湖南师大附中2021届高三月考试卷(六)数学试题(含答案解析)

1、数学试题(附中版)第2页共8页)湖南师大附中2021届高三月考试卷（六）审题人:命题人:本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分共8页时扯 120分钟满分150分.得分:第丨卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数？满足申=i（i是虚数单位），则？=ZC. _ +亍D. 2212. 设集合人=才|一1<10助才<1,力=丿|，=2：，20,2,则人0力=A. 0,2B（l,3）C.lD. （1,4）3. 有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒中杀死一个病毒的同时将自身 分裂为3个现在有一个这样

2、的细菌和110个这样的病毒，问细菌将病毒 全部杀死，至少需要A. 4秒钟B. 5秒钟C.6秒钟D. 7秒钟4. 下列选项中"是g的必要不充分条件的是A. p：a + c>b+cl,q：a>b 且B p：a>l,b>l,q：fCz）=/bQ>0,且。弄1）的图象不过第二象限C. :且D. p：a>,q：/（jr）=:logua*（fl>Ot且 °工1）在（0,+oo）上为増函数5电视机的使川寿命与显像管开关的次数有关，某品牌的电视机的显像管 开关了 10000次还能继续使用的概率是0. 80,开关了 15000次后还能继 续使用的概率

3、是0. 60.则已经开关了 10000次的电视机显像管还能继续 使用到15000次的概率是B. 0. 48D. 0. 75A. 0. 20C. 0. 606.已知A、B、C三点不共线,0为平面ABC外的任一点则“点M与点A、B、 C共面"的充分条件的是A. OM=2OA-55-OCB. OM=OA4-OB-OCC.d.而 =4玉+斗丽+4况o407.已知双曲线C帛卡= l(a>0>0)的左、右焦点分别为FJ-oO),F2(t>0)fAB是圆(x c)2 +/ =4?与C位于g轴上方的两个交点 (A在左支出在右支人且FA/FzB,则双曲线C的离心率为a.¥B

4、.呼5+/1T3+717T&已知 aVO,函数 /(工)=才+】 er+«In 若？W(l,+oo )时，/U»0 恒 成立,则实数Q的最小值为A.辰一1B. 1 eC丄D._ee二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求全部选对的得5分有选错的得0分，部分选对的 得2分.9. 下列命题正确的有A. 若方程/+;/+"一 2+3 = 0表示圆，则加的取值范围是 (8?施)U (?/2 ,+«>)B. 若圆C的半径为1 圆心在第一象限且与直线4工一3歹=0和工轴都相 切,则该圆的标准方程是G

5、2)2 + 012 = 1C. 已知点P(j'fy)在圆C/+b6工一6y+14 = 0上上的最大值为1D. 已知圆 Ci:十十)，一2才一6一1=0 和 G : J-2 + jr2 10工一12歹+45=() 圆G和圆C2的公共弦长为2/710. 下列说法正确的是A. 将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后,方差也变为原 来的a倍B. 若四条线段的长度分别是1,35,7,从中任取3条，则这3条线段能构成三角形的概率为+C. 线性相关系数厂越大两个变量的线性相关性越强;反之线性相关性 越弱；D. 设两个独立事件A和月都不发生的概率为A发生且B不发生的9 概率与B发生且A不发生的

6、概率相同,则爭件A发生的概率为寺11 在ZVIBC中角A.B.C所对的边分别为u、b、c能确定ZC为锐角的有B. XS 苗>0C. A.B均为锐角，且sin A>cos BD. sin / = 2sin C12. 在正方休ABCD-AB.QD,中,E、F、G分别为BC、CC】、BBi的中点，则A. Dj D丄 AFB. AG平面 AEFC. 异面宜线A G与EF所成角的余弦值为将D点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍选择题答题卡题号123456答案789101112得分第II卷三、填空题:本题共4小题每小题5分共20分.13. 设随机变量X的分布列为PCX=k)=a

7、(*"=1,2,3,则。的值为14. 将标号为1,2,3,4,5,6的6个小球放人3个不同的盒子中.若每个盒子 放2个，其中标号为1,2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有 种.15. 若AABC外接圆的半径为1,圆心为O. 2丽+乔 +处=0,且|丽| =AB，则茲茲等于.16. “横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”同一事物从不同角度看我们会有 不同的认识.请解决以下问题:设函数/(刃=心2 + (25+1)工一4一2 (a/WRzHO)在3,4至少有一个零点，则/ +圧的最小值为 四、解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。17. （本小題满分

