人教A版高考数学二轮复习讲义及题型归纳(基础)：极坐标与参数方程

1、高考数学二轮复习（理）讲义及题型归纳（基础）极坐标与参数方程目录目录1一、总论 2二、考纲解读2三、命题趋势探究 3四、知识讲解31 .极坐标系32 .极坐标与直角坐标的互化 33 .极坐标的几何意义 44 .直线的参数方程45 .圆的参数方程56 .椭圆的参数方程 57 .双曲线的参数方程 58 .抛物线的参数方程 5五、解答题题型归纳 6核心考点1：参数方程与普通方程、极坐标系与直角坐标系的互化 6核心考点2:参数方程中参数的几何意义 9一'、总论坐标系与参数方程它以函数、方程等知识点为载体，渗透着换元、化归、分类讨论、数 形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等

2、方面起到了积极的作 用.近几年的数学高考中频频出现参数的几何意义问题，其形式逐渐多样化，但只要知 其本质，便可举一反三，金枪不倒.二、考纲解读1 .理解坐标系的作用.2 .了解在直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况 .3 .能在极坐标中用极坐标表示点的位置.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的 位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.4 .能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程通 过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.5 .了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中的点的位置的方法，并与空间直角坐

3、标系中表 示点的位置方法相比较，了解它们的区别.6 .了解参数方程，了解参数的意义.7 .能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程 .8 .掌握参数方程化普通方程的方法.三、命题趋势探究本章是新课标新增内容，属选考内容，在高考中可能有所体现.参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进 步深化，是研究曲线的工具之一，值得特别关注.四、知识讲解1 .极坐标系 在平面上取一个定点O,由点O出发的一条射线Ox、一个长度单位及计算角度的正方 向（通常取逆时针方向），合称为一个极坐标系.点O称为极点，Ox称为极轴.平面上任一 点M的位置可以由线段OM的长度P和从Ox

4、至IJOM的角度日（弧度制）来刻画（如图1 和图2所示）.这两个实数组成的有序实数对（P,8）称为点M的极坐标.P称为极径，8称为极角.2 .极坐标与直角坐标的互化 设M为平面上的一点，其直角坐标为（x,y）,极坐标为（P,e）,由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立：x = Pcosiy = "sin 1：2 = x2 y2或ytan 8 = (x =0)Lx（对P<0也成立）3.极坐标的几何意义P =r表示以O为圆心，r为半径的圆；日=仇一一表示过原点（极点）倾斜角为仇的直线，日=或（户之0）为射线;P = 2acos6表示以（a,0）为圆心过O点的圆.（可化直

5、角坐标：P2 = 2aPcos6=x2 +y2 =2ax= （x -a）2 + y2 =a2.）4.直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为y-y0 =k（x-x0）,其中k =tana（c（为直线的倾斜角）,代人点斜式方程sin:xxy - y°= J(x-x°)(" ¥:),即“cos二2 cos：y-y。sin 二x = x tcos 工记上式的比值为t,整理后得! 为y = y0 t sin -七也成立，故直线的参数方程为x = x0 t cos 1.，. 一 .,（t为参数，a为倾斜角，直线上止点M0（x0,

6、yq）,动点M （x,y） ,1为乂。乂 厂 y° tsin :的数量，向上向右为正（如图3所示）.5 .圆的参数方程x = xr cos 二右圆心为点M(Xo,y0),半径为r,则圆的参数万程为0(0EeE2n).y = y0 r sin 二6 .椭圆的参数方程22x = a cos 1一椭圆C:x2+与=1的参数方程为(9为参数，(0<0<2n).a2 b2y = bsini7 .双曲线的参数方程(0 kn +-,k Z).X2 y2x 二 aseu双曲线C:、=1的参数方程为4 口 a by =btarP8 .抛物线的参数方程22 x2抛物线y2 =2px的参数方程

