天津市南开区南开中学2020-2021学年高三下学期第四次月考数学试题

1、天津市南开区南开中学2020-2021学年高三下学期第四次月考数学试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.己知集合人=小?一2工一3>0,集合6 = xeZH <4x , M（Q?A）A =（）A. x|0<x<3 B. -1,0,1,2,3 C. 0,1,2,3D. 1,22 .祖晅原理：“累势既同，则积不容异”它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意 思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等.设A, 8为两个同 高的几何体，p： A，8的体积相等，q： A, B在等高处的截面面枳恒相等，根据祖唯原 理可知，p是夕的（）A.充分不必要条件B.必要

2、不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3 .已知定义在R上的函数/（X）满足"x） = /（x）,且函数在（8,0）上是减2 、c = /(208),则凡瓦C的大小关系为函数，若。=/ 2cos7)，b = f log14.l , 3 )")A.a <c <bB. c <b<aC. b <c <aD.c <a <b4.函数/(x) = 3sm（2冗、-2x的一个单调递减区间是（/A,17t 13 乃B.C.7t 7tD.5 .数列J满足：氏”=而“ 若数列qT是等比数列，则义的值是（）1A. 1B. 2C. -D. -

3、126 .已知双曲线2= l（a>0,b>0）的一个焦点与抛物线y2 = 8x的焦点F重合， a- lr抛物线的准线与双曲线交于A,B两点，且AOAB的面枳为6 （O为原点），则双曲线的方程为（）a x- y- 仁 x- y- 厂 x- 2 tA,= 1B.= 1 C.v = 13 1236 323 ' 7.设g, Q分别为具有公共焦点R与心的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一T 11个公共点，且满足尸匕.尸,=0，则丁+丁的值为（）ei2A. B. 1C. 2D. 428 .己知函数x） = 2sin（5+。）啰0,囤的图象过点6（0,拘，且在（5,葛）上单调，把/（.

4、（）的图象向右平移万个单位之后与原来的图象重合，当JL乙 JL乙.公£（耳,手）且演工9时，玉）二/），则/（/ + &）=（）A. 3B. y/3c. -1D. 19 .己知函数/3 =产+ 4，。£在上的最大值为“，若函数g（x） = M一卜二+f|有4个零点，则实数f的取值范围为A, 1,B.（一*1）C. （-X）,-1）U 1,/ID. （-oo-l）U（l,2）二、填空题10.若Z是复数，Z = j，则7工=.（八"H.二项式 出的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值，则展开式中2 x /«项的系数是12 . 一组样本数据的频率

5、分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为频率数据13 .在平行四边形人5c。中，|ZB|=2,|CB|=4,NA6C = 6O°,旦尸分别是5CCO的中点，DE与AF交于H ,则丽.诙的值是14.已知实数MV满足/ +)户=3,14则的最小值为xnx-2x,x > 015 .已知函数/(x) = < 2 3<，函数g(x) = /(x)依'+1有四个零点，则L +2X，X实数女的取值范围是.三、解答题16 .某校开展学生社会法治服务项目，共设置了文明交通，社区服务，环保宣传和中国 传统文化宣讲四个项目，现有该校的甲、乙、丙、丁 4名学生，每名学生必须且

6、只能选 择1项.(1)求恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率；(2)求“环保宣传”被这4名学生选择的人数J的分布列及其数学期望.17 .如图，在四棱锥 P-ABCD 中，P4_L平面 ABC。，AB/CD, AB±AD, PA=AB>AB = 2，AD = >/2，CD = 1.(1)证明：BD1PC；(2)求二面角A PC 。的余弦值;3 PD(3)设Q为线段PD上的点，且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为巫，求丝的值.18 .已知椭圆C:二十=1 (a>b>0)的离心率为巫，两焦点与短轴的一个端点 a- b-3的连线构成的三角形面积为正.(I)求椭圆C

7、的方程；(II)设与圆O: 丁 + )尸=相切的直线/交椭圆C于A , 8两点(0为坐标原点)，19 .己知数列q满足。产2M.=2q+ 2”)设4 啜，求数列色的通项公式;(2 )求数列%的前项和S“；“ 二 ()( +4- 2 )2 ,求数列£的前项和小20 .已知函数/(x) = lnx.(1)求/(x)的极值；(2)证明：m=0时，/ >/(x + 2)(3)若函数g(x) = (x - e)/(x)有且只有三个不同的零点，分别记为演,三,占，设X且的最大值是J ,证明：占JX,不玉e参考答案1. c【解析】集合 AnlNV-Zx-B,。=卜同3% <一1, B

