函数的基本性质——单调性与最大(小)值

1、函数的基本性质单调性与最大 ( 小) 值【教学目标】1知识与技能：了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概 念的大致意思2过程与方法：理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图 象指出单调性、写出单调区间3情感、态度与价值观：掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的 单调性定义证明简单函数的单调性【教学重难点】教学重点：函数的单调性的概念。教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性【教学过程】一、复习引入。1复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法。为 了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先 分别画函数 y x2 和 y

2、 x3的图象。 y x2 的图象如图31， y x3 的图象如图 22引入：从函数 y x2 的图象(图 1)看到：图象在 y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当 x在区间 0，+ )上取值时，随着 x的增 大，相应的 y 值也随着增大，即如果取 x1,x20，+ )，得到 y1=f (x1)，y2=f(x2)，那么当 x1 < x2 时，有 y1 < y2 。y这时我们就说函数 y=f(x)=x2在0，+ )上是增函数。图象在 y 轴的左 f(x) 侧部分是下降的，也就是说，当 x在区间( ，0)上取值时，随着 x的增 大，相应的 y 值反而随着减小，即如果取 x1,x2( ，0

3、)，得到 y1= f(x1)， y2 = f (x2) ，那么当 x1<x2 时，有 y1> y2。f (x1)f(x2 )x1x2图3这时我们就说函数 y=f(x)=x2在( ，0)上是减函数。函数的这两个性质， 就是今天 我们要学习讨论的。二、讲解新课。1增函数与减函数。定义：对于函数 f (x) 的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 , x 2 ，(1)若当 x1<x2时，都有 f(x1)< f(x2)，则说 f (x)在这个区间上是增函数(如图 3)；(2)若当 x1 < x2时，都有 f(x1)>f(x2)，则说 f(x) 在这个区

4、间上是减函数如图 4)说明：函数是增函数还是减函数， 是对定义域内某个区间而言的。 有的函数在一些区间上 是增函数，而在另一些区间上不是增函数。例如函数 y x2(图 1)，当 x0 ，+ )时是增 函数，当 x( ，0)时是减函数。2单调性与单调区间。若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 f ( x)在这一区间具有(严格 的)单调性，这一区间叫做函数 f (x) 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的yf (x1)f (x2)xx1x2图5说明：(1)函数的单调区间是其定义域的子集；(2)应是该区间内任意

5、的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就 不能保证函数是增函数 (或减函数)，例如，图 5中，在 x1 , x2那样的特定位 置上，虽然使得 f(x1)> f ( x2 )，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；3)除了严格单调函数外， 还有不严格单调函数， 它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“ f (x1)< f(x2)或 f (x1)>f(x2)，”改为“ f(x1)f(x2) 或 f (x1) f (x2) ，”即可；4)定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延一般规律： 自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增， 自变量的变化

6、与函数 值的变化相对时是单调递减。几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为 减函数。三、讲解例题-5 -2 O 1 3 5 x例 1：如图 6 是定义在闭区间 5， 5上的函数 y f (x)的图象，根据图象说出 y f (x) 的单调区间，以 及在每一单调区间上，函数 y f (x) 是增函数还是减函 数。解：函数 y f (x)的单调区间有 5，2)，2， 1)，1，3)，3，5，其中 y f (x)在区间5，2)，1，3)上是减函数，在区间 2，1)，3 ，5上是增函数。 说明：函数的单调性是对某个区间而言的， 对于单独的一点， 由于它的函数值是唯一确

7、定 的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数 或分段连续函数， 对于闭区间上的连续函数来说， 只要在开区间上单调， 它在闭区间上也就单 调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连 续的函数，单调区间不包括不连续点。例 2：证明函数 f (x) 3x 2在 R上是增函数。证明：设 x1,x2是 R上的任意两个实数，且 x1<x2，则f(x1) f (x2 ) =( 3 x 1 +2)( 3 x2 +2)=3( x 1 x2)， 由x1<x2x，得x1x2<0，于是 f(x1)f(x2)<0，

8、即 f(x1)<f(x2)。 f(x) 3x 2在 R上是增函数。1例 3：证明函数 f (x) 1 在( 0，+ )上是减函数。x证明：设 x1 ， x 2 是(0，+ )上的任意两个实数，且 x 1 < x2 ，1则 f (x1) f (x2) = x11 x2 x1 x2 x1x2由 x1 ， x 2 (0，+ )，得 x 1 x2 >0，又由x1 < x2 ，得x2 x1 >0，于是 f(x1)f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)1 f (x) 1 在( 0， + )上是减函数。x例 4讨论函数 f(x) x 2 2ax 3 在( 2，

