阵，然后再引然后再引进约束条进约束条。还有。还有先处理法先处理法，即，即先引进支座条件先引进支座条件，然后然后集成总刚度矩阵。集成总刚度矩阵。( (暂略暂略) ) 10-5 支承条件的引入支承条件的引

54、入 1 2 3 4 0000432103322)6()4()3()3()6()4()3()5()3()2()2()5()6()2()6()2() 1 () 1 ()4()5() 1 ()5()4() 1 (4432111vuvuKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKFFFFFFFjjjjjjjijijiijjjiijjjijiijijiiiijjjiijijijiiiiiiyxyx引进约束条件后的刚度方程：引进约束条件后的刚度方程：3322)5()3()2()2()2()6()2()1(3210vuvuFFFjjiijjjiijiiiijjK KK KK KK KK KK KK KK

55、 K 通过求解线性代数通过求解线性代数方程组的方法求出未知方程组的方法求出未知的结点位移向量。的结点位移向量。图示平面桁架结构，结构的原始刚度方程为：图示平面桁架结构，结构的原始刚度方程为：341234612F15F43F10-5 支承条件的引入支承条件的引入1234 FeEx2x2FF FeEy2y2FF FeE22MM FeEx3x3FF FeEy3y3FF FeE33MM2FeyF31242FexF2FeM3FeyF3FexF3FeM1234(a)(b)(c) 对于平面刚架单元，对于平面刚架单元，若单元上作用着非结点荷若单元上作用着非结点荷载，则单元载，则单元的杆端力将由的杆端力将由两部

56、分构成。一部分是由两部分构成。一部分是由结点位移所引起结点位移所引起的，另一的，另一部分是非结点荷载作用而部分是非结点荷载作用而直接引起的杆端力直接引起的杆端力, 即固即固端内力。端内力。10-6 非结点荷载的处理非结点荷载的处理2FeyF31242FexF2FeM3FeyF3FexF3FeM(b) 同位移法，刚结点处施加同位移法，刚结点处施加附加链杆和附加刚臂阻止所有附加链杆和附加刚臂阻止所有结点的线位移和角位移，此时结点的线位移和角位移，此时各单元有固端力，附加链杆和各单元有固端力，附加链杆和附加刚臂上有附加反力和附加附加刚臂上有附加反力和附加反力矩。由结点平衡条件可知，反力矩。由结点平衡

57、条件可知，附加联系上的附加反力等于汇附加联系上的附加反力等于汇交于该结点的各固端力的代数交于该结点的各固端力的代数和。和。某单元某单元e受非结点荷载作用，单元局部坐标系中的固端力为：受非结点荷载作用，单元局部坐标系中的固端力为：FeFeFeFeFeFeFeTNSNS()ijiijjFFMFFMF固端大小可由固端内力表查得，固端大小可由固端内力表查得，P254表表10-3。10-6 非结点荷载的处理非结点荷载的处理1234 FeEx2x2FF FeEy2y2FF FeE22MM FeEx3x3FF FeEy3y3FF FeE33MM（c）取消附加联系，相当于取消附加联系，相当于在结点上施加了与上

58、述在结点上施加了与上述附加反力和附加反力矩附加反力和附加反力矩反号的荷载，此荷载成反号的荷载，此荷载成为原结构上非结点荷载为原结构上非结点荷载的的等效结点荷载。等效结点荷载。注意：这里“等效”指图（a）和图（c）的结点位移相等整体坐标系中的固端力为：整体坐标系中的固端力为：T()xiyiixjyjjFeTFeFeFeFeFeFeFeFT FFFMFFM将各分量反号并对号入座送到荷载列阵中去，即为等效结点荷载。将各分量反号并对号入座送到荷载列阵中去，即为等效结点荷载。10-6 非结点荷载的处理非结点荷载的处理任一结点任一结点i上的等效结点荷载上的等效结点荷载FEi为：为： xiyiFeExiFe

59、FeiEiEyiFeEii-FFFF-FFM-M 如果除了非结点荷载的等效结点荷载如果除了非结点荷载的等效结点荷载FEi外，结点外，结点i上还上还作用有直接结点荷载作用有直接结点荷载FDi，则，则i点总的结点荷载为：点总的结点荷载为：iDiEiFFF结点结点i的综合结点荷载的综合结点荷载DEFFF整个结构的综合结点荷载整个结构的综合结点荷载10-6 非结点荷载的处理非结点荷载的处理 各单元最后的杆端力是固端力和综合结点荷载作用下产各单元最后的杆端力是固端力和综合结点荷载作用下产生的杆端力之和，即生的杆端力之和，即FeeeeFFk 和和eFeeeFFTk 或或eFeeeFFk T 10-6 非结

60、点荷载的处理非结点荷载的处理 计算步骤：计算步骤：（1）对结点和单元进行编号，选定整体坐标系和局部坐标系；）对结点和单元进行编号，选定整体坐标系和局部坐标系；（2）计算各杆的单元刚度矩阵；）计算各杆的单元刚度矩阵；（3）形成结构原始刚度矩阵；）形成结构原始刚度矩阵；（4）计算固端力、等效结点荷载和综合结点荷载；）计算固端力、等效结点荷载和综合结点荷载；（5）引入支承条件，修改结构原始刚度方程，得到缩减总刚；）引入支承条件，修改结构原始刚度方程，得到缩减总刚；（6）结算结构刚度方程，求出结点位移；）结算结构刚度方程，求出结点位移；（7）计算各单元杆端力。）计算各单元杆端力。10-7 矩阵位移法的