不等式恒成立问题的大全17

1、不等式恒成立问题“含参不等式包成立问题把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结 合起来,其以覆盖知识点多,综合性强,解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命 题者的宵睐.另一方面,在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程、“化归与转化、“数形结合、“分类讨论等数学思想对锻炼学生的综合解题水平, 培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用.本文就结合实例谈谈这类问 题的一般求解策略、判别式法假设所求问题可转化为二次不等式,那么可考虑应用判别式法解题.一般地,对丁二次函数 f(x) ax2 bx c(a1) f (x) 0对x R包成立2) f(x) 0对x R包成立例1.函数y lgx2 (a 1)x0

2、,x R),有a 0；0a 0.0a2的定义域为R,求实数a的取值范围解：由题设可将问题转化为不等式x2 (a 1)x a2 0对x R包成立,即有(a 1)2 4a2 0解得 a 1 或a - o3所以实数a的取值范围为(,1)(】,).3假设二次不等式中x的取值范围有限制,那么可利用根的分布解决问题.例2.设f (x) x2 2mx 2,当x 1,)时,f(x) m包成立,求实数m的 取值范围.解：设F(x) x2 2mx 2 m ,那么当x 1,)时,F(x) 0包成立4(m 1)(m 2) 0 即2 m 1时,F(x) 0显然成立;.时,如图,F(x) 0包成立的充要条件为:2.0F(

3、 1) 0 解得-12综上可得实数m的取值范围为3,1)、最值法将不等式包成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型 有：1) f(x) a 包成立 a f(x)min 2) f(x) a 包成立 a f (x)max321 .两个函数f(x) 8x 16x k, g(x) 2x 5x 4x ,其中k为实效.(1)假设对任意的x3,3,都有f(x) g(x)成立,求k的取值范围； 假设对任意的Xi、X23,3,都有f(Xi) g(X2),求k的取值范围.(3)假设对丁任意Xi3,3 ,总存在Xo3,3使得g(Xo) f(x)成立,求k的取值范围.【分析及解】(1)令 F(x)g(x

4、) f (x) 2x3 3x212x k,问题转化为F(x) 0在X3,3上包成立,即F(x)min .即可. F'(x) 6x26x12 6(x2X 2),由 F'(x) 0,得X2或x 1. F( 3) k45, F(3) k 9,F( 1) k 7, F(2) k20,- F(x)min k45,由k 45i 0,解得 k 45. 由题意可知当X3,3时,都有f(x)maxg(x)min.h'一 一一 _一 _一由 f (x)16x160得 X1.f( 3)24 k, f ( 1)8 k,f(3)120 k , f ( X)maxk 120 .由 g'(x

5、)6x2 10x 40得x1或X2,3 g( 3)21,g(3)111 ,g( 1)1,2、281, g()327- g(x)min21.那么 120 k21, 解得k 141.(3)假设对丁任意X13,3 ,总存在Xo3,3使得g(Xo) f(x)成立,等价丁 f x的值域是g x的值域的子集,由 可知, f(x) 8x2 16x k在 3,3的值域为 k 8, k 120,g(x) 2x3 5x2 4x在 3,3 的值域为 21,111 ,丁是,k 8, k 12021,11121,解得9 k 13 111.3,3时,f(x) g(x)k 12040x ,当x322x 4xf (x) 7x

6、2 28x a, g(x)求实数a的取值范围.2x33,3包成立1或x 245 a,F(3) 9 a,2.包成立,解：设 F(x) f (x) g(x)那么由题可知令 F'(x)而 F( 1),'F (x) max3x2 12xc,F(x) 0对任意x6x2 6x 12 0 ,得 x 7a, F (2) 20 a, F( 3) 45 a 0 a 45即实数a的取值范围为45,3. 函数f(x) x,x 1,),假设对任意x 1,), f(x) 0包成立,求x实数a的取值范围.解：假设对任意x 1,) , f(x) 0包成立,即对 x 1,) , f(x)-| .包成立,考虑到不

7、等式的分母x 1,),只需x2 2x a 0在x 1,)时包成立而得 而抛物线g(x)x22x a在x 1,)的最小值gmin(x) g(1) 3 a 0得a 3注：此题还可将f (x)变形为f(x) x - 2,讨论其单调性从而求出f(x)最小x4. f (x) x2 ax 3 a,假设x 2,2, f (x) 2包成立,求a的取值范围.f(x)在闭区间上的最值问题,只要对丁任意x 2,2, f (x)min 2.假设xx 2,2, f(x)mn2a 22f (x) minf( 2)或2-222 或-22f(x)mnf( |) 3 a24f(X)min5,2 2、. 2.解析 此题可以化归为