7、为X = 2pt (t为参数，参数t的几何意义是抛物线上的点与 y =2pt顶点连线的斜率的倒数)五、解答题题型归纳 核心考点1:参数方程与普通方程、极坐标系与直角坐标系的互化1Q Q和。O2的极坐标方程分别为 P = 4cosH, P = -4sin9 .（1）把。和。O2的极坐标方程分别化为直角坐方程；求经过。Oi和。O2交点的直线的直角坐标方程.解析 （1）圆 O1 : P = 4cos 日 = P2 = 4 P cos6 = x2 + y2 = 4x ,得（x - 2 j + y2 = 4x ,圆 O2: P = -4sing= P2=YPsin8 口 x2+y2=-4y,得 x2+（

8、y+2） =4。x2 y2 4x（2）联立两圆万程« 2 y2 ，过圆Oi、圆O2交点的直线方程为 4x+4y=0（两式相 x y - -4y减），即 x+y=0.2 .已知一个圆的极坐标方程是 P = 5由cos日-5sin日，求此圆的圆心和半径.解析 由圆的极坐标方程5 =5V3cos0 -5sin 6得 P2 =5V3PcosH-5Psin 8 = x2 + y2 =5/3x_5y = x2 + y2 _5V3x+5y = 0 ,得x I + 'y+9 j=25,故圆心坐标为 殳叵 皂 半径为r=5。I2jl2）122）3 .极坐标方程（P-1）（6-g =0（P之0）

9、表示的图形是（）A.两个圆B.两条直线C. 一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线因为（P1）（6n）=0（P 之 0）,所以 P = i 或6=冗（P>0）.P=1= Jx2 +y2 =1 ,得x2 +y2 =1,表示圆心在原点的单位圆；（ =兀（之0）表示*轴的负半轴，是一条射线.故选C.x - -1-t4 .极坐标方程P=cose和参数方程4（t参数）所表小的图形分别是（）y = 2 3tA.圆、直线 B.直线、圆C.圆、圆 D.直线、直线解析 由极坐标方程P = coS得P2 = P cose ,则x2+y2 = x ,即x2 + y2 - x = 0 ,2'x- I+y

10、2 =1 ,故表示的图形是圆，其圆心坐标为 -,0 I1,半径为-,参数方程为.2，422x - -1 -t<（t为参数），消参数得3x + y + 1 = 0,表小直线，故选Aoy = 2 3t5 .直线2Pcos8 =1与圆P = 2cos<3相交的弦长为 .解析 将极坐标方程化为普通方程为x=-与x2 +y2 =2x ,联立方程组成方程组求出两交点的坐标,且和工电,故弦长等于日I2 2 J 122 J6 .参数方程!x=Sin'*C0S" （日是参数）的普通方程是 .y =sin 二 cos?2卜我衣,斛析 利用（sin日 +cos6 ） =1 +2cosB

11、sinH 二 x2 =1+2y , x =sin 日+cos9 =也sin | 日十一w4v2 一故普通方程是y=3，xw-72,721x =3t2 27 .方程2（0SM5）表示的曲线是（）y =t -1A.线段 B.双曲线的一支 C.圆弧 D.射线 2 c-x=3t 22_x_77解析由万程< o （0EtE5A«。故选Ay =t2 -1x -3y -5=0x =t8 .设曲线C的参数方程为2 （t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的y =t正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C的极坐标方程为 .x =t、2解析yH2 ,化为普通方程为y = x ,由于PcosB =

12、 x, PsinH = y ,所以化为极坐标方程为 Psin 日=P2 cos2 8,即 Pcos2 6 -sin 9=0.9 .在极坐标系中，直线PcosH+PsinH =a（a>0）与圆P=2cosH相切，贝a =.9.1 +72【解析】利用x=Pcose, y = PsinH,可得直线的方程为x+y-a = 0,圆的方 程为（x-1）2 +y2 =1 ,所以圆心（1,0）,半径r=1,由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1m| = 1 , a=1十四或1-衣，又 a >0 , . . a =1 + 72 .10 .在极坐标系中，点 A在圆P2-2 Pcos-4P