8、10分）已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a 4“在以下三个条件中任选一个：(sin B sin C)2 = sin2A sin Bsin C; sinbsin =asin B；并解答以下问题：（1）若选（填序号），求ZA的值；（2）在（1）的条件下，若“=厲=加（祝0）,当厶ABC有且只有一解时, 求实数加的范围及AABC面积S的最大值.数学试题附中版）第6页（共8页）18. （本小题满分12分）已知数列心的前“项和S” = 3“2 + 8小帖”是等差数列，且如=bn+伉rM求数列九的通项公式；（a +）卄 I令°=罟疔鈿'求数列“"的前”项和T"

9、19. （本小题满分12分）如图已知直三棱柱ABC-A 5G，ZACB=90E是棱CG上动点 F 是AB 屮点,AC=BC=2,AAl=4.（1）当E是棱CG中点时求证:CF平面AEB“（2）在棱CG上是否存在点可使得二面角A-EB.-B的大小是45°?若存在，求CE的长;若不存在，请说明理由.数学试题（附中版）第6页（共8贞20. （本小题满分12分）为迎接新年，方便广大市民春节购物和游玩，某大型游乐场开展优惠活 动该游乐场的收费标准是游玩时间不超过1小时免费超过1小时的部 分每小时收费标准为40元（超过部分不足1小时的按1小时计算）.甲、 乙两人相互独立地来到该游乐场游玩，设甲、

10、乙不超过1小时离开的概 率分别为土，*; 1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为*,壬,又 知两人游玩时间都不会超过3小时.（1）求甲、乙两人所付费用相同的概率；（2设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量$求W的分布列与数学期 望 E（g）.数学试题附中版）第9页（共8页）21. （本小题满分12分）已知椭圆c过点（1,普），且与曲线2-y=|有共同的焦点.（1）求椭圆C的标准方程.（2）过椭圆的右焦点F2作直线2与椭圆C交于A、_B两点，设曲 =若入2, I.点T（20）求|亍兀十壬引的取值范围.22. （本小题满分12分）已知函数/（£ = e+,其中e是自然对数的底数.（1）设

11、存在血 口，十），使得fg <a （处+3矶）成立，求正实数a 的取值集合A ；若朋儿比较巳小与泸1的大小并证明你的结论.湖南师大附中2021届高三月考试卷（六）数学参考答案题号123456789101112答案ACBADBCDBDBDACDBCD一. 单项选择题:本题共8小题每小题5分共40分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1. A 【解析】由已知i*.z=y+-|-i.2. C【解析】由已知得 A=x| y<<3 ,B=y , A A C|E=1，3）.3E【解析】由1 + 3 + 3? + 3° + + 3”t$11OWM221得心5.5.D

12、【解析】囁严=黑=0.75.7.C【解析】连接FlB,F2A,.AAF1F2中,有cosZAFi凫=彳:丁二JIJ J = 寸在5尺F?中，有 cosZBF2Fl =笃严"=严_勢_匚 因为 F，所以 ZAFjFz + ZBF2F,=兀，即cosZAF,F2 +cosZBF2Fi =0,即疋二锣壬+崟=0,化简得=吐子虫，负值舍去.In ±8.1）【解析】f（ t）0.即屮 1 L$aln 丄,°_r - / - = e,n In -7. Aj-ln -7 恒成 _i.a$2? / 丿二、多项选择题:本题共4小题每小题5分共20分在每小题给出的选项中有多项符合题目

13、要求全部选对 的得5分有选错的得0分部分选对的得2分.9. BD【解析】对于A,圆方程可化为（工+勞）亠© 1）2 =牛_2.由于该方程表示圆故牛一2>0解得 迢（一oo 2?F）U（2血十8）故A错误；对于圆C的半径为1圆心在第一象限且与直线4才一3丿 =0和工轴都相切，：圆心的纵坐标是1设圆心坐标（si）,则=4書3,又“>0=该闻的标准方程是（工一22 + （，一1）2 = 1,故B正确；对于C,设k = 即吐一yf 则圆的标准方程为 （久一3严+。一3尸=4則圖心坐标为（3,3）.半径R=2则圆心到直线的距离d冬R,即丄莫昙 £2,即|3丘一 3|故C错