8、= Z|x2 <4x = 4,3,2,1,0 £rA=x-1<x<3故（；A）c6 = 0,L2,3故答案为c.2. B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得：【详解】解：由4=>，反之不成立.是9的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查了祖胞原理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3. A【分析】化简2cos2乃，根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出108941，2。$的 32取值范围，结合/（X）的单调性与奇偶性即可得结果.【详解】f(-x) = f(x), .,J(x)是偶函数,./(一2。»/(

9、2。)c 2,2cos- = -l, 3log 14.1 < log 14 = 2 2° <208 <21<208 <2, -2<-20S<-b2log 14.1 < 2°，8 < 2cos 知 < 0 ,23又因为/（X）在（8,0）上递减，（ （? ：.f log 14.1 > f （-2°8） > / 2cos ,k I J（3 ）log4.1 >/（20S）>/f2cos-2）V 3 7b > c > a,即 a<c<，故选 A.【点睛】本题主要考查

10、函数的奇偶性与单调性，以及指数函数与对数函数的性质，属于综合题.在比 较/（内），/（），/（天）的大小时，首先应该根据函数/（X）的奇偶性与周期性将 /（%）, /（/）,，/（七）通过等值变形将自变量置于同一个单调区间,然后根据单调 性比较大小.4. B【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得/（X）的一个减区间.【详解】解:对于函数/(x) = 3sin -2xI 377令2人4(2x W2k4+4， eZ,解得人乃H &xqdt, k E.Z ,可得函数的单调递61212减区间为k乃+服，卜乃十卡 ,keZ, 令女=0,可得选项B正确，故选：B.【点睛

11、】本题主要考查诱导公式、余弦函数的单调性，属于基础题.5. B【分析】t7 . - 1 At7 2根据等比数列的定义，可知 上一= q,根据式子恒成立，可知对应项系数相同，从而求得结果.【详解】/、一 1一2数列-1为等比数列 =>= q即：Aan-2 = qan-qA = ci上式恒成立，可知：1c=>2 = 2-2 = -q本题正确选项：B【点睛】本题考查利用等比数列的定义求解参数问题，关键是能够通过时应项系数相同求解出结果.6. D【分析】求出抛物线焦点坐标即得椭圆焦点坐标，可得=4，由AQAb的面积为6可得b2 = 3a ,联立两式求得风的值，从而可得结果.【详解】,/ y

12、2 =8x,. = 2 , ,2即），2=8x焦点为（2,0）,即二一与=1焦点为（2,0）， a b./+=4,又 2X045的面积为6,b2 A（ b2,6 -c,一,X = C 时，y = ± ，A -C, a aSm08 = 'x2x生=6,得/=3。，2 a_ er = 1由得，八°,口 =3双曲线的方程为V t=1,故选D.3【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质以及双曲线的方程与性质，属于中档题.求解双曲线方程 的题型一般步骤：（1）判断焦点位置：（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.7. C【分析】分别根据椭圆与双曲线的定义，找到焦点半径

13、之间的关系，再由崩.尸k=0,得尸K _1,尸尼,根据勾股定理即得.【详解】解:设椭圆的半长轴长为外,双曲线的半实轴长为生（生），它们的半焦距为c因为赤尸五=0，所以。冗，?耳，P为两曲线的一个公共点，不妨设|尸中|产用所以|”| + |国=2叫"卜|"| = 2,PF】 =q+/, PF2 =q-%，回+ 陋=（2c）2（q+生+（生 = （2c2c2 =4： +4,2 =3+ 一r 112 = + 。纭故选：C【点睛】椭圆与双曲线中，已知焦点半径之间的关系，求给定式子的值，基础题.8. B【分析】代入z?点求出夕，根据平移关系和在(今,营)上单调，确定,从而得到/(x)

