2019-2020年北京初中数学竞赛九年级圆的专题

1、2019-2020 北京初中数学竞赛 九年级 圆的专题(含答案)1. 求证：若半径为 R 的圆内接四边形对角线垂直，则以对角线交点到四边射影为顶点的四边形有内 切圆，且此圆半径不大于 R 2解析 如图，已知圆内接四边形 ABCD， AC BD ，垂足为 P，P在 AB 、 BC 、 CD 、 DA上的射影 分别为 E、F 、 G 、 H ，则由几组四点共圆易知AC BDEH FG APsin BAD CP sin BCD AC sin BAD ，同理 EF HG 也是此值， 因此四2R边形 EFGH 有内切圆由于 FEP CBD CADHEP ，故EP平分 FEH ，同理 HP 、GP 、 F

2、P平分另外 3个角，P为 ADPF PC sin ACB2R四边形 EFGH 的内心于是内切圆半径 r PF sin PFG PF sin ACD2 AD PC AB AD PC PA R R取到等号仅当 P 为圆心时2R 2R 22R4R22. 如图(a) ，已知e O的直径为 AB ，e O1过点O ，且与 e O内切于点 BC为eO上的点，OC与eO1 交于点 D，且满足 OD CD，点 E在线段 OD上，使得 D为线段 CE 的中点，连结 BE并延长，与 e O1交于点 F ，求证： BOCDO1F BMABOO1F D C解析 如图 (b) ，连结 BD，因为 OB为e O1的直径，

3、所以 ODB 90 ，结合 DC DE，可得 BDE BDC 设 BC 与 e O1交于点 M ，连结 OM ，则 OMB 90 ，于是 OM 平分 COB ，从而有BOC 2 DOM 2 DBM 2 DBC 2 DBE 2 DBF DO1F 又因为 BOC， DO1F 分别是等腰 BOC，DO1F 的顶角，所以 BOC DO1F 3. I是 ABC的内心，线段 AI延长交 ABC的外接圆于 D，若AB 3，AC 4 ，且SIBC SDBC ， 求 BC 解析 如图，设 BC与 AD交于 E，则 IE ED x， BD CD ID 2x，又设 AE y ，由于在等腰三 角 形 BCD 中 ，

4、有 熟 知 的 结 论 BD2 DE 2 BE CE AE ED ， 此 即 3x2 yx ， y 3x ， 故AB ACBCAIIE2， BCAD4. 在平面上给定等腰三角形ABC ，其中 AB AC ，试在平面上找到所有符合要求的点 M ，使ABM 、ACM 都是等腰三角形解析 要使 ABM 为等腰三角形， M 必定在 AB的垂直平分线上，或在以 A、 B为圆心、 AB为半径 的圆上 ACM亦然这样得到 3个圆 eA、eB、eC在 e A上除了 B 、C及其对径点 B 、C ，其余的点都符合要求 此外，还有 6个点，即 AB中垂线与 eC 的两个交点 M 1 、M 2 ，AC的中垂线与 e

5、 B的两个交点 M3 、M4 ，e B与e C的另一个交点 M6（不是 A）， 两条中垂线的交点 M5（即 ABC之外心），如图何时 M1在直线 AB上或 A、C、M2共线，此时 A是三边长分别为 1: 2: 2的等腰三角形的底角，此时 M1、M2、M3、M4均不符合要求； 又 A 120 时，六点变一点， 且在eA上， A 120 时，只有M5 与 M 6 两点评注 读者可考虑 ABC 为不等边三角形时的情形5. 已知： ABC中， AB AC ， AD是高， P为 AC上任一点， PC的中垂线 RQ交AD于R，求证： RPB DAC 解析 如图，易知 RP RC RB， R为PBC外心，

6、BRP 2 C 180BAC，故 A、 B、R、P共圆，于是 RPB BAD DAC 6. D、E、F分别在 ABC的边BC 、 CA、 AB上，则 AEF、BFD、CDE的外接圆共点 解析 如图，设AEF 、 BFD 的外接圆除F 之外，还交于 P，连结PD、 PE、 PF，则 PEC AFPBDP，故 E、P、 D 、 C共圆，证毕A7. 平面上有一条光线穿过该平面上的一圆，打在一条直径上并发生反射，最后穿出圆去，求证：这 条光线与圆的两个交点、与直径的接触点以及圆心，该四点共圆解析 如图，设这条光线为 APB， EOF 是题设中的直径，延长 AP至 eO 于 C ，则 BPF APE C

7、PF ， B 与 C 关 于 EF 对 称 于 是 BPO CPO 这 样 一 来 ， 便 有 OBP OCP OAP ，于是 A、 O、 P 、 B四点共圆BFC评注 本题亦可利用圆心角证8. 已知P为ABC外接圆的 B?C上一点，则 P在直线 AB、 BC、 CA的射影 L、M 、N共线 解析 如图，连结 LM 、MN，BP，CP，则由L、M、P、B共圆， M、P、N、C共圆及 A、B、 P 、 C 共圆，得 LMP NMP LMB 90 PCN LPB ABP 90 180 ，故 L 、 M 、 N 共 线评注 此线称为西摩松线反之，若三垂足共线，则P在 ABC 外接圆上9. 四边形 A