8、求函数2,2, f(x) 27 3a 2,即af (2) 7 a 2的取值范围为值.、别离变量法这种方法本质也还是求最值,假设所给的不等式能通过包等变形使参数与主元别离丁不等式两端,从而问 题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围 但它思路更活晰,操作性更强.一般地有：f (x)max f (x)max1) f(x) g(a)(a为参数)包成立 g(a)2) f(x) g(a)(a为参数)包成立 g(a)实际上,上题就可利用此法解决.)时包成立,只要2x略解：x2 2x a 0在 x 1,成立.而易求得二次函数h(x)a ig x -xa x2 2x 在 x 1,)时包2x在1,)上的最大值

9、为 3,所以a 3.1、函数f x假设对任意x 2, 包有f x 0 ,试确定a的取值范围.解：根据题意得:即:a x2 3x 在 xa 2 x2,2,上包成立,3x,那么 f x上包成立,23x22时,2、xx max,1时,2所以a 2不等式1 2x a解：令2x,1 t 0,2a2 4x 0包成立,求a的取值范围.所以原不等式可化为：a2 a牛1 ,要使上式在0,2上包成立,只须求出t 1 ,.一,一彳在t 0,2上的最小值即可.tmin f111八11Q-,t24t22313aaa42221 t.4x x2 ,x3.函数f (x) 围.ax(0,4时f(x) 0包成立,求实数a的取值范

10、解：将问题转化为aJ 4x x2 .对x (0,4包成立.x令 g(x)由 g(x)上坐一,贝U ag(x)minx.4x x24 1可知g(x)在(0,4上为减函数,故 xx g(x) min g(4)0 a 0即a的取值范围为(,0).注：别离参数后,方向明确,思路活晰能使问题顺利得到解决.例4函数f (x) | x2 4x5|,假设在区间1,5上,y kx 3k的图象位丁函数f(x )的上方,求k的取值范围.此题等价丁一 个不等式包成立问题,即对丁x 1,5, kx3k x2 4x 5包成立,式子中有两个变量,可以通过变量别离化归为,2求函数的最值问题.对丁 x 1,5, kx 3kx2

11、4x 5包成立 k 一 对丁x 1,5 成立,令y彳坚x 1,5,设 x 3 t,t 2,8,那么y (t 16) 10,t 2,8,当t 4,即 x=1 时 ymax t2, k的取值范围是k>2.变式假设此题中将y kx 3k改为yk(x3)2,其余条件不变,那么也可以用变量别离法解.由题意得,对于 x 1,5, k(x 3)24x5包成立2, x 4x k (x2 5对丁3)x 1,5包、,2 成立,令 y一竺2(x 3)5 -,x1,5,设x 3 t,t2,816 10 .y T 14 5当-5,即xt 445 29(),t 2,8, t4161时,ymax196, k的取值范围

12、是噂.4. m, n 1,1, mf(x)是定义在-1,1上n .时 f(m) f(n) 0,假设 f(x) t2 m n的奇函数,且2at 1对丁所有的x f(1)=1,1,1,a 1,1包成立,求实数t的取值范围.解析 此题不等式中有三个变量,因此可以通过消元转化的策略,先消去一个变量,容易证实f(x)是定义在-1,1上的增函数,故f(x)在-1,1上的最大值为f(1)=1,贝U f(x) t2 2at 1 对丁所有的 x 1,1,a 1,1包成立1 t2 2at 1 对丁所有的a 1,1的成立,即2ta t2.对丁所有的a 1,1包成立,令g(a) 2ta t2 ,只要g( 1)0 t

13、独t 2或t 0 . g(1) 0四、变换主元法处理含参不等式包成立的某些问题时,假设能适时的把主元变量和参数变量 进行“换位思考,往往会使问题降次、简化.例1 对丁任意的a -1,1,函数f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0包成立,求X的取值范围.解析 此题按常规思路是分a=0时f(x)是一次函数,a冬0时是二次函数两种情况讨论,不容易求x的取值范围.因此,我们不能总是把 x看成是变量,把a看成常参数,我们可以通过变量转换,把a看成变量,x看成常参数,这就转化一次函数问题,问题就变得容易求解.令 g(a)>0包成立,贝U二)1).0,得3而g(a)=(x2+2x-1)a-