14、；找到个,9 区间内/(x)的对称轴，由对称性可得占+七的值，进而代入求得结果.【详解】f(x) = 2sm(的+ 0)过点 8(o, V?)2 sm(p = B 即 sm (p =又阀 :.中=三/./(x) = 2sm71 a)x+ 3 J又/ (x)的图象向右平移乃个单位后与原图象重合2sin a)(x-7r)乃 -./ 乃+ =2sin COX+ 二 co九=2k九3k g Zco=2k,k gZ仆)在后笥上单调5tt 7171 T =V -12 12 3 2/. co= 2/(%) = 2siii 2x + <3jrJT令 2x+ =女)+ 一, k eZ，213£

15、IThn 7J=l k 7T 7C 解得x =十 一，2 12为f(x)的一条对称轴keZ2兀4乃、,当玉,丫X。毛且/(%)=/()时，XY + X2 =2x- = -/. f(xi + x2) = 2sin 2xy = 2sin= Q本题正确选项：B【点睛】本题考查三角函数值的求解，关键是能够通过三角函数的图象平移、周期、特殊点等求解出 函数解析式，再利用三角函数的对称性将问题转化为特定角的三角函数值求解.9. C【分析】先根据三次函数单调性确定M（4）,再结合函数图象确定实数f的取值范围.【详解】 因为y = d + 4在R上单调递增,a + l,a>0l-a.a <0所以M

16、 () = maxM (-l)J = niax|p + l|,|«-l|,/、 (x+l,x>0,，作图象)M(x) = v = x-+t11 Xy x < U由图象可知，<t<0I I <-1： .kl>1当，之。时有1+1 = / + /,120;l-x = x2 + t,x <0即广革y,（5、从而实数，的取值范围为（-8,-1）D 1,-选c.【点睛】本题考查函数图象与性质，考查综合分析求解能力，属中档题.【分析】根据目数除法运算的法则，化简目数，求出它的共规更数，然后利用目数的乘法运算法则, 计算出z2的值【详解】1-2/_(l-2

17、z) (l-/)_-l-3f ;_-l + 3z -_-l-3z -l + 3z_5l + i (1 + 0 (1-0 厂厂”底 F 2【点睛】本题考查了复数的乘法、除法、共筑复数，正确应用运算法则是解题的关键.1511.2【解析】【分析】 先根据条件确定n值，再根据二项展开式通项公式求结果.【详解】因为仅有第六项的二项式系数取得最大值,所以！ = 6-= 10 , 2因为I”=qo（）io-r（-）r=产（一2）小吟， 2x2所以 5 -1 r = g / = 3, ./（少°一3 （-2）3=-y.【点睛】 本题考查二项式系数与二项展开式项的系数，考查基本分析与求解能力，属基本题

18、.【分析】根据在频率直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等进行求解即可.【详解】设中位数为X,则有0.02x4 +0.08x4 +（工一10>0.09 = 0.5 =>工=华.故答案为：9【点睛】本题考查了在频率直方图中求中位数问题，考查了中位数的性质，考查了数学运算能力.【分析】过点、F作FG/DE,交DE于点、G ,利用平行线的性质，结合平面向量基本定理、平面 向量数量积的定义和运算性质进行求解即可.【详解】过点、F作FG/DE,交DE于点、G ,如下图所示：B平行四边形A5CQ中，AD=BC.因为E分别是6c的中点，所以FG = （CE = 18C = aO, 244A

19、D AH 4 一由尸G/QE=> =>AH = 4HF >AH=-AF 9 GF HF5* 44 4 1, 42- 因为 A” = g 4/=§ （AO + £>尸）=§ （8C + 5 A8）=二 6C , DE = （DC + CE） = -BA + CB = -BA-BC f. A,， 2 1.3 ， 2，2，所以 A-OE = （5。一一54）（一54一一5c） 二 一一6C-6A + .-一一BC" 5525 广 31 o 217因此丽.瓦= _x2x4x_ + _x4?_x22 =一 52 555故答案为：【点睛】本题

20、考查了求平面向量数量积的值，考查了平面向量的数量积的定义和运算性质，考查了平 面向量基本定理，考查了数学运算能力.【解析】-+ (2x+y)- (x-2y)-=r 14(2-+» + *-2犷=J_(无一2)，)" 4(2x+»L(2x+y)2 U-2y)-1515L(2x+y)2 (x-2y)2 1>45 + 2 卜一2)，)52+)，>2115L1(2x+)，)2 (x-2y)215 5点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等 式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(

