(完整版)三、模糊推理1

1、第三章：模糊推理系统随着科学技术的不断发展，人们对计算机的要求愈来愈高，不仅要求它具有更高的运算速度、 更大的信息存贮和数据处理能力，而且还需要计算机具有一定的“智能” 。控制论的创始人维纳曾 经说过，由于“人具有运用模糊概念的能力” ，所以人胜过任何最完善的机器。对模糊事物进行识 别和判决是人脑的重要特点之一， 那么如何使计算机能够模拟人脑思维的模糊性， 如何使模糊语言 作为算法语言直接进入计算机程序， 让计算机完成模糊推理， 这是模糊信息处理首先要解决的问题。 § 3.1 语言变量与模糊规则为了使计算机能够利用模糊概念， 模拟人的思维进行模糊推理， 首先需要深入研究模糊推理的 一

2、些基础知识。如模糊语言变量、模糊命题及模糊推理方法等等。3.1.1 模糊语言语言是一种符号系统， 通常包括自然语言和人工语言两种。 自然语言是指人类交流信息时使用 的语言，它可以表示主、客观世界的各种事物、观念、行为、情感等。自然语言具有相当的不确定 性，其主要特征就是模糊性，这种模糊性主要是由于自然语言中经常用到大量的模糊词(如黎明、模范、优美、拥护等 )。人工语言主要是指程序设计语言，如我们熟悉的 C 语言、汇编语言等。人 工语言的格式是非常严密、且概念十分清晰。一、模糊语言的概念从广义角度来讲， 一切具有模糊性的语言都称为模糊语言。 显然，模糊语言主要是指自然语言。 由于模糊语言可以对模

3、糊性进行分析和处理， 因此，在现实生活中， 人们常常用模糊语言来描述事 物或现象的模糊性。另外，需 要说明的是模糊语言又具有很大的灵活性 ，在不同的场合，同一全 模糊概念可以表达出不同的含义。如“高个子” ，在中国，大约在 1.751.85 m之间的人就认为是 “高个子”，而在欧洲，大约在 1.801.90 m之间的人才能算作“高个子” 。模糊语言是一种广泛使用的自然语言。 如何将模糊语言表达出来， 使计算机能够模拟人的思维 去推理和判断，这就引出了语言变量这一概念。二、语言变量 语言变量是以自然语言中的词、词组或句子作为变量，而不是以数值作为变量。如模糊控制中 经常用到的语言变量“偏差” 、

4、“偏差变化率”等。语言变量的概念最早由 Zedeh 提出。语言变量的值称为语言值， 一般也是由自然语言中的词、 词组或句子构成。 如语言变量“偏差”、 “偏差变化率”的语言值可以由“大” 、“中”、“小”等词来描述。语言变量与相应的语言值之间必 须遵守语法规则和语义规则。 语言变量的语言值通常用模糊集合来描述， 该模糊集合对应的数值变 量称作基础变量。综上所述，一个完整的语言变量可定义为一个五元体 (X,T(X),U,G, M)其中 X 语言变量的名称；T(X) 语言变量的语言值；U 论域；G一语法规则；M 语义规则。下面以“年龄”作为语言变量 X ，该语言变量的论域 U 取0, ) 。根据语

5、法规则可知，描述语言变量“年龄”的语言值有“年青” 、“中年”、“年老”几种，那么 T(X)可表示为T(X) 年青中年年老语义规则主要是用来反映实际论域中的岁数与模糊集合年老”之间的关系模糊语言变量的完整描述见图 3.1.1年龄年青 中年1.0020 4060 80语言变量 X语法规则 G语言值 T(X )语义规则 M论域(岁)U图 3.1.1 “年龄”语言变量的五元体三、模糊语气算子 模糊语气算子是指一类加强或削弱模糊语言表达程度的词，如“特别” 、“很”、“相当”等等， 可以对模糊语言值进行修饰。比如对语言值“年轻” 、“年老”等进行修饰，变为“很年青” 、“特别 老”等。设模糊集 A 的