14、4x+3 在 a -1,1时, x 3而.例2、假设不等式解：设f2x1对满足m 2的所有m都成立,求x的取值范围.2x 1,对满足|m 2的 :x2 1 x2 12x 102x 10m , f m解得：匚2.包成立,1.3x 2例3.对任意a 1,1,不等式x2 (a 4)x 4 2a 0包成立,求x的取值范围.分析：题中的不等式是关丁 x的一元二次不等式,但假设把a看成主元,那么问 题可转化为一次不等式(x 2)a x2 4x 4 0在a 1,1上包成立的问题.解：令f (a) (x 2)a x2 4x 4 ,那么原问题转化为f (a) 0包成立(a 1,1当x 2时,可得f (a) 0,

15、不合题意.当x 2时,应有 "L) ° °解之得x 1或x 3.故x的取值范围为(,1) (3,).注：一般地,一次函数 f(x) kx b(k 0)在,上包有f (x) 0的充要条件为f()°.f( ) 0四、数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观,形缺数时难入微,这充分说明 了数形结合思想的妙处,在不等式包成立问题中它同样起着重要作用.我们知 道,函数图象和不等式有着密切的联系：1) f (x) g(x) 函数f (x)图象包在函数g(x)图象上方；2) f (x) g(x) 函数f (x)图象包在函数g(x)图象下上方.例1、假设不等式3x

16、2 loga x 0在x解：由题意知：3x2 loga x在x在同一坐标系内,分别作出函数y 3x2 和 y log a x1.观祭两函数图象,少x 0,-时,3假设a 1函数y loga x的图象显然在函数y 3x2图象的下方,所以不0,1内包成立,求实数a的取值范围0,1内包成立,3成立;1时,由图可知,log a x的图象必须过点 1,1或在这个点的上方, a3 3那么,log1a 3综上得:1 a 27127127例2.设f(x)x2 4x ,g(x)4x 13a ,假设包有f (x)g(x)成立,求实数a的取值范围.分析：在同一直角坐标系中作出如下图,f (x)的图象是半圆f (x)

17、及 g(x) (x 2)2g(x)的图象是平行的直线系4x 3y要使f (x) g(x)包成立,那么圆心(2,0)到直线4x 3y 3 3a8 3 3a3a0的距离 -7-44-2的图象4(y 0)0.0满足 d解得a(舍去)例3 .设函数f(x)a . x2 4x , g(x)ax a,假设包有f (x)g(x)成立,试求实数a的取值范围.得 f(x) g(x)x2 4x ax 2a ,令y儿Oy1V x2 4x ,y2 ax 2a (2可化为(x 2)2y24(0 x 4,y0),它表示以(2,0)为圆心,2为半径的上半圆；表示经过定点(-2,0),以a为斜率的直线,要使f(x) g(x)

18、包成立,只需 所表示的半圆在 所表示的直线下方就可以了 (如图 所示).当直线与半圆相切时就有屿空 2 ,即,1 a2a3,由图可知,要使f(x) g(x)包成立,实数a3的取值范围是a出.3五.分类讨论在给出的不等式中,如果两变量不能通过包等变形分别置丁不等式的两边, 那么可利用分类讨论的思想来解决.例1、假设x 2,2时,不等式x2 ax 3 a包成立,求a的取值范围.解：设f x x2 ax 3 a ,那么问题转化为当x 2,2时,f x的最小值非负.(1)当2 即：a4 时,fx. f 27 3a 0 a - 乂 a 4 所2min3以a不存在；2(2) 当 2 a 226 a 2 乂

19、(3) 当a 2即2a 47 a综上所得：71 .解关丁 x的不等式7解：原不等式等价丁 |x当m 3 0即m 3时,x 3m 就x m 3当m 3 0即m 3时,当m 3 0即m 3时,2 .设a R ,函数f (x)假设f(x) 0的解集为A, B3 :4 a 4 时,f x4 a 44 a 2:a 4 时,f x mm f4 a 2x2 4mx 4m2 m 32m | m 3x 2m m 3 或 x 2m|x 6| 0 x 6x Rax 2a2.x|1 x 3 ,AI B ,aaf -3 a 0min 2 427 a 0 a 7 乂(m 3)求实数a的取值范围点评：二次函数与二次不等式和集合知识有很多联系,不等式的解集、函 数的值域成为集合运算的载体,对丁含参数问题要确定好分类的标准,做到不 重不漏.3.a是实数,函数f(x) 2ax2 2x 3 a ,如果函数y f (x)在区间 1,1上有零点,求a的取值范围.解析：由函数f(x)的解析式的形式,对其在定区间上零点问题的解决需要考虑它是一次函数,还是二次函数,因而需就a 0和