21、等 号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15.【分析】将问题转化为y = /(力与y =履一 1有四个不同的交点的问题；画出y = 7%)图象后可知, 当)，=丘-1与/ (町在x > 0和x «0上分别相切时，两切线斜率之间的范围即为所求k的 范闱，利用导数几何意义和二次函数的知识分别求解出两条切线斜率，从而得到所求范围.【详解】g(X)= / (x) -米+1有四个零点等价于y = / (x)与y =丘-1有四个不同的交点当 x>0 时，f(x) = xlnx-2x, f'(x) = lnx-l当xw(0,e)时,/(x)<0；当xe(e,+s

22、)时，f'(x)>0即/(龙)在(0, e)上单调递减，在(自+8)上单调递增，/(X)/= /(e) = -61 ( 3 A9当x«0时，f(x) = x2+-x9 此时/(工)2 = / 一彳=一72 /1 o由此可得/(X)图象如下图所示:y)，=依-1恒过(0,-1),由图象可知，直线位于图中阴影部分时，有四个不同交点即临界状态为=履1与/(x)两段图象分别相切31当)，=履-1与/() = /+54工40)相切时，可得：k = "当 y =h-1 与/(x) = xlnx-2x(x>0)相切时设切点坐标为(Mina 2。),则攵= /'

23、(a) = lna-l又)，=h-1恒过(01),则氏 =alna-2a + la-0.k 1a hi a - 2。+1由图象可知：kw【点睛】本题考查利用函数零点个数求解参数范I制的问题，其中还涉及到导数几何意义的应用、二次 函数的相关知识.解决零点问题的常用方法为数形结合的方法，将问题转化为曲线与直线的 交点问题后，通过函数图象寻找临界状态，从而使问题得以求解.2116. (1) ； (2) J的分布列如下表：6401234P8125627642712836412564的数学期望为：七4 = 1.【分析】（1）先计算出基本事件的个数，再计算出恰有2个项目没有被这4名学生选择的基本事件的个数

24、，最后利用占典概型的计算公式进行求解即可；（2）根据题意可知：J的可能取值为0, 1, 2, 3, 4,分别求出相应的概率，最后列出分布列计算数学期望即可.【详解】（1）甲、乙、丙、丁 4名学生，每名学生必须且只能选择1项，则基本事件的个数为：4x4x4x4 = 256，2个项目没有被这4名学生选择所含的基本事件的个数为：C： x （C； + 8） = 84 ,因此恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率为：=：256 64（2）根据题意可知：J的可能取值为0, 1, 2, 3, 4,C：3? _ 54 _ 2744 - 256 " 128小_1）_仁.31108_27P4 = 0）

25、=尸（"1）-双一才尸（4-2）一p（ = 3） = 2 = = A. p（ = 4） = = 44256 6444 256所以“环保宣传”被这4名学生选择的人数4的分布列如下表:01234P812562764271283641256o 127273所以4的数学期望为：七4=Ox + lx + 2x + 3x + 4x =1. 2566412864256【点睛】本题考查了古典概型的计算公式的应用，考查了排列组合的应用，考杳了离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，考查了数学运算能力.17. （1）证明见解析；（2）二3133【分析】（1）以A为原点，A6为轴，AO为'轴，AP

26、为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明50 dLp(2)求出平面APC的法向量和平面尸CD的法向量，利用向量法能求出二面角A -PC。 的余弦值.(3)设。为线段尸。上的点，2(4", C),务=4,0W2W1，求出 X0 = (o,a，2 2%), 由平面PAC的法向量，;=(0,-1,0),且直线和平面尸AC所成角的正弦值为孝,利 用向量法能求出结果.【详解】解：(1)证明：在四棱锥产一A8CD中，24_L平面ABCO,AB/CD, AB±AD, PA = AB A6 = 2，AD = g，CD = 1.以A为原点，AB为大轴，AO为)，轴，AP为Z轴，建立空间直

27、角坐标系，则5(2,0,0), D(0,5/2,0),尸(0,0,2), C(l,应,0),65=(2,应,0), PC = (l,>/2,0):前辰=0，：.BD1PC.(2)解：4(0,0,0), Q = (0,0、2)，AC = (l,>/2,0),设平面APC的法向量 =(x, y, z)，防而= 2z = 0则一 L ，"AC = x + >j2y = 0取 X = y/2 » 得 (2, 1,0) »平面PC。的法向量加二(1,0,0),设二面角A-PC-D的平面角为0,ri cI m - n I y/2 y/6贝 ij cos 0

