高中数学必修5解不等式习题精选精讲----均值定理的拓广

1、均值定理的拓广在高中数学教材中，均值不等式几乎涉及高中数学的所有章节，且在每年的高考题中常考常新，其题型主要以大小判断、求最值、求参数的取值范围以及最值时刻等几个方面出现，在高考的考试说明中也明确地要求学生能熟练地掌握均值不等式的适用条件及适用情境。高中教材中对均值定理的叙述是：（1）定理：如果a、b是正数，那么（当且仅当a=b时取“”号）（2）定理：如果a、b、c是正数，那么（当且仅当a=b=c时取“”号）我们称（）为a、b（a、b、c）的算术平均数，称（）为a、b(a、b、c)的几何平均数，因而这一定理又可叙述为“两个（或三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。”事实上，由数学归纳法

2、可把这一定理拓广为“n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数” 。用均值不等式求函数的最大（小）值是高中数学的一个重点，在运用均值定理求函数的最大（小）值时，往往需要掌握“凑”（凑项、凑因子）的技巧，其目的（一）是创造一个应用不等式的情境；（二）是使等号成立的条件。例1边长为的三角形，其面积等于，而外接圆半径为1，若，则S与的大小关系是（ ）A. B. C. D.不确定（1986年全国高中数学联赛题）解：在三角形中，由正弦定理和面积公式可得，又，不可能成立故上式取不到等号，即，故选C例2若正数满足，则的取值范围是 （1999年全国高考题第15题）解：，（舍去）或 然而有些题由于解析式自然，从

3、形态上看根本凑不出定值，或虽凑出定值而其等号又不能成立，对于这样的题目，学生往往为很难用甚至不能用均值定理而感到束手无策。这时就常需对函数式作“添、裂、配、凑”变形，使其完全满足均值定理要求的“正、定、等”条件后方可用之，故对变形能力的要求较高。但若把均值定理拓广为下述“含参均值定理”，那么便可避免复杂变形的情况。含参均值定理的叙述是：如果a,b,c,参数，那么（1）（当且仅当时取“”号）；（2）（当且仅当时取“”号）；（3）（当且仅当时取“”号）。正参数由“值定，可等”确定。这样可使原来不能同时成立的条件得到满足，从而求出最值。例1求函数的最大值。解：设则当且仅当即时取等号，此时。若所含因子

4、仅幂次不同，则不需增加参数的个数。例2求的最大值。解：设则当且仅当即时取等号，此时。类似地可求得函数的最大值为。用上面的方法还可解决某些如不同号，一类函数的最值问题。例3求函数的最小值。解：设，则当且仅当即时取等号，此时可求得。依照上例还可拓广为求某些形如与且的函数的最值问题。当函数的解析式变量多、项数多、系数无一定规律时，如果直接用均值定理求其最大（小）值一般较为困难，此时便可通过“设参、定参”，并把表达式进行适当的化分或重组，创设使用含参均值定量的情景，然后利用含参均值定理加以解决。例4已知，求的最小值。解：设(1)(2)由(1)(2)得，为使该式左端作为目标函数的分子，须令，解得，于是有

5、，故，即的最小值为。例5（1997年全国高考题第22题）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过C千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。(1)把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车以多大速度行驶？解：（1）依题意可知：汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为：，故所求函数及其定义域为：。(2)若，（当且仅当时取等号）时，。若，设，当且仅当即时两处等号同时成立，时，取得最小值，此时。

6、综上，为使全程运输成本最小，当时，行驶速度为千米/小时；当时，行驶速度为千米/时。由以上各处例子可以看出，在均值定理中适当地增加参数，使其拓广为含参均值定理，可使条件与结论间的联系得以加强，使均值定理的应用更加如虎添翼，更简捷明快地解决某些难度较大的函数最值问题。解简单的不等式1解不等式：(x2x+1)(x+1)(x4)(6x)>0解：对于任何实数x，x2x+1>0恒成立，所以原不等式等价于：(x+1)(x4)(6x)>0 (x+1)(x4)(x6)<0所以原不等式的解为：x<1或4<x<62 解不等式：0解：原不等式即0 它相当于 (2x+1)(x-

