不等式的基本性质及解法

1、不等式的基本性质及解法适用学科高中数学适用年级高中三年级适用区域通用课时时长（分钟）120知识点不等式的基本性质及定理、不等式的解法教学目标1.理解证明不等式的逻辑推理方法.2掌握各类不等式的解法.教学重点1. 掌握不等式性质定理2.一元二次不等式、分式不等式、高次不等式解法.教学难点1.正确地对参数分区间讨论.2.灵活运用所学知识点解决问题.教学过程一、新课导入初中,我们学习了一元一次不等式（组）;已经掌握了不等式（组）的基本性质及解法从本节开始，我们将在过去已有知识的基础上进一步明确不等式的有关概念，学习其他几种不等式的解法.二、复习预习1. 不等式的定义2. 不等式的基本性质.3. 不等

2、式的基本定理及推论4. 一元二次不等式解法.5分式不等式解法.6. 高次不等式解法.7. 无理不等式解法.8指对数不等式解法三、知识讲解考点 1 不等式的定义及比较大小1.不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式.说明：（1 ）不等号的种类：、V、（）、W（）、M.（2 ）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）（3）不等式研究的范围是实数集 R.2 判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数 a、b，在 ab , a= b , avb 三种关系中有且仅有一种成立判断两个实数大小的充要条件是:a b a b 0a b a b 0考点 2 不等式的基本性质定理

3、 1 如果 ab，那么 ba，如果 bb .（对称性）即：ab ba ； bb定理 2 如果 ab，且 bc，那么 ac .（传递性）即 ab，bc ac定理 3 如果 ab，那么 a+cb+c .即 ab a+cb+c推论 如果 ab，且 cd，那么 a+cb+d .（相加法则）即 ab， cd a+cb+d .定理 4 如果 ab，且 c0，那么 acbc ;如果 ab，且 c0，那么 acb 0，且 cd0，那么 acbd .（相乘法则）推论 2 若a b 0,则anbn（n N且n 1）定理 5 若a b 0,则需b（n N且n 1）考点 3兀二次不等式ax2bx c0（a工 0）任何

4、一个一元二次不等式，最后都可化为：ax2bx c0 或ax2bx c0）的形式，一元二次不等式的解集与其 相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关：（1）若判别式二 b2-4ac0,设方程ax2bx c=0 的二根为 xi,X2（xi0 时，其解集为x|xvxi,或 xX2；2a0 时，其解集为x|xix0 时，其解集为x|x - ,x R;a2a0 时，其解集为.若A0 时，其解集为 R :a0 时，其解集为.类似地，可以讨论ax2bx c0（ a 却）的解集.考点 4 绝对值不等式的解法不等式|x| a(a0)的解集 1|x|0)的解集为:x|-ax a(a0)的解集为:x|x a 或

5、x0 ;f(x)g(x)0g(x)皿0g(x)他X)g(x)Og(x)考点6高次不等式根轴法：奇穿偶不穿考点7无理不等式f(x) g(x)f(x) 0g(x) 0f(x) g(x)2.f(x) 、g(x)型f(x) 0g(x) 0定义域. f(x) g(x)型f(x)g(x)f(x)00 或g(x)2f(x)g(x).f (x)g(x)型考点8指对数不等式指数不等式：转化为代数不等式af(x)ag(x)(a 1)f (x)g(x);f(x)g(x)aa (0 a 1)f (x) g(x)af (x)b(a 0,b0)f(x) Ig aig b对数不等式：转化为代数不等式f(x) 0f (x)0

6、lOgaf(x)lOgag(x)(a 1)g(x) 0；logaf(x) lOgag(x)(0a 1)g(x)0f(x) g(x)f (x)g(x)四、例题精析考点 1 不等式的定义及比较大小例 1 已知 x 工 0，比较（x2+ 1）2与 x4+ x2+ 1 的大小.【规范解答】由题意可知:(X2+ 1)2(X4+ X2+ 1 )=(x4+ 2x2+ 1) (x4+ x2+ 1)=x4+ 2x2+ 1 x4 x2 1=x2/x0 -x2 0(x2+ 1)2(x4+ x2+ 1) 0(x2+ 1)2 x4+ x2+ 1【总结与反思】此题属于两个代数式比较大小，但是其中的x 有一定的限制，应该在

7、对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项例 2 比较 a4-b4与 4a3(a-b)的大小.【规范解答】a4-b4- 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)=(a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3) =-(a-b)2(3a3+2ab+b2)2=-(a-b)2V3a些v33a4-b44a3(a-b)-【总结与反思】“变形”是解题的关键，是最重一步因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法0（当且仅当 d = b 时取

8、等号）x例 3 已知 xy，且 yK），比较与 1 的大小”.y【规范解答】xy ,.x_y0当 y0 时，m 0，即x0 时，乞卫0，即-1yy【总结与反思】变形的目的是为了判定符号，此题定号时，要根据字母取值范围，进行分类讨论考点 2 不等式的基本性质例4已和a b cd0，且a dc，求证:【规范解答】.a cb d.a b c db d(a b) d =( c d) b又 va b cd 0一b0，c-d0，bd0且b1-a b c d 即 a + d b + c.【总结与反思】此题中，不等式性质和比例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速 用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要

9、重视性质的运用技巧，也要重视比例定理的应用技巧，这道题不仅有不等式性质例 5 已知函数f(x) ax2c, -4 f-1, -1 f(2)5,求f(3)的取值范围.【规范解答】13【f(2) f(1)143f3f(i)85- f(3) 9a c -f(2) -f(1)33”555- -4 f(1) 1,故(1)( -) ( -)f(1) ( 4)(-) 333口丄,8 840又-1 f5,故f (2)333把(1)和的各边分别相加，得:85-1 f (2) f (1)2033所以，-1 f(3) 4 .x-1 或 1 x2x1.故原不等式组的解集是x|x1.【总结与反思】解含多个绝对值符号不等

10、式的方法之一是：分段讨论,将各段的解集并起来作为最后结果|2x+1|+| x-2|4(2x1(x 2 4 2x 1 (x 2)或x 242x1x24【规范解答】例 8 解不等式|x25x 5|1 .原不等式可转化为-1X25x 51 即2x 5x 51x25x 51解不等式，得解集为x|1 x4;解不等式，得解集为x|x3 原不等式的解集是不等式和不等式的解集的交集，即x|1 x4 Gx|x3= x|1 x2,或 3 x4.故原不等式的解集是：x|1 x2,或 3 x2或x log 3 -32不等式的解集为x|x2 或x log 3 -V3【总结与反思】解指数不等式，要结合指数函数的图像与性质

11、综合处理【规范解答】解关于 x 的不等式：loga(4 3x X2) loga(2x 1) loga2,(a0,a1)例 12原不等式可化为loga(4 3X x2) loga2(2X 1)当 a1 时有:12x413x02x0 x -21 x41x 2224 3xx2(2x 1)3 x2当 0 a1 时不等式的解集为1X 2;2当 0abbva =、传递性（ab , b c ac）、可加性（aba + cb + c）、加法法则（ab , cda+ c b + d），并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法3. 掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础4. 一元一次不等式和一元二次不等式的解法是解各类不等式的基础，要予以高度重视尤其把握好解一元二次不等式的解题步骤:一是将二次项系数变为正的；二是确定不等式