6、隶属函数为 A(x) ，那么模糊语气算子的数学描述可以表示为nA (x) ，其中加强语气的词称为集中算子，取 n 1；减弱语气的词称为散漫化算子，取 n 1。例 3.1.1 设模糊集合 A 表示“年青”这一模糊概念，其隶属函数为1A(x)11 (x 25)/52(15 x 25)(x 25)可以算出 28 岁和 30岁的人对“年青”的隶属度为A(28) 0.74 ； A (30) 0.5现在给“年青”加上集中算子“很” ，用模糊集合 B 表示“很年青”，若取 n 2 ，则可得“很年青”的隶属函数为1 (15 x 25)2B (x)1 2 (x 25)1 (x 25) 52代入上式可以算出28

7、岁和 30岁的人对“很年青”的隶属度分别为B (28) 0.54；B(30) 0.25若给“年青”加上散漫化算子“较” ，用模糊集合 C表示“较年青”，取 n 0.5 ，则可得“较年 青”的隶属函数为1 (15 x 25)1C (x)1 2 (x 25)1 (x 25) 52可以算出 28岁和 30 岁的人对“较年青”的隶属度分别为C (28) 0.88；C (30) 0.71可见，同样的年龄对于不同的模糊集其隶属度是不同的，反映出模糊语气算子的作用。3.1.2 模糊规则一、模糊逻辑 数理逻辑是建立在经典集合论上的研究概念、判断和推理形式的一门学科，又称为经典逻辑。经典逻辑最大的特点是所反映的

8、内容非真即假，在客观世界中这样的命题不胜枚举。比如： 北京是中华人民共和国的首都 石头可以当饭吃 但是，还有一类命题很难做出这样明确的判断。比如： 机动车比自行车的速度更快 南方的天气很热对于这样的模糊性命题， 经典逻辑往往不能给出符合实际情况的结果。 正如英国著名的逻辑学 家 B. Russell在 1923 年所言：“经典逻辑都习惯于假定使用的是精确的符号。因此，它不适合于尘 世生活，而仅仅适用于想象的天体存在物。逻辑学较别的学科使我们更接近于天堂。”Russell认为世界上不存在绝对的精确性， 二值逻辑描述的是理想世界， 而不是现实世界。 最早跨出二值逻 辑限制的是波兰的逻辑学家 Jan

9、 Lukasiewicz，他于 1920年创立了多值逻辑。 直到 1965年，Lotfi Asker Zadeh创立了模糊集合论， 使经典逻辑值由 0,1 两值扩展到可以在闭区间 0,1任意取值，于是产生 模糊逻辑。模糊逻辑是二值逻辑的推广，可以在 0,1 区间上任意取值。模糊逻辑运算规则也是以经典逻辑 运算规则为基础， 经过适当的扩展而形成的。 经典逻辑对应于经典集合论， 其运算规则称为布尔代 数。若 , , 0,1 ，布尔代数具有如下的运算性质：(1) 幂等律 V(3)结合律(V)VV ( V )() ( )(4)吸收律(V)( )V(5)分配律(V)( )V ()( )V(V ) ( V

10、 )(6)复原律( C)C(7)补余律V C1C 0 (模糊逻辑运算不符合)(8)V 11V 0 1 0 0(2) 交换律 VV模糊逻辑对应于模糊集合论， 模糊逻辑运算除了不满足布尔代数里的补余律外，布尔代数的其它运算性质它都适用 。除此之外， 模糊逻辑运算满足德 ?摩根(De-Morgan) 代数，即(V )C C C(3.1.1)( )C CV C(3.1.2)对于补余运算， De-Morgan 代数中是这样定义的：V C 1，而 V C max( ,1 )(3.1.3)C 0，而 V C min( ,1 )(3.1.4)二、模糊命题模糊命题是指带有模糊性的陈述句 。模糊命题的真值不是绝对

11、的“真”或“假” ，而反映其隶 属于“真”的程度。模糊逻辑是表征模糊命题的工具，是研究模糊推理最基本的数学手段。模糊命 题可以分为性质命题和关系命题两种 ，通常用大写字母 P ， Q ， R 表示 ，如：P ：金属物体的导电性能好；Q ：100比 1大得多。显然， P 是模糊性质命题， Q 是模糊关系命题。但无论是性质命题 P ，还是关系命题 Q ，都无 法做出“真”、“假”这样明确判断， 其真实程度 (即模糊命题的真值) 只有通过模糊逻辑值来反映。 模糊命题从构成上划分，又可分为 简单模糊命题和复合模糊命题 两种。简单模糊命题的一般形式 为：P： “ x是 A” ( x is A )其中元素