7、3)(4x+3)(x-4)0x 或3x43 解不等式：|x5|2x+3|<1解法一：当x时，5x+2x+3<1 x<7 当<x<5时， 5x2x3<1 此时不等式的解为： 当x5时，x52x3<1, x>9, x5 由可知原不等式的解集为： 即x<7或x>。解法二：原不等式化为:|x5|<|2x+3|+1两边平方得：x210x+25<4x2+12x+10+2|2x+3|即：2|2x+3|>3x222x+154x+6>3x222x+15 3x+26x9>0 x<9或x>或4x+6<3x2+

8、22x15 x2+6x7>0 x<7或x>1原不等式的解集为： 即：x<7或x>4 已知不等式与不等式同解，解不等式。解：， 的解为 中 解 由题意 代入所求： 5 (1998年全国高考)设ab，解关于x的不等式 a2x+b2(1-x)ax+b(1-x)2.解析 将原不等式化为 (a2-b2)x-b2(a-b)2x2+2(a-b)bx+b2， 移项，整理后得 (a-b)2(x2-x)0， ab 即(a-b)2>0， x2-x0， 即 x(x-1)0. 解此不等式，得解集 x|0x1.6 (1995年全国高考) 的解集是_.解析 这是一个指数不等式，基本解法是

9、化为同底的指数形式，然后利用指数函数的单调性转化为整式不等式. 原不等式即，也就是x2-2x-8<0，解得-2<x<4.故原不等式的解集为x| -2<x<4.7 (北京2003年春招)解不等式：解析 这是一个对数不等式，基本解法是化为同底的对数形式，然后利用对数函数的单调性转化为整式不等式.原不等式变形为.所以，原不等式.故原不等式的解集为. 8 解不等式解析 这是个无理不等式，基本解法是去根号化为整式不等式，怎样去根号？一般有三种情况，一是；二是；三是.原不等式等价于() 或（） 解()得 x ()得x 故原不等式的解集为xx.9 已知f(x)=,则不等式x+(

10、x+2)·f(x+2)5的解集是_. 解析 这是个分段函数型不等式，基本解法是转化为若干个不等式组.原不等式等价于或，解得或，故原不等式的解集为，填.解含参不等式例1 解不等式：，aR分析：这是基本的一元二次不等式，左边x2(a+1)x+a可分解为(xa)(x1)，下面关键的就是要比较a 与1的大小关系，因此以a与1的大小为分类的标准，分三种情形讨论就可以了。解：(xa)(x1)>0（1） 当a>1时，解为x<1或x>a（2） 当a=1时，解为xR且x1（3） 当a<1时，解为x<a或x>1 例2. 解： 例3 若a0,解不等式x+2a(+1

11、).解析 怎样对参数a进行分类讨论？必须先对原不等式等价变形：x+2a(+1)<0x(x+2)(xa)0. 于是得到必须将a与-2,0进行比较分类：当a0时，解集为x|x2或0xa 当2a0时，解集为x|x2或ax0 当a=2时，解集为x|x0且x2 当a2时，解集为x|xa或2x0  例4 解关于x的不等式：(m+1)x24x+10 (mR)分析：此题是含参数m的不等式，首先应根据m+1是否取0确定原不等式是一元一次不等式还是一元二次不等式；若m+1不等于零，还要按m+1的值为正或负及关于x的二次三项式的判别式的符号为分类标准对m取一切实数的情形进行分类，求出原不等式的解.解

12、：当m=1时，4x+10 x当m1时，=164(m+1)=4(3m),当m3时，方程(m+1)x24x+1=0才有解下面以m与1和3的大小关系作为分类标准来讨论：当m<1时， m+1<0，且<此时原不等式的解集为：(, ,+)当1<m<3时，m+1>0且此时原不等式的解集为：,当m=3时，解集为： 当m>3时，解集为空集.例5. 解：原不等式等价于 例6 (2000年全国高考题)设函数，其中.（）解不等式1； (2)略.解析 不等式即，由此得，即，其中常数.所以，原不等式等价于即 所以，当时，所给不等式的解集为；当时，所给不等式的解集为. 解抽象函数型