14、M2 7TTF平方得5於一18怡+5笆0,解得9-2黑泾9亠2 /H故丄的最大值是匕罕里5ox0误：对于D.两圓方程相减得圓G和圆Cz的公共弦所在直线方程为：8工+6，一46=0即4工+3一23 = 0圆心C2（5,6）到直线4/+3，一23=0的距离d =过勺丁?彳6二鮎=3. A圆G和圆G的公共弦长AB =/16+92 Vrl-d2 =2 /16779=277故 D 正确.10. BD【解析】设一组数据为X.则每个数据都乘以同一个非家常数&后可得y=dX,则D(Y) = D(aX) = a2D(X).所以方差变为原來的a2倍故A不正诙从中任取3条有4种取法其中能构成三角形的只有3,

15、5.7 种故这3条线段能构成三角形的概率为+，故B正确.由|川1两个变量的线性相关性越强 |厂| 0两个变至的线性相关性越弱故C不正确报据題意可得P(A) P(B)=.P(A) - P(B)=P(A) |(1工)(1/)=+】_工_丿十心=¥，-1P(B)f设 F(A)=,P(B)=* 则、9 得:9 即工_2卄=寺，解1(1-r) y=(ly) x. x=y,得=4或*(舍九所以事件A发生的概率为寻故D正确.11. ACD【解析】对于 A. “2+/>疋,A cos C=a ' .->0. ：._C 为锐角故 A 正确；对于 B. VAC CBlab>0&

16、gt;/.|ZC|CB|cos (it-C)>0, .-cos C<0 AZC 为钝角故 E 错误；对于 CJM、B 均为锐角且 sin A>cos B, / sin AAcos B=sin(号一B) 'A号一B.可得 A4B>号.则ZC 为锐角故 C 正确；对于 D. / sin A = 2sin C由正弦定理得m = 2c “>“则A>C.ZC为锐角故D正确.12. BCD【解析】A选项，由DD|CG 即CQ与AF并不垂直，所以OD丄AF错谋 B选项，如图1,延长FE、GB交于G',连接八G、GF,有GF/BE,又E、F、G分别为EC、C

17、G、BB】的中点，所以GG' = BB】= AA，而 AA GG.即 A,G/AG 又因为面fl 面 AEF = At/,且 AG(T 面 AEF.A.G U 面ABB.A所以AG平面AEF,故正确.C选项取BQ 中点H,连接GH,由題噫:知GH与EF平行且相 等所以异面直线AG与EF所成角的平面角为ZA】GH若正方体棱长为2则有GH=A】G=AiH=75 即在.%GII中有cos ZA)故正确.D选项，如田2.若设G到平而AEF的距离、C到平面AEF 的距离分别为力 1.hz t 则由 Va (tff = AB Scf = % 4j?f = "|儿 且 Va-cft =_j

18、AB S孙=Vc-,4FF =吉 h-2 SdiEF ,知钞=峯亜*=2,故正确.图2数学参考答案(附中版)一 3三、填空题:本题共4小题每小题5分，共20分所以根据分布列的性质有13磊 【解析】因为随机变莹X的分布列为P(X = k)=a )=“><另=1,所以 a = y|,a*+a(*) a (*) =1,所以 a(*+*+寺14. 18【解析】先特标号为1.2的小球放入盒子有3种情况;再将剩下的4个球平均放入剩下的2个盒子中. 共有0=6种情况所以不同的方法共有3X6=18(种).15.3【解析】由題意.AB+AC=-2OA所以O是边EC的中点又因为O是外接圖圆 心所以BC

19、是外接圖直径.ZA=90°BC=2（M=2如图所示因为（）B=OA=AB.所 以 ZB= 60 所以 Z C= 90° - ZB=30 CA=CB sin 60°=代.所以苗 gB=/3 2 cos 3O'=31丁一2|16.計石【解析】把等式看成关于aj）的直线方程：（X2 1） + 2xb+2 = 0,由于直线上一点（心Z0到原点的距离大于等于原点到直线的距离，即丿产F庐鼻兀芒岸祐币，所以圧十空鼻（存手）=g "2+呂在3.4是减函数2+事匕一2+仝万£1+5；即孚总一2+吕 （乂_2+忌+4）工一也Z工一匕-工乙金故f .汙需理“

20、备=_島时取等号故的最小值为需 （乂一2+口 + 4 丿四、解答题:本题共6小题.共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，17.【解析】（1若选今由已知得sin2B+ sin2C sin2 A=sin Bsin G故由正弦定理得Zr +r -a2 =bc. 由余弦定理得cos人=逍产一丄 因为 0°<A<180所以 A=601若选.由二倍角公式cos ¥ = 1 2sin?扌=号'cos A=2cosz 亭1=*若选由題设及正弦定理得sin Bsin y=sin Asin B.因为 sin BO 所以 sin ”寸。=sin A.由 A+B4-