12、 x X ， X 是论域； A 是某个模糊概念所对应的模糊集合。模糊命题的真值，由元素 x对模糊集合 A 的隶属程度 A (x)表示。在模糊命题中，“is A”称 作模糊谓词。 简单模糊命题通过连接词“且” 、“或”、“非”等连接起来，就构成了复合模糊命题 。 复合模糊命题一般形式为Q1： “ x是A ”且“ y是B” ( x is A and y is B )Q2： “ x是 A”或 “ y是B” ( x is A or y is B )其中元素 x X、 y Y， X 、 Y是论域； A 、 B是相应的模糊集合。由于模糊命题间的“且” 、“或”、“非”实质上可以通过模糊逻辑“交” 、“并”

13、、“补”实现。因 此，对于复合模糊命题的真值，需要通过模糊合成运算来求取。下面给出模糊命题之间的“并” 、 “交”、“补”基本运算的定义：设有模糊命题 P ： x is A ； Q ： y is B ，经过“并”、“交”、“补”运算后，其真值为：(1) 并 P QPQA(x)VB(y)(3.1.5)(2) 交 P QPQA (x)B (y)(3.1.6)(3) 补 P CCPC 1P1A (x)(3.1.7)可见，复合模糊命题的真值实质上就是各简单模糊命题之间合成运算的结果。当然，上面给出的只是在“并”、“交”、“补”基本运算定义下的结果。其实，复合模糊命题的真值也满足其它“ S 范数”、“T

14、 范数”及“补”运算规则。三、模糊规则模糊规则是模糊推理的基础，由若干个模糊命题组成。 模糊规则也称为模糊条件语句，其表达 形式如下：if x is A, then y is B(3.1.8)其中 A和 B分别是论域 X和Y上的模糊集合定义的语言值。在模糊规则中，通常将 “ x is A ”称为前件或前提，“ y is B ”称作后件或结论。模糊规则 广泛地存在于实际生活中，例如： 如果你的朋友很多，那么你是个值得信赖的人； 如果天气暖和，那么少穿些衣服。在模糊推理过程中， 有些模糊规则不仅仅是由两条模糊命题构成， 它的前提条件可能由若干条 模糊命题组成。一般将这种模糊规则称为 多维模糊规则

15、，表达如下： if x1 is A1 and x2isA2 and and xnis An , theny is B（3.1.9）if x1 is A1 or x2isA2 or or xn isAn , then yis B（3.1.10）现实生活中，由若干条模糊命题组成的模糊规则也较常见。比如： 如果款式新颖且面料优良且价格便宜，那么是一件好衣服； 如果跳远超过 8 m 或跳高超过 2.3 m 或百米进入 10 s，那么是一名优秀的运动员。§ 3.2 模糊推理推理是根据一定的规则， 从一个或几个已知判断引伸出一个新判断的思维过程 。般说来， 推 理都包含两个部分的判断，一部分是已

16、知的判断，作为推理的出发点，叫做前提（或前件 ）。由前提所推出的新判断，叫做结论 （或后件 ）。3.2.1 推理的基本形式人类在认识世界的过程中不断地在使用推理， 推理的形式主要有 直接推理和间接推理。 只有一 个前提的推理称为直接推理， 由两个或两个以上前提的推理称为间接推理。 间接推理又可分为演绎 推理、 归纳推理和类比推理等， 其中演绎推理是生活中最常用的推理方法， 它的前提与结论之间存 在着确定的蕴涵关系。演绎推理中最常用的形式是假言推理， 假言推理又可分为肯定式 （或称取式）推理和否定式 （或称 拒取式 ）推理两类。其一般形式为肯定式 （取式 ）：大前提（规则）：若x是a则 y是b小