13、不等式所谓抽象函数型不等式，即不等式与一个抽象函数有关，同时已知抽象函数的定义域、奇偶性或单调性等. 这一类不等式的解法是先根据单调性去掉函数符号，转化为一般不等式来解，但一定要注意定义域.例15 设f(x)是定义域为(-，0)(0，+)的奇函数，且在(0，+)上为增函数. 若f(1)=0，解关于x的不等式 floga(1-x2)+1>0，其中a>1.解析 由于f(x)是奇函数，且在(0，+)上为增函数，所以它在(-，0)上也为增函数.又由于f(1)=f(-1)=0. 于是原不等式等价于或由得x2<0，所以解集为；由解得. 故原不等式的解集为x|或.例16 已知偶函数f(x)

14、在上是增函数，求解不等式f(2x+5)<f(x2+2).解析 由题意知f(x)在上单调递增，在上单调递减. 由偶函数定义知不等式f(2x+5)<f(x2+2)即f(|2x+5|)<f(|x2+2|)，也就是|2x+5|<|x2+2|，等价于或解(1)得或x>3；解(2)得. 故原不等式的解集为.例17 已知函数f(x)是定义在上的函数，且f(1)=1，f(-x)=-f(x)，若a、b，a+b0，有. 试解不等式.解析 先要由已知条件判断函数f(x)的单调性，因为当x时，f(1)=1，f(-x)=-f(x)，所以f(x)在上是奇函数，且令中b为-b，得，从而知函数f

15、(x)在上为增函数，于是，故原不等式的解集为.求参数的值或范围已知含参不等式的解集，求参数的值或范围也是高考中不等式问题中的一种常见题型. 基本解法是先将参数看成常数，按常规方法来解不等式，然后再根据所给定的解集求出参数的值或范围.例19)若不等式的解集为（1，2），则实数a等于（ ）.A8 B2 C4 D8解析 原不等式两边平方后可化为a2x2+4ax-32<0，由题意知-1和2是方程a2x2+4ax-32=0的两个根，所以-1+2=，且-2=，解之得a=-4，选C.例20 不等式的解集为，则a=_.解析 ，因为解集为，所以1-a>0且，解得a=. 例6 不等式的解为，求、解：

16、，恒为正 得依题意的根为，1 不等式恒成立问题容易证明如下结论：若函数在D上存在离大值f(x)(或最小值f(x)，则对一切xD不等式f(x)A（或f(x)B）恒成立当且仅当f(x)A（或f(x)B）。应用这一结论处理不等式恒成立问题很方便，现举例说明。 例1求使不等式sinxacosx a1cosx对一切xR恒成立的负数a 的取值范围。 解：原不等即cosx（1a）cosxa0 (*)令cosx=t，由xR知t-1，1，于是(*)对一切xR恒成立当且仅当f(t)=t（1a）a0 (*)对一切t-1，1恒成立，其充要条件f(t)在-1，1上的最大值f(t)0,而f(t)= f(1)或 f(-1)

17、，因此(*)对一切t-1，1恒成立当且a-2 故所求的a的范围为(-,-2.例2 定义在R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有恒成立，求实数m的取值范围.分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于0在给定区间a，b上恒成立问题可以转化成为在a，b上的最小值问题，若中含有参数，则要求对参数进行讨论。【解析】由得到：t=mtg(t)o·1图1因为为奇函数，故有恒成立，又因为为R减函数，从而有对恒成立t=mtg(t)o·1图2设，则对于恒成立，在设函数,对称轴为.当时，即，又t=mtg(t)o·1图3(如图1)当，即时,即,又,(如图2)当时，恒成立.(如图3)故由可知：.例3. 若不等式2x-1>m(x2-1)对满足-2m2的所有m都成立，求x的取值范围。 分析：从表面上看，这是一个关于x的一元二次不等式，实质上可看作是