8、BCD对角线交于 O，AO CO BO DO，O在 AB、BC、CD、DA 上的垂足分别是E、F 、 G 、 H ，求证： EF GH EH FG 解析 如图，易知 A、 B、C、 D共圆D由 A、E、O、H 共圆，得 EH AO sin A （ A即 BAD ，余同），同理 FG CO sin CCOsin(180 A) CO sin A，故 EH FG AC sin A ，同理 EF GH BD sin B 评注 读者不妨研究由 EFGH EHFG能否得出 A、 B、C、10.已知凸四边形 ABCD ，BAC 2BDC ， CAD2 CBD ，ABAC AD 解析如图， BCD 180(

9、CBD1CDB ) 1802BAD ，故接圆，A 在圆内、延长 CA至圆于 P 连结 PB、 PD，则 P 、 B 、C、 D四点共圆D 共圆 求证：而 AC BD ，于是上述结论成立 sin B sin ABCD BAD 180 ，作 BCD 外PC1APD CBD CAD ，故 APD2即 BCD 之外心，于是 AB AC AD 11. 设圆内接 ABC的垂心为 H ，P为圆周上任一点， 解析 是高， 得HLADP，PA AD，同理 PA AB A为PBD 外心，也求证： PH 被 P 关于该三角形的西摩松线平分 如图，不妨设 P在 B?C上 P在直线 AB 、 BC上的射影分别是 M、N

10、，MN 即为西摩松线 AL 延长后交圆于 D ，PN延长后交圆于 Q，连结 PD 、QA 、CD 、 BP 则 HCB BAD DCB，LD E又易知 M 、 N、 P、 B共圆，因此 ENP ABPAQP，故 MN AQ又作 HR AQ ，于是由四边形 AQPD 为等腰梯形，知四边形 HRPD也是等腰梯形，于是由知 BC垂 直平分 HD ，从而 BC 垂直平分 RP由PN NR及MNE RH ，知MN必将 PH平分12. 已知MON为e O直径， S在ON上，弦ASB MN，P在B?M 上， PS延长后交圆于 Q，PN交AB 于 R ，求证： QS RN 解析 如图，连结 MP 、 MR，知

11、M 、 S、 R、 P共圆，于是RNSNQS，于是RNMR1MRSPMSQSMSMB13. 已知锐角三角形 ABC中， AB AC，AD BC于D，G、F 分别在 AB 、 AC上， GC 、BF 、 AD 交于 H ，若G、B、C、F 共圆，则 H为ABC之垂心解析 如图，易知 BD CD，今在 BD上找一点 E，使ED CD，连结 AE、HE，则E与C关于 AD对 称于是由对称及 G、B、C、F共圆，得 ABH ACH AEH ，于是 A、B、E、H共圆，故 BAD HEC HCE ，于是 AGH HDC 90 ， H 为垂心14. 已知 ABC与 ACD均为正三角形， 过D任作一直线，

12、分别交 BA、 BC延长线于 E、F ，CE与 AF 交于 G ，求证： GB 平分 AGC解析设 AB BC AC a ，AEx， CFy，由 ADBF ， CDBE，则xyxa y aEDDF 1 ，去分母整理得xy2a2 此即AEACAC ，又 EAC 120ACF，故 EAC ACF ，EFEFACCFAGE GAC ACGGACAFC60，故 A 、B 、C 、G 共圆，AGBACB 60BACCGB15. 设圆内接四边形 ABCD， AB 、 DC延长交于 E ， AD 、 BC延长交于 F ， EF中点为 G，AG与 圆又交于 K，求证： C、E、F、 K四点共圆解析 如图，延长

13、AG一倍至 J ，作平行四边形 AEJF 连结CK ，则 CEJ ADE AKC ，于是 E、 C、K、 J共圆，或 K在CEJ的外接圆上A又 EJF EAF 180 BCD 180ECF ，故 E 、 C 、 F 、 J 共圆，或 F 亦在 CEJ 的外接圆上 于是 16.解析C、E、 J、 F、 K五点共圆，结论成立AD 、 BE是锐角三角形 ABC的高， D 、E是垂足， D在AB 、 AC上的射影分别是 M 、N，E在 QN PM DEC ABC ，BC、如图，AB 上的射影分别是 P、 Q 连结 ED、 PN ，则易知，求证： NPC故 NP AB欲证四边形MPNQ 为等腰梯形，只需

14、证PQ 即可MN由于 A、M、D、 N共圆， AD为直径，故MN AD sin AAD BC2RSABC ， R为ABC 外接圆 R半径，同理 PQ 也是此值，因此结论成立17. 过两定点 A、 B的圆与定圆交于 P、 Q，解析 如图，延长（或不延长）AP 、BAP PQN 180M ，故 AB BQ ， MN 求证： AP AQ 为定值BP BQ可与定圆再分别交于M、N 两点，则由四点共圆知BN sin B(于是四边形 ABNM 为梯形， AM sin A故 AP AM 为定值，此即 BQ BN定值， BQ BN 亦为定值，又由定圆性质知 AP sinB sin AA 即 BAP ，余类似）

