一元二次方程的根与系数关系的应用

1、课题：一元二次方程的根与系数关系的应用一、复习导入：上节课我们学习了一元二次方程的根与系数的关系（也就是韦达定理），具体内容如下：如果方程ax2 bx c 0（a0）的两个实数根是捲、x2,那么bcXi X2一，XiX2 -aa另外我们还研究了韦达定理的逆定理，内容如下：bc如果实数Xi、X2满足Xi X2-,XiX2 -，那么Xi、X2是一元二次方程aaax2 bX c 0的两个根.最后我们研究了韦达定理的两个重要推论，内容如下：推论1 :如果方程X2 px q 0的两个根是x2 ，那么Xi X2p,Xi X2 q.推论2 :以两个数xi、X2为根的一元二次方程（二次项系数为1 ）是X2 （

2、x-i x2）x X-|X20.今天我继续来研究一元二次方程的根与系数关系的应用二、讲授新课：一元二次方程的根与系数关系的应用应用1:验根，不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方 程的两个根例题1:不解方程，检验下列方程的解是否正确.方程 x2 2._3x 2 0的两根为 x13 1,x2,3 1.解：x1 x2 ( .3 1),3 1 2. 3,x1x2.3 13 1 3 1 2X1, X2 满足 X1X2 , X1 x2aaX1、3 1, X2. 3 1 是方程 x2 2、3x 2 0的根.应用2:由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数 .例题2:已知方程2x2 kx 1

3、0 0的一个根是 2则k ，它的另一根为.解法一：2 是方程 2x2 kx 10 0 的根， 2 -22 k? 2 10 0,k1.把k1代人原方程得2x2 kx 10 0，解得另一根为总.（传统方2法）解法二：设方程的另一根为x1，则2x5 - 22又5 - 2X15k1故方程的另一根是2，k的值是-1（韦达定理应用）应用3:不解方程，可以利用韦达定理求关于 xi、X2的（非）对称式的值2Xi2 1X2 ,Xi1X2XiX2X2XiXiX2,丄丄等等这类为对称式，而Xi X2Xi2xix26 _2 3X2, Xi2 Xi X2等等这类为非对称式注意：如果把含Xi、X2的代数式中的Xi、X2互

4、换，代数式不变，那么，我们就称这类代数式为关于Xi、X2的对称式，否则称为非对称式例题3:已知xi> x2是方程x26x 30的两实数根,生殂的值为Xi X2Xi2 4xi 2x2的值为解： xi> x2是方程x2 6x30的两个根,XiX26,x1x23xix2XiX22 2x2xix2xiXiX2Xi X222 xi是方程x2 6x30的根,2为 6xi 30，2xi6Xr 32xi4xi 2x2 = 6x-|3 4xi 2x22x-| 2x2Xix23 9应用4:已知方程的两根，求这个一元二次方程例题4:求一个一元二次方程，使它的两根是:Xi3, x2解:c 153Xi3,X

5、2Xi X2,XiX22 2 253该方程可以是x22x 30，可化为2x2 5x2 2应用5:已知两数的和与积，求这两个数.例题：已知a,b满足a b 2,ab 3,求a,b的值解:a b 2,ab 3，a,b可以看作方程x22x 30的两根方程x2 2x 30可化为x 3 x 10， a3,bi 或 ai,b 3应用6:已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值例题6:已知方程x22 m 2xm240有两个实根且它们的平方和比它们的积大21，求m的值.解：设方程的两根为X2，X1X22 m 2 , X1X2m24又 x12 x22 x1x221， x12X23x1x2212 m 2

6、 23 m2421，整理得m216m 17m1 17, m21当m 17时，0，原方程无实根.p 0的两根之当m 1时， 0,原方程有两个不相等的实根. 应用7:证明方程系数之间的特殊关系差，求证：pq或pq4证明：设方程X2pxq0的两根为X1、X2，X2qxp 0的两根为由题意知X1 x2X3X4，故有 x12 2x1x2 x22X32 22X3X4 X4从而有X1 X2 214x1 x2X3X4 24X3X4 根据韦达定理，有X1X2p,X1X2q,X3 X4q,X3X4p 把带入，有p24qq2 4p，即 p2 q24p4q 0即 p q p q4 pq0，即 p q p q40故p

7、q 0或pq 40，即p q或p q4qx应用8解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等X3、 X4例题7:设方程x2 px q 0的两根之差等于方程x2例题&已知a,b,c是 ABC的三边，关于x的一元二次方程x2a b 2x 应用 9：根的分布问题 利用根的判别式和根与系数的关系， 可进一步确定根的分布问题， 这也 是中考命题的热点，现总结规律如下：2c-2a b2a0的两根之和与两根之积相等，判定三角形的形状解：设方程的两根为X1> X2，根据题意知X1X2X1X2根据韦达定理，有x1X22a b 2,x1x22a b 2a把带入，有a b222ab ia，即a2

8、b2 c2，故是直角三角形方程有实数根：0;方程无实数根：0方程有两个相等实数根：0(方程有两个不相等实数根：方程有两个正实数根：0, x1x20, x1x20方程有两个负实数根：0, x1x20, x1 x20方程有一正一负实数根：0, x1 x20方程有一正一负实数根且正根的绝对值大：0, xix20, xi x2方程有一正一负实数根且负根的绝对值大：0, xix20, xi x2方程仅有一正实数根：x1 x20或 x1x20, c0(11)方程仅有一负实数根：Xi X20或 xi X20,c0000b0c(12)方程有一根为0： c 0 ;(13)方程有两根都为0:对于一元二次方程 aX

9、2 bX c 0(a0), 设其两根为 X1, X2(14)方程仅有一根为0： b 0,c0(15)方程两根互为相反数：b 0,XiX20 ; (16)两根互为倒数:0, x1 x2(18)根大于 m，根小于 m( m 为实数)：0,ximx2m0(19)两根都大于m :0, ximx2m0,ximx2m0如两根都小于m :0, ximx2m0,ximx2m0例题 9：已知关于x的两个方程2x2m4xm40与(17)两根互为负倒数:0, x1x21 ;mx2 n 2 x m 30，方程有两个不相等的负实数根，方程有两个实数根 .求证方程两根符号相同解： 方程 2x2 m 4 x m 40有两个不相等的负实数根，设这两个负实数根分别为 x1 , x2，0, x1x20, x1 x202m 4 m 4即m 4 8 m 4 0, 0, 0，解不等式组得m 4，由方程有两个实数根，可知m 0, 当m 4时，