17、前提（事实）：x是 a结论： y 是 b否定式 （拒取式 ）：大前提（规则）：若 x是a则 y是 b小前提（事实）：y不是 b结论：x不是 a以上基于经典逻辑的推理形式又称为“三段论”推理模式。可以看出经典逻辑的“三段论”推 理非常严谨，但这种严谨又限制了 “三段论”的使用。 因为现实生活中获得的信息， 大前提： 若x 是 a 则 y是b 之下，若小前提 x不是 a ，而是与 a 相近的偏离值 a? ，“三段论”推理方法则无法给出一个合理的结论。因为涉及到近似推理问题，所以需要采用新的推理方法。3.2.2 模糊推理模糊推理又称模糊逻辑推理， 是指在确定的模糊规则下， 由已知的模糊命题推出新的模

18、糊命题 作为结论的过程。 模糊推理是一种近似推理，主要有以下两种形式：(1) 已知模糊蕴涵关系“若 x是A, 则y是B”，其中 A是 X 上的模糊集， B是Y上的模糊集， 模糊蕴涵关系往往是大量的实验观测和经验的概括。 在模糊推理过程中， 认为该蕴涵关系提供的信 息是可靠的，它是近似推理的出发点，相当于“三段论”的大前提。又知 X 上的一个模糊集 A*， 它可能与 A相近，也可能与 A相去甚远，那么从模糊蕴涵关系能推断出什么结论 B* ?(2) 已知模糊蕴涵关系“若 x是A, 则y是B”，其中 A是 X 上的模糊集， B是Y上的模糊集， 又知 Y上的模糊集 B * ，那么从模糊蕴涵关系能推断出

19、什么结论 A*?对应于以上两种近似推理形式，现在给出模糊推理的具体运算过程。定义 3.1.1 模糊推理设 A和B分别是论域 X和Y上的模糊集合， A和B之间的模糊关系用 R(X,Y) 表示。若已知论 域 X 上的模糊集合 A* ，则模糊推理过程为大前提 (规则)： 小前提 (事实)：若x是 A 则 y是B x是 A*结论： y是 B* A* R(X,Y)另一种情况是： 设 A和 B分别是论域 X和Y上的模糊集合， A和B之间的模糊关系为 R(X,Y) 现在知道论域 Y上的模糊集合 B* ，则模糊推理过程为大前提 (规则)： 小前提 (事实)：若x是 A则 y是By是 B*结论： x是 A* R

20、(X,Y) B*3.2.3 几种典型的模糊推理方法根据模糊推理的定义可知，模糊推理的结论主要取决于模糊蕴含关系 R(X,Y) 及模糊关系与模糊集合之间的合成运算法则 。对于确定的模糊推理系统，模糊蕴含关系 R(X,Y) 一般是确定的，而 合成运算法则并不唯一。 根据合成运算法则的不同， 模糊推理方法又可分为 Mamdani 推理法、Larsen 推理法、 Zadeh 推理法等等。一、 Mamdani 模糊推理法Mamdani 模糊推理法是最常用的一种推理方法， 其模糊蕴涵关系 RM (X,Y)定义简单， 可以通过 模糊集合 A 和 B 的笛卡尔积 (取小 )求得，即RM (x, y)A(x)B

21、 (y)(3.2.1)例 3.2.1已知模糊集合 Ax10x.4 0x.1， B0.80.50.30.1。求模糊集合A和B 之间的模糊x1 x2 x3y1y2y3y3蕴含关系RM (X,Y) 。解：根据Mamdani 模糊蕴含关系的定义可知：10.4RM (X,Y) A B0.80.50.30.10.10.80.50.30.10.40.40.30.10.10.10.10.1Mamdani 将经典的 极大极小合成运算 方法作为模糊关系与模糊集合的合成运算法则。 在此定 义下， Mamdani 模糊推理过程易于进行图形解释。下面通过几种具体情况来分析Mamdani 模糊推理过程。(i) 具有单个前

22、件的单一规则设A*和A论域 X上的模糊集合， B是论域Y上的模糊集合， A和B间的模糊关系是 RM(X,Y)， 有大前提 (规则 )：if x is Athen y is B小前提 (事实)：x is A* 结论： y is B* A* RM (X,Y) 当 RM (x,y) A(x) B(y) 时，有B* (y) V A* (x) A (x) B ( y)xXxVX A* (x) A(x) B (y)(3.2.2)xXB (y)其中 V A* (x) A (x) ，称为 A 和 A* 的适配度。xX在给定模糊集合 A* 、 A及B的情况下， Mamdani模糊推理的结果 B*如图 3.2.1

