泛函距离空间读书报告

1、距离空间读书报告一 距离空间基本概念定义1 设X是任意空集，对x中任意两点x，y有一实数与之对应且满足： (1) 且d(x,y)=0,当且仅当x=y； (2)d(x,y)=d(y,x)（对称性）； (3)d(x,y)d(x,z)+d(z,y)(三角形不等式).称d(x,y)为X中的一个距离，定义了距离d的集X称为一个距离空间,记为（X,d）,在不引起混乱的情形下简记为X.定义2 设是距离空间（X,d）中的一个点列,是X中的一点,如果当时,则称当时,以为极限,或当时,收敛于.记为 () 有关极限的两个简单性质:设是距离空间（X,d）中的收敛点列,则(1)的极限是唯一的;(2)如果以为极限,那么的

2、任意子列必收敛且以为极限.下面有几个距离空间的例子.和在距离空间中收敛性的涵意.例1 空间X是n元实数组全体,定义,其中,.通过验证d满足距离的三条公理.所以(X,d)是一个距离空间。以后把这个空间简记为.在空间中,易见空间的收敛就是按坐标收敛.例2 空间C考虑区间上所有的连续函数集，设x(t),y(t)是上任意两个连续函数，定义，通过验证d满足距离的三条公理.所以上的连续函数全体，赋以上述距离是一个距离空间，记为C.C的收敛是函数列在上的一致收敛.例3 离散空间D设X是任意非空集,在X中定义d如下:,不难验证d是一个距离,从而是一个距离空间,称这个空间为离散空间,用D的表示.在离散空间D中,

3、收敛于当且仅当,从某一下标开始,为常驻列.二 距离空间中的点集1 开集与闭集点的邻域: 点为 E的内点: 记为 E的内部（内点全体） 点为 E的外点: 点为 E的边界点: 记为 E的边界（边界点全体） 定义1 若集合E的每一个点都E的内点，则称E为开集.X是距离空间，X中的开集有以下几点性质: （1）空集和全空间X为开集； （2）有限多个开集之交为开集（无穷多个开集的交集未必是开集）； （3）任意多个开集之并为开集. 点为 E的接触点： 点为 E的聚点： 记为 E的闭包（接触点的全体）注意：聚点、边界点不一定属于E，内点、孤立点一定属于E. 定义2 设A是距离空间X中的集,如果A=,则称A为闭

4、集.任一的闭包是闭集,它是包含E的最小闭集.任一开集的余集是闭集,任一闭集的余集是开集.X是距离空间，X中的闭集有以下几点性质: （1）空集和全空间X为闭集； （2）有限多个闭集之并为闭集（无穷多个闭集的并集未必是闭集）； （3）任意多个闭集之交为闭集. 2 稠密子集 可分距离空间 设A,B是距离空间X中的子集,如果,称B在A中稠密.事实上,设A、B 是直线上任意两个集，若B的任意一点x 的任意领域中总含有A的点，则称A在B中稠密. 当时，称A是直线上的稠密集.定义3 设X是距离空间,如果X中存在一个稠密可数子集,则称X是可分的. 是可分的,C可分.例 空间不可分考虑有界实数列之全体,设是两个

5、有界实数列,定义.上述距离空间记为,是不可分的.三 完备距离空间定义1 设X是距离空间，是X中的点列,如果对任意,存在自然数N,当m,n>N时,称是一个Cauchy列.如果X中任意Cauchy列都收敛,称距离空间X是完备的.由以上定义可以得到一下结论:(1) 距离空间中任一收敛点列是Cauchy列;(2) 完备距离空间的任一闭子空间也是完备的.在具体空间中 是完备的. C是完备的.事实上,是C中任一Cauchy列,则任意,存在自然数N,当m,n>N时,由此,函数列一致收敛,并且它的极限函数x(t)是上的连续函数,即它是C中元.在上面不等式中令,则,有,这表明(). 是完备的.有理数

6、集Q按距离d(x,y)=|x-y|是距离空间,但不完备.事实上，在有理数集Q中，有理数列收敛, 因而是Cauchy列, 但其极限为，故Q不完备.注 证明一个距离空间X不完备，通常有两种方法： 1) 构造X中的一个Cauchy列，然后说明该Cauchy列在X中无极限； 2) 直接构造X中的一个极限函数不属于X的收敛点列，该点列一定是X中的Cauchy列.四 压缩映射原理 设（X,d）是完备距离空间,T:,并且对任意,不等式 成立,其中,则存在唯一的.压缩映射原理的应用例题 考虑问题 其中, 在平面上连续并且对变量x满足Lipschitz条件:,则问题在的某个邻域中有唯一解.选取,考虑空间,在这个

7、空间上定义,则T是空间到自身的映射.此外,由于 由于且空间完备,由压缩映射原理立刻得结果.五 拓扑空间及紧空间基本概念 定义1 设X是任一集,t是X的子集构成的集族,且满足条件: (1)集X与空集属于t; (2)t中任意个集的并集属于t; (3)t中任意又穷个集的交集属于t.则称t是X上的一个拓扑,集X上定义了拓扑t,称它是一个拓扑空间,记为(X,t).在不引起混淆的情况下简记为X.凡属于t中的集称为开集.注意 :开集在连续映射下的像不一定是开集.如果把X中的任一开集映射为Y中的开集,则称f是开映射.定义2 设X是拓扑空间，如果，其中，对于每一,是开集，则称，是X的一个开覆盖.如果X的任意开覆盖中必存在又穷子覆盖，即存在,使得,则称X是紧的.注意:设A是X的子集,如果A作为X的子空间是紧的,则称A是