弯矩剪力与荷载及关系

1、弯矩,剪力与分布荷载集度问的关系直梁的受力如图2T1所示,以梁的左端为坐标原点,设x轴指向右为正,外)以向上 为正.今在Q的作用区域内取出一微段"x,设微段左侧面上的剪力、弯矩分别为.、 峋),那么右侧面上内力相应的增加一增量,分别为&)+铮)及gig)由于办很小,微段上的荷载集度可视为均布.根据平衡方程£v = 0如(Q(x)HQ)I M)心=0可得(2-10)dg ,、=奶)dxVmc =0W(x)十 d3)M3)以珈r-知汕 =0-L略去二阶无穷小后,可得26衅)=照)./ (2-11)dx从式(2-10)、式(2-11)又可得. (2-12)以上三式称为平面

2、荷载作用下的平衡微分方程,它们所代表的微分关 系在直梁中是普遍存在的.假设将坐标原点取在梁的右端,X轴以向左为正, 那么式(2-10)、式(2-11)的右端应各加一负号.但式(2-12)那么不因坐标指向的改动而影响其正负 号.从数学分析中可知,式(2-10)和式(2-11)的几何意义分别是：剪力 图上茱点处切线的斜率等于该点处荷载集度的大小；弯矩图上某点处的 切线的斜率等于该点处剪力的大小.根据这些关系及式(2-12),可得出在常见情况下,梁上荷载、剪力图、 弯矩图三者间的一些关系：(1) 如梁上某一段受向下的均布荷载作用,即q(时为负值常数时,根据 式(2-10)可知,剪力图为一向右下方倾斜

3、的直线.当规定弯矩图纵坐 标以向下为正时,由式(2-11)可知,梁的弯矩图为一下凸的二次抛物线. 例题2-7中的剪力图、弯矩图即是如此.(2) 假设梁上某一段无荷载作用,即外)=0.仿照上述分析可知,其剪 力图必为一水平直线(剪之Q为常数).而弯矩图那么必为一倾斜直线,当&>0时,弯矩图为一向右下方倾斜的直线(见例题2-6图所示).反之,弯 矩图为一向右上方倾斜的直线.也-0(3) 对应于dx 的横截面,该截面上弯矩为极大值或极 小值.但需指出,对全梁而言,极值弯矩不一定是最大值弯矩.最大 弯矩可能发生在Q8=0的截面上,也可能不在此截面上,而在集中力(包 括支反力)或集中力偶作

4、用处的横截面上.现将梁的弯矩、剪力、荷载 间关系及前面几个例题中所见到的Q、M图特征整理得表2-1 o利用荷载集度、剪力、弯矩三者间的微分关系,可以不必写出剪力和弯矩方程,而方 便地绘制梁的豹力图和弯矩图.我们称这种作图方法为疆渣.下面举例说明其应用. 例题2.8 一外伸梁受均布荷载冬和集中力冬.的作用,试用简易法做此梁的剪力图和弯 矩图.例鹿2-8明解:利用平衡方程=.求得由于此梁分召和3C两段,段作用有向下的均布荷载,故剪力图是向右下方倾 斜的直线段上无荷载,所以剪力图是水平直线.因此只要知道几个特殊截面的剪力 值就可画出剪力图.根据以上几个特殊截面上的岁力值,画出剪力图如例题2.8图(b)所示.由图(b)可知,Q=0 的横截面位置距离点为3".M = £329=0)Afb 二qa2= 0盘召段梁上有向下的均布荷载g作用,该段弯矩图是下凸的二次抛物线.在R=o的 截面处,弯矩有极值,3C段上无荷载作用,弯矩图为一根斜直线,该段由于2<0, 所以是向右上方倾斜的直线成只要知道了以下几个截面上的弯矩值,就可以画出弯矩