23、所示。1*AA*1BB*0x0y图 3.2.1 单前提单规则的推理过程根据 Mamdani推理方法可知，欲求 B * ，应先求出适配度 （即 A* （x） A （x）的最大值）；然后 用适配度 去切割B的MF，即可获得推论结果 B* ，如图 3.2.1中后件部分的阴影区域。所以这种 方法经常又形象地称为削顶法。对于单前件单规则（即若 x是A则 y是B ）的模糊推理， 当给定事实 x是精确量 x0时，基于 Mamdani 推理方法的模糊推理过程见图 3.2.2。图 3.2.2 事实为精确量时的单前提单规则推理过程26例 3.2.2 设 A和B分别是论域 X和Y上的模糊集合，其中论域 X （水的温

24、度） = 0, 20, 40, 60, 80, 100 ，Y（蒸汽压力） = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ， A 温度高， B 压力大。模糊规则“若 A则B ”，在此模糊规则下，试求在 A* 温度较高时对应的压力情况 B 解： 首先确定各模糊集合的隶属度为 #带有主观性的确定00.10.30.60.8510204060801000.10.150.40.7510.8020406080100A(x)A* (x)00.10.30.50.70.851B(y)2361457求 A* 对 A 的适配度0 0.1 0.1 0.15xVX(0 00.1 0.1200.150.3 0.4 0.6 0

25、.7540 600.85 1801 0.8)100 )V (0 0.1xX 0 200.3 0.640 6008.805 100.80) 0.85用适配度 去切割 B 的隶属函数，即可获得 B*0 0.10.30.50.70.85 1B* (y)B (y) 0.85312456700.1 0.3 0.50.70.850.851234567推理结果是“ B* 压力较大”，这与我们平常的推理结果是一致的。(ii) 具有多个前件的单一规则设 A*、 A、B*、 B和C* 、 C分别是论域 X 、 Y和Z上的模糊集合，已知 A 、 B和C间的模糊 关系为 RM ( X ,Y,Z )。根据此模糊关系和论

26、域 X 、 Y上的模糊集合 A*、B*，推出论域 Z上新的模糊 集合。即大前提(规则)：if x is A and y is B ，then z is C小前提 (事实 )：x is A* and y is B*后件(结论 )：z is C*根据 Mamdani 模糊关系的定义，有RM (x,y,z)A(x) B (y) C(y) 笛卡尔积 取小 (3.2.3)此时C*(z) xVX A*(x) B* (y) A(x) B(y) C (z) xX yY(3.2.4)V A* (x) B* (y) A(x) B (y) C(z) xX yYxVX A*(x) A(y) yVY B* (x) B

27、( y) C(z) x X y Y( A B ) C (z)其中 AV A* (x)A ( x)是 AA* 隶属函数的最大值，表示A*对 A的适配度；xXBVB*(x)B ( y)是BB* 隶属函数的最大值，表示B*对B的匹配度；由于模糊规则的前件部分由连词“与”连接而成，因此称 A B 为模糊规则的激励强度或满 足度，它表示规则的前件部分被满足的程度 。图 3.2.3给出了多个前件的单一规则的 Mamdani 模糊 推理过程，其中推理结果 C*的MF是模糊集合 C的MF被激励强度 ( A B) 截切后的结果。 这个结论可以直接推广到具有多于两个前件的情况。对于两前件单规则(即若 x是A和y是

28、B，那么 z是C )的模糊推理，当给定事实为精确量时即 x 是 x0 ，例 3.2.3已知 A、A、B*、B和 C* 、C分别是给定论域 X x1,x2、Y y1,y2,y3和 Z z1,z2上的模糊集合，1 0.5 A1 0.5 且 Bx1 x20.1y10.5y211 ，则 C y30.2z11z2现在知道 A* 0.8x10.1及x2B*0.5y10.2y20，y3求模糊集合 C* 。解法一：RABC (x,y,z) A B故先求 RAB(x, y)ABRAB (x, y)1B 01.5 0.1 0.510.50.510.5然后将 RAB(x, y)写成列向量的形式于是可以求得：*RAB