15、；AP sin B 为定值但由正弦定理， BQ sin AAM 为AQ ，BP ，于是 AP AQ 为定值BP BQ18. 直角三角形 ABC 中， 垂线，垂足分别是 M 、 N、P、 Q证明： 解析 因 A、E、N 、P 共圆，故 CNP EAPE、F 分别是直角边 AB、 MAC上的任意点，自 A向 BC 、CE 、 EF 、 、N、 P 、 Q四点共圆AFP ，因A 、N 、 M 、C共圆，故 CNM CAM ，FB引又 A、B、M 、 MNP( CAMMQPMAB)Q 共圆，故( CNM( AFPMQB MAB CNP ) ( MQB FAP ) 90 90由 A、 P、 Q 、 PQ

16、B) ( 180 故CAMM、N、F 共圆，得 PQB FAP 所以AFP) ( MAB FAP ) P、Q 共圆19. ABCD 是圆内接四边形， 上，连结 BF ， G 在 BA 的延长线上，使得 B、E、 F、 H四点共圆AC 是圆的直径，BD AC ，DGBF，AC与BD的交点为 E，F 在DA的延长线 H 在 GF 的延长线上， CH GF 证明：FA 解析 如图，连结 BH 、 EF、 CG因为 BAF GAD ，所以 FAABDA ，AG ，ACB又因为 ABE ACD ，所以 AB AC ，EA DA ，从而得FAEA因为AC AG FAE 由题设知，BHFBGCFEA180

17、，CAG ，所以 FAE CBGBEF9090所以， B 、 20. 四边形 足， MCAG ，于是CHG 90 ，所以 B、C、G 、 BHC 90 BEFBEFBEFFEA CGA H 四点共圆，得BHCBGC 于是E、ABCD内接于圆， 是线段 PG 和 EF 的交点，求证：F、H 四点共圆P是 AB的中点， PEME MF AD，PFBCPG CD，E，F ，G为垂解析 如图，作 AF1 BC ， BE1AD ( E1 、因 A、 B、 F1、 E1共圆，所以 中点（因 PE1F1为等腰三角形） 点），因此 ME MF 1AB2180C，因此 E1F1CD ， PKF1 为垂足），则P

18、E1PF1设PG与E1F1交于 K，E1F1 ， K 是 E1F1 的CF1E1 A，故PEKF为平行四边形（因 P、E、K、F 为四边形 ABF1E1各边中DGCAPB评注 本题亦可用面积法快速解决21. ABC 中， AD、 AE 分别是高和中线， 且都在三角形内部，求证： 若 DAB CAE，则 ABC 或者是等腰三角形，或者是直角三角形解析 如图， D与E无非是三种位置关系，由对称性，可归结为两种：D与E重合，或 D位于 E的左侧若 D 与 E重合时， ABC 显然为等腰三角形若 D 在 E 的左侧，设 AB 中点为 F ，连接 FD 、 FE . 则 EF 为中位线，由条件，知AEF

19、 CAE DAB ADF ，故 A、 F 、 D 、 E 共圆，于是BAC BAE EAC FDB ADF 90 22. 设 A 、B 、C 、D 、 E是单位半圆上依次五点， AE是直径，且AB a，BC b，CD c，DE d ， 证明： a2 b2 c2 d 2 abc bcd 4 解析 如图，连接 CA 、 CE ，则 AC CE，设 CAE ， CEA ，则由四点共圆及余弦定理，有：E4 AE2AC2CE2a2 b2222ab cos c d 2cd cos22a2 b22 cd 2 ab CE cd AC由于 ABC ，CDE 90 ，故 CECEc ， ACBC b ，代入，即得

20、224 a2 b22 c2d abc bcd 23. 已知四边形ABCD内接于圆，点E、F 分别为AB 、CD上的动点，且满足 AE CF ，又点 P在EFEB FDPE AB 上且满足 ，证明： APD与BPC的面积之比与点 E、F 无关PF CD解析 如图，不妨设 AD 、 BC延长后交于 S ，由四点共圆知 ABSCSF，又 E 、 F分别是对应点， 故ASECSF于是 ES AS AB PE ，于是 SP平分 ESF进而平分 ASB，于是 P至 AD 、 FS CS CD PFBC距离相等， SAPD AD ，与E、 F无关（图中 SE、 SF 、 SP未画出）S BPC BCASADBC 时，结论不变24. AB是圆O的直径， C为AB延长线上的一点， 过点C作圆O的割线，与圆 O交于 D、E两点，OF 是BOD的外接圆 O1的直径，连接 CF 并延长交圆 O1于点 G.求证： O、 A、E 、 G四点共圆 解析 如图，连接 AD、 DG 、GA