13、sin日+4 =0上，点P的坐标为（1,0）,则 | AP |的最小值为.10.1 【解析】圆的普通方程为x2 +y2 -2x-4y+4=0 ,即（x-1）2 + （y -2）2 = 1.设圆心为 C（1,2）,所以 |AP|min=|PC|-r =21=1.JT11 .在极坐标系中，直线4Pcos（B-二）+1=0与圆P = 2sin的公共点的个数为.611.2【解析】直线的普通方程为2gx + 2y+1=0,圆的普通方程为x2+（y1）2=1,3因为圆心到直线的距离d=±<1 ,所以有两个交点.412 .在极坐标系中，直线Pcos日-石Psin日-1=0与圆P = 2cos

14、6交于A,B两点，WJ|AB|=13 2【解析】将Pcose -73Psin8 -1 =0化为直角坐标方程为x底 1 = 0 ,将 42cos 9 化为直角坐标方程为（x-1）2+y2=1,圆心坐标为（1,0）,半径r=1,又（1, 0）在直线 x-石y-1=0 上，所以 |AB|=2r=2.核心考点2:参数方程中参数的几何意义1.在极坐标系中，。为极点，半径为2的圆C的圆心的极坐标为（2,）. （1）求圆C的极 3坐标方程；（2）在以极点。为原点，以极轴为x轴正半轴建立的直角坐标系中，直线l的参数方'" 1x =1 十一 t2程为I（t为参数），直线l与圆C相交于A, B两

15、点，已知定点M（1,-2）,y - -2 t 2求|MA| |MB|。1 .试题分析：（1）设P（R q是圆上任意一点，则在等腰三角形COP中，OC=2, OP=P,二 1. 一 .二NCOP =|日一|,而一|OP|=|OC|cos/COP 所以，P = 4cos（日一）即为所求的圆 C 的 323极坐标方程。（2）圆C的直角坐标方程为（x 1）2+（y 私）2 =4 ,即：x2+ y2 2x23y = 0（ 1x =1 t2、一一将直线l的参数方程广（t为参数）代入圆C的方程得：y = -2 刍2t2（3+2W）t+3+473 =。，其两根匕、t2满足 t1 t2 =3 + 4瓜所以，|M

16、A| |MB| =|t1t2|=3+46x:3 一旦2.在直角坐标系中，直线l的参数方程为22（t为参数）。在极坐标系（与y =、.5t2直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，圆的方程为p =275sin日。（1）求圆 的直角坐标方程；（2）设圆与直线l交于点、，若点的坐标为（3,何，求2.解析：（1）由 P=2 而 sinB 得 x2 + y2 -275y =0,即 x2+（y-75）2 = 5.（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（3-返t）2+（近t）2=5, 22即t2 -3拒t +4=0,由于=（3向2-4父4=2>0 ,故可设t1,

17、t2是上述方程的两实根，所以小 乜=3衣 又直线l过点P（3,75）,故由上式及t的几何意义得：域2 =4PA +|PB =|t1|+|t2|=t1 +t2 =3后. x= 2cos -3.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为«（"为参数），M是C1上的y = 2 2sin ;uuv uuuv动点，P点满足OP=2OM , P点的轨迹为曲线C2(I )求C2的方程jr(H)在以。为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 e=二与Ci的异于极点的 3交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求AB .3 .【解析】设P(x,y),则由条件知乂6).由于M点在Ci上，所以x,即 x=4C0s：y = 4 4sin ;一 =2cos :2y = 2 2sin ;2x=4cos 工从而C2的参数万程为(a为参数),y = 4 4sin ;(H)曲线Ci的极坐标方程为P=4sin9,曲线C2的极坐标方程为P=8sin9.JIJ射线日=与C1的交点A的极径为匕=4sin , 33射线8=与C2的交点B的