21、C=180°,可得 sin "扌C=cos 今，故 cos 今= 2sin -cos 今.AA 1因为cos号工0故sin y=y，因此A=60（2）由已知当ZVWC有且只有一解时.?sin y =屈或0O怎代 w6 （0厢U 2 当”7=2吋ABC为直角三角形,S=* 1 “空=噜； 当OVm©时“=打人=专由余弦定理可得 a2 =1/ 4-r2 2/tccos A2bcbc=lK加3当且仅当b=c时等号成立.三角形面积为S=*&sinA£ 翠ABC面积的最大值3=. 10分1&【解析】由題意知当 心2时©=SnSi =6卄5

22、当n= 吋.q】=Si=11,所以给=6”+5（1 =仇十仇（11 = 2A）十设数列%的公盖为d.由即丨 az =bz +b< >' 17=2J） +3",数学多考答案（附中版）一 3可解得bi =4=3所以仇=3”十1.(2)由(1)知心=辔¥芥=3(卄1)2"知.又 T“=c+c - G得 K = 3X2X22+3X2:,+-+(n+l)X2wt,27； = 3X2X23+3X2i + + S+lX2”+21两式作差得一T,=3Xl2X22-222n,l-(»+l)X2w,2=3X 4十"：二,)一5十 1)X2卄?=

23、一3”2“+2,所以乙=3“严 12分19【解析】(1)取A3】的中点G联结EG.FG.VF.G分别是AB、AB 中点FGBS又FGECFG=EC四边形FGEC是平行四边形.CF/EG. VCF(平面AEB】 .EGU平面AEB】5分CF平而 AEB.(2)以C为坐标原点射线CACB,CG为hqy轴正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.则 C(0,0,0),A<2,0,0),Bt(0.2.4). 设 E(0,0,?n) T平面 AEBX 的法向壘 ” =mzymz4z2则就 =(一22,4),花 =(一2.0宀) 且両丄仏瓦&丄心于是AB| = 2乂+2，+4之=0A

24、E n=2a:十03H-u：=0.取 z=2则刃4,2),三校柱ABCAbG 是直棱柱丄平(& ABC.又 VACC平面 ABC：,:.AC±BB. VZACB=90°,:.AC±BC.V BBi A BC=B.:. AC丄平面ECBB,应是平面EBB i的法向量, 茲=(200),二面角A-EBx-B的大小是45°.2m则 cos 45 _ 丽 十(2X /亦+ 5-42+22解得m数学参考答案(附中版)一 412分在桂CCi上存在点E使得二面角A-EBy-B的大小是45°此时CE=y.20.【解析】(1若两人所付费用相同，则相同的费

25、用可能为0元,40元.80元.两人都付0元的概率为P】=+x*=占;两人都付40元的概率为戶2=*乂彳=舟;两人都付 80 元的概率为 P3 = (l-y-y)x(l|)=-X-=-；111 r：则两人所付费用相同的概率为卩=卩|+匕+厲=击+才+击=刍 4分(2)由題意得g的所有可能取值为0,40,80,120,160.p(e=o)=x|=;P(e=40)=Ax-f+|x4-4Pdo)=*x*+今 x 寻备 P(120)=|x|+-i-xf=; p(F=160=*X*=£.g的分布列为£04080120160P124312102431212412分E（W）=OX 占+40

26、X*+80X 备+120x+ + 160x£=8021.【解析】（1）设椭圆的焦距为2由題意，得c=l,设椭圖C的标准方程为夕+召= l（a>”>0）,1又 a2=/r+E解得夕=1或沪=一令（舍去， 所以 a2=/ + l = 2.r2故椭iac的标准方程为y+y=i.（2由題点设直线/的方程为工=1$+1将宜线2的方程代入与+y = 1中,得"十2）2 + 2力一 1 = 0设人（工】），"（工2识），刃，2工0,可禅）】+乂 =话靠，沖"治将上面两式式平方除以式得斜寺+ Q-羅因为帚=入f759所以也=兀且久<0)2 则也+匹+2=姥斗+2=绘， yz ym +2 A计+22=>*人+2£0=> £0,所以 0£川#.因为TA=(xi 2.y )/JB=(j722, v?)<所以 TAFTB= (jCi +去+y?).又 V+乂 = 一 -:笃，所以 才 1 +x24 = M(yi+y2)2=故 | TA+TO12 =(乃4)2 + (yi +旳)2数学参考答案（附中版）一5=16("*十 1 )2 =