28、= v；=.|，叶| V3 3二面角4 PC 。的余弦值为理.3(3)解：设0为线段PO上的点，Q(a,b,c)f = 2, 0<2<1, PD则(也c- 2) = (0,722,-22)，解得。=0, =伍，c = 2 22，A 2(0,5/22,2-22)» 40 = (0,0,2-24),平面玄。的法向量3 = (JI1,0),且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为专,"小2 万+ (2一2"3 '2解得4 = §或4 = 2 (舍)，.尸2_2 PD 3【点睛】本题考查线线垂直的证明，考杳二面角的余弦值的求法，考查满足线面角的

29、正弦值的两线段 比值的求法，考杳空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力, 属于中档题.18. I. + y2=l ； II.23【分析】I：根据离心率得到£ =立，由三角形面枳公式得到6c = JI，进而求出参数值，和方程; a 3II：当ABlx轴时，|A5| = JL当AB与x轴不垂直时，设直线A8的方程为 > =履+加,根据直线和圆的位置关系得到>=3传+1),由QA|cosNOA6 + 0 4'71 12tanNO£4四+得rhw+3日”，借助于韦达定理表示求解即可. 【详解】I.由题设：£ =逝, a 3两焦点

30、与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为0,故儿=应, 解得标=3,6=1椭圆C的方程为n+V=1 3.n.设人(玉，)、5(X2,K)L当ABlx轴时，|入目=不2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为=区+机=冬得3#+1）设三角形。步的高为人即圆的半径，直线和圆的切点为"点，根据几何关系得到: .座/。版+漏晶平M+京则=1明, 把y =丘+加代入椭圆方程消去y,整理得（3/ + l）x2 + 6kmx+3nr -3 = 0, 6 -6km有 X +元=，XX' =1 - 3k2+ 1 1 -3k2+ 1|的2 = (1 + k，/ - 外)2 = (1 + H)黑

31、瑞-舍一 122+1)(3+l-m2) _ 3(H + 1)(9H + 1)益一 (3k2+1)2- -(3k2+l)2'=3 +国工3 +湍”0)-嬴=4当且仅当9/=±,即k = ±正时等号成立. k-3当后=0时，pw| = JJ综上所述（网cos/OM+2立必/ =回匕=2 ,max【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的, 圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为 一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦 中点问题，弦长问题，可用

32、韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用.719. (1) bn=n (2) S“=( 1)2时 + 2 (3)( + 4)(-1广3( + 1)2厘【详解】(1)由4+1=2%+2小得”+=2+1,得a=；(2)易得=2，S =1x21 + 2x2°+ +x2,2S = 1x22 + 2x2、+ x2?-2n错位相减得S“ = 21+ 2? + + 2 一 x 2“ = 2 xnx 2,r+11-2所以其前项和5 = ( - 1) 2"1+ 2 ；(-1)”,尸 +4 + 2)2" (-1)” (? +4 + 2)(-1)",/ + + 2( +

33、 1) + )2 + 1)2"】 楫+ 1)2"|以+ 1)2/】1 1两+(+片(T)- 2/牙+1工上J2( 2) 2" (n + l)?2n+1 J2 If 1+ 3 6( 2户( + 1)22田或写成_33(+ 1)22+1n+1点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负 数的情形：(2)在写出“ SJ与" qSj的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S-qS”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.20. ( I )见解析

34、(II )见解析(III)见解析【分析】(I)先求导数，再根据加讨论导函数零点情况，最后根据导函数零点以及导函数符号变化规律确定极值，(1【)作差函数尸(x) = "ln(x+2),先利用导数研究导函数单调性,确定导函数零点，再根据导函数符号确定函数最小值，最后根据基本不等式证得结论，(HD先利用导数研究/(x)有两个零点时，其两个零点对应区间，再令，=乜，根据条件用f表 火示ln(A1A3),利用导数求其最大值，即得结论.【详解】(I)函数的定义域为(O,+8).、 11 - mx由己知可得/ (x) = _ _m=(1)当初K0时，/(x)>0,故/(x)在区间(0,+s)上单调递增；/(x)无极值.(2)当相>0时，由/(x)>0,解得0cxe工；由f(x)v0,解得所以函数,、 1/(X)在(1 上单调递增，在一,十8上单调递减./(x)的极大