29、 (x, y)0.1 0.5 10.10.50.5T*RABC ( x, y,z)ABCRAB(x, y)C0.10.10.10.50.20.510.210.210.10.10.10.50.20.50.50.20.5，令 RA*B*(x,y) A*B*，有*0.80.5y) A* B*0.50.200.10.1，并以 RA*B (x, y) 表示，RA*B* (x,0.2 00.1 0* * 由于 C* (A* B*) RABC (x,y,z)将 RA*B* (x, y)写成行向量，并以 RA*B* (x,y)表示，即RA*B* (x, y) 0.5 0.2 0 0.1 0.1 0于是可以求得

30、 CC* R*A*B*(x, y) RABC(x,y,z)0.5 0.2 0 0.1 0.1 00.1 0.10.2 0.50.2 10.1 0.10.2 0.20.2 0.50.2 0.5C* 0.2 0.2z1z2解法二：首先 A*与A、B*与 B的适配度，即1 0.8 0.5 0.1 V ( )V (0.8 x X x10.1) 0.8x2xXx1 x20.1 0.5 0.5 0.2 100.10.20BV()V() 0.2y Y y1y2y3y Y y1y2y3然后求激励强度，即A B0.8 0.2 0.2最后用激励强度去切割 C 的隶属函数，即可获得*C*0.210.20.2C* (

31、y)C (y) 0.2z1z2z1z2（iii） 具有多个前件多条规则的模糊推理 设 A* 、 A1 、A2 、B* 、B1 、B2和C* 、C1 、C2分别是论域 X 、Y和Z上的模糊集合， RM1（X,Y,Z） 是 A1、B1和C1间的模糊蕴含关系， RM 2 （ X ,Y,Z ）是A2 、 B2和C2间的模糊蕴含关系。 已知论域 X 、Y上的模糊集合 A* 、B* ，推出论域 Z上新的模糊集合C*。即大前提 1 （规则 1）：ifx isA1and yisB1 ，then zisC1大前提 2 （规则 2）：ifx isA2and yisB2 ， then zisC2小前提 （事实 ）：

32、x isA*and yisB*后件（结论 ）：zis C对于多个前件多条规则的模糊推理问题， 通常将多条规则处理为相应于每条模糊规则的模糊关 系的并集 。上述的模糊推理问题可以表示为C* (z) xVX A*(x) B*(y) RM1(x, y,z)V RM2(x, y, z) yYxVX A* (x) B* ( y) RM 1 ( x, y, z)y Y (3.2.5) VxVX A*(x) B* ( y) RM2 (x, y, z) yYC1* (z)V C*2 (z)其中： RM 1 (x, y, z) A1 ( x) B1(x)V C1(z) ；RM2 (x,y,z)A2(x) B2(

33、x)V C2(z)；C*(z) 和 C* ( z)分别是在规则 1和规则 2下所得到的模糊集合。对于两个前件两条规则(即 x是A1和y是B1，则 z是C1 ； x是A2和y是B2 ，则z是C2 )的模糊综上所述，多个前件多条规则的模糊推理过程可以分为四步： 计算适配度 把事实与模糊规则的前件进行比较，求出事实对每个前件 MF 的适配度。 求激励强度 用模糊与、或算子，把规则中各前件 MF 的适配度合并，求得激励强度。 求有效的后件 MF 。用激励强度去切割相应规则的后件 MF ，获得有效的后件 MF 。 计算总输出 MF 。将所有的有效后件 MF 进行综合，求得总输出 MF 。二、Larsen

34、 模糊推理法Larsen推理方法又称为乘积推理法， 是另一种应用较为广泛的模糊推方法。 Larsen 推理方法与 Mamdani 方法的推理过程非常相似，不同的是在激励强度的求取与推理合成时用乘积运算取代了 取小运算。(i) 具有单个前件的单一规则设A*和A论域 X上的模糊集合， B是论域Y上的模糊集合， A和B间的模糊关系确定，求在关系下的 B* ，即大前提 (规则)：小前提 (事实)：if x is A then y is B*x is A*结论： y is B 与 Mamdani 推理方法一样，首先求适配度：xVX A* (x) A(x)然后用适配度与模糊规则的后件作 乘积合成运算 ，即