9、2)内的单调性。解： f(x) x2 2ax 3 (x-a) 2 3 a 2，对称轴 x a若 a 2，则 f(x) x2 2ax 3在( 2，2)内是增函数；若 2 a 2则 f(x) x2 2ax 3在( 2，a)内是减函数，在 a，2内是增函数 若a 2，则 f(x) x2 2ax 3在( 2，2)内是减函数。四、练习f (x) 的单调区间有 2，1，1，0，0，1，1，2； f(x) 在区间2，1，0， 1上是增函数，在区间 1，0，1， 2上是减函数。g( x)的单调区间有 ， ， ， ， ， ；g(x)在区间 ， ， 2 2 2 2 2 ， 上是减函数，在区间 ， 上是增函数。2

10、2 2 说明：要了解函数在某一区间是否具有单调性， 从图象上进行观察是一种常用而又较为粗 略的方法，严格地说，它需要根据增(减)函数的定义进行证明，下面举例说明。判断函数 f(x) 3x 2在 R上是增函数还是减函数？并证明你的结论。解：设 x1， x2R，且 x1<x2， f(x1) f (x2) =(3 x 1 +2)( 3 x2 +2)=3( x2 x1)， 又x1<x2， f(x1)f(x2)>0，即 f(x1)> f(x2)。 f (x) 3x 2 在 R 上是减函数。1判断函数 f (x) = 答：不能。因为 x=0不属于 f(x)=1 的定义域。 在( ，

11、0)上是增函数还是减函数并证明你的结论。x=x2 x1 x1x2解：设 x1，x2( ，0)，且 x1<x2 ，1 1 x2 x1f (x1) f (x2) = = x说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法。(1)判断函数 f (x) kx b在 R 上的单调性，并说明理由。(2)4解：(1)设 x1，x2R，且 x1<x2，则 f(x1) f(x2)=(kx1+b)(kx2 +b)=k(x1x2)。若 k>0，又 x1<x2， f(x1) f(x2)<0，即 f(x1)&

12、lt; f(x2)。 f (x) kx b 在 R 上是增函数。 1x1x2 x1x2由 x1 ， x 2 ( ，0)，得 x1 x2 >0，又由 x1<x2，得x2 x 1 >0，于是 f(x1) f(x2)>0，即 f(x1)> f(x2)。 1 f (x) = 1 在( 0， + )上是减函数。x1 能否说函数 f (x) = 1 在( ，+ )上是减函数？x若k<0，又 x1<x2， f(x1) f ( x2 ) >0，即 f(x1)>f(x2)。 f(x) kx b在 R 上是减函数。(2)设 x1， x2(0，+ f(x1) f

13、 (x2 ) =( x1 f（x）= x2 +9的图象是以（ 0，9）为顶点、 +1)），且 x1 < x2 ，2 2 2（ x2 +1）=x1 x2 =（x1+x2）（ x1x2）0< x1 < x2 ， x1 + x2 >0， x 1 x2 <0， f(x1) f(x2)<0，即 f(x1)< f(x2)， f （x） = x（如图）；它的单调区间是（，0 与0，+ ），它在（ ，0上是增函数，在 0，+ ） 上是减函数。+1 在（0，+ ）上是增函数五、小结。1讨论函数的单调性必须在定义域内进行，即函数的单调区间是其定义域的子集，因此 讨论函数的

14、单调性，必须先确定函数的定义域；2根据定义证明函数单调性的一般步骤是： （1）设 x1，x2 是给定区间内的任意两个值， 且x1<x2；（2）作差 f （ x1 ） f （ x2 ） ，并将此差式变形（要注意变形的程度） ；（3）判断 f（x1） f （ x2 ）的正负（要注意说理的充分性） ；（4）根据 f（x1） f （x2 ）的符号确定其增减性。六、作业布置。补充：(1) f (x) = x 521是以451抛物线（如图）；它的单调区间是， 25 与 52 ，225）；它在（ ，25 上是减函数，2 ， 4 ）为顶点、对称轴平行于 y 轴、开口向上的在 25 ，+ ）上是增函数。55 ，则2f(x1) f(x2)=x12 x2 5证明：设 x1< x2=( x 1 + x2 x1 < x 25)( x 1 x 2 )5 x1+x2<5， x1 x2<0，x1 x2 f (x1 ) f （x2） >0，即 f（x1）> f（x2）。2 5 x +6在（ ， 5 上是减函数。25 类似地