35、可得B* (y)B (y)(3.2.6)(3.2.7)在给定模糊集合 A* 、 A 及 B 的情况下， Larsen模糊推理的结果 B*如图 3.2.6 所示B1B图 3.2.6 单前提单规则的推理过程(ii) 具有多个前件的单一规则设 A*、 A、B*、 B和C* 、 C分别是论域 X 、 Y和Z上的模糊集合，已知 A 、 B和C间的模糊 关系确定。根据此模糊关系和论域 X 、 Y上的模糊集合 A*、 B* ，推出论域 Z上新的模糊集合。即大前提(规则)：if x is A and y is B ，then z is C小前提 (事实 )：x is A* and y is B*后件(结论 )

36、：z is C首先求适配度 A和 B ：A xVX A* (x) A (x)(3.2.8)xXB V B* (x) B (x)xX然后求激励强度 ：AB(3.2.9)最后用激励度与模糊规则的后件作乘积合成运算，即C* (y)C (y) (3.2.10)图3.2.7给出了两个前件的单一规则的 Larsen模糊推理过程，其中推理结果 C*的MF 是模糊集 合 C 的 MF 与激励强度 ( A B ) 合成的结果。这种合成方法可以直接推广到具有多于两个前 件的情况。图 3.2.7 多前提单规则的 Larsen 模糊推理过程(iii) 具有多个前件多条规则的模糊推理 设 A*、 A1、 A2 、 B*

37、 、 B1、 B2和C * 、 C1 、 C2分别是论域 X、Y和 Z上的模糊集合， A1、B1和 C1间的模糊关系及 A2 、 B2和C2间的模糊关系都已知。现在根据论域 X 、 Y上的模糊集合 A*、B*， 推出论域 Z 上新的模糊集合 C*。即大前提 1 (规则 1)：if x is A1大前提 2 (规则 2)：if x is A2小前提 (事实 )：x is A*后件(结论 )：首先求出规则 1的适配度 A1和 B1 ：A1B1同样求出规则 2的适配度 A2 和 B2：A2 B2and yand yand yVxXVxXVxXVxXisisis然后分别求出两条规则的激励强度 1和 2

38、 ：B1 ，then z is C1B2 ，then z is C2B*A* (x) B* (x)A1 (x)B1 (x)z is C(3.2.11)A*(x)B*(x)A2 (x)B2 (x)(3.2.12)1 (3.2.13) B2分别求出每规则所得的结论， 并且做取大1 A12 A2最后用激励度与相应的模糊规则的后件作乘积合成运算， 运算获得最终的结论，即C* (y) 1 C1(y)V 2 C2 (y)(3.2.14)图 3.2.8 给出的是两前件两规则的 Larsen模糊推理过程，当这种推理过程可以推广到任意个前 件任意多条规则的情况。图 3.2.8 两前件两规则的 Larsen 模糊

39、推理过程三、Zadeh 模糊推理法 通过前面分析可知，模糊推理的结果主要取决于模糊关系及合成运算法则。与 Mamdani 推理 法相比， Zadeh 推理法也是采用取小合成运算法则，但是其模糊关系的定义不同。下面具体给出 Zadeh 的模糊关系定义。设 A 是 X 上的模糊集合， B 是 Y 上的模糊集合， 二者间的模糊蕴涵关系用 RZ(X,Y) 表示。Zadeh 把 RZ (X,Y) 定义为RZ (x,y) A(x) B ( y) V 1 A(x) (3.2.15) 如果已知模糊集合 A和 B的模糊关系为 RZ(X,Y)，又知论域 X上的另一个模糊集合 A* ，那么 Zadeh模糊推理法得到的结果 B* 为：B* A* RZ(X,Y)(3.2.16)其中“ ”表示合成运算，即是 模糊关系的 Sup 运算 。B* (y) Sup A* (x) A(x) B ( y)V(1 - A(x)(3.2.17)xX式中“ Sup