20届高考数学一轮复习讲义(提高版)专题5.3平面向量的数量积及运用(原卷版)

1、5.3平面向量数量积【套路秘籍】千里之行始于足下1-向量的夹角已知两个非零向量&和厶作OA=a. OB=b则厶弦就是向量“与&的夹角，向虽:夹角的范国是0兀2. 平而向量的数量积定义设两个非零向量&的夹角为5则数ab -cos 叫做反与6的数量积(或内积)，记作"b投影a cos 叫做向量a在&方向上的投影，b cos &叫做向量6在a方向上的投影几何意义数量积&等于a的长度"与6在a的方向上的投影b cos "的乘积拓展：向量数量积不满足： 消去律，即a* b= a* cb=c', 结合律，即G 为小&qu

2、ot;Gc).3. 向量数量积的运算律(l) a b=b a.(久 a) b= 1 a b'> a * (人 &)=人 a b(3) (a+b) ca c+b c.4. 平而向量数量积的有关结论已知非零向量a=Gs yJ > b= g上)，a与6的夹角为".结论几何表示坐标表示模1 al =yl& aa =寸£+说夹角cos 0 =a b &国兀圧+ "北C°S点+艮毬&丄&的充要条件a b=Q主上+从必=0a b与& &的关系丨 a 6| W1 aI b-Vi-vb+yijl

3、W*/(垃+玄)(+£)5. 向量在平而几何中的应用（1）用向量解决常见平而几何问题的技巧:问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a/ b>a=人 &=>弘上*y, = 0,其中 a= (-Vi, yi), b=也 y：)> “HO垂直问题数量积的运算性质&丄ba />=00弘上+必处=0,其中&=（出，戸），b= g 处），且&, 6为非零向量夹角问题数量积的泄义cos 0 、j匕（“为向扌ii a，ZHI'J夹角），其中a，b为-11-零向 量长度问题数量积的定义1 aJ I-111 a (at,

4、y) > 4 为非零向量（2）用向量方法解决平而几何问题的步骤平而几何问题这回車向量问题乜解决向量问题輕解决几何问题.6. 向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题, 进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考査的主体.【修炼套路】为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一数量积基本运算【例1（1）平而向量&与&的夹角为45° ,尸（1,1）, b =2,贝 2a+b等于（）A. 13+6住 B. 2托 C.倔D回（2）已知向量'厶满足（2“一D （“+D=6,且冷|=

5、2, b =b则“与0的夹角为（3）已知点丛B, Q在圆1上运动，且曲丄处若点尸的坐标为（2,0）,则PA+PBPC的最大值 为（）A 6 B. 7 C. 8 D. 9!【套路总结】Ij 一.平而向量数量积的类型及求法：| 1平面向量数量积有两种计算公式:一是夹角公式。上=1“1cos&：二是坐标公式a b = xlx2 + yly2.2. 求较复杂的平而向量数量积的运算时，可先利用平而向量数量积的运算律或相关公式进行化简.二. 求解平而向量模的方法1. 写岀有关向量的坐标，利用公式即可.2. 当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，|韵=肩.三. 求平而向量的夹角的方法xm+

6、yy心+y： px；+y；1定义法：cos °=|fnr*注意0的取值范围为0，叮.2坐标法:若 a=(xi, yi) > b=(xs, y：),则 cos3. 解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解.四. 求向量模及最值（范恫）的方法1. 代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解2. 几何法（数形结合法），弄淸所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解c Hd E 4 r»_L /七HU | | I I 4 丨1 I I I « 亠 Jdfe fB【举一反三】1设向量厶满足a =2> b =1, a (&

7、;一砂=3,则厶与厶的夹角为2已知向量乔与走的夹角为120°，且 篦=3, AC =2.若乔=人篦+立且菲丄岚 则实数人的值为.3设向；,b、c 满足 a= b =2, a 厶=2, (a c> b cl =60",贝 lj c 的最大值为4. 已知向量4, b、c,满足a =2, b =a 6=3,若(c2z») | c鈔) = 0,则bc的最小值是(A 2一& B. 2+V§ C. 1 D 25在磁中，已知AB= (2, 3),花=(1, &),且遊的一个内角为直角，则实数&的值为考向二平而向量与其他知识的综合【例2】如

8、图，在中，已知点疋分別在边曲，證上，且初=3肋，BC=2BE.C用向量乔，庞表示庞：设AB=9. AC=6. J=60° ,求线段加的长.【套路总结】向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于'包装”，关键是利用向量的意义、运算脫去“向量外衣S导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.1/十口心E知E./ /TT4-宀 I、.1/ /=!* At7J 4. JL -zfa*E A口右【举一反三】1 已知0是遊内部一点，OA+OB+OC=Q, ABAC=2且,则宓的而积为()J3 1a/32A- 3B-2

9、C 2D-3 2.过抛物线/=2ay(P>0)的焦点尸的直线1与抛物线在第一象限的交点为A.与抛物线的准线的交点为B, 点月在抛物线的准线上的射影为C,若乔=扇，BA 5C=48,则抛物线的方程为()A y=8xB y =4-vC /=16-yD #=4、/y上的一个动点，则预莎的3. 已知0是坐标原点，点川一 1,2),若点.心 y)为平面区域“W1，穴2取值范围是【运用套路】-纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行A. 2_(B. 21向a.b的夹角为120c = 2,则cl + 2J+c的最大值为(C. 2 + >/3D. 42.设向量5 满足同=1, + b+万)=0 ,则 2a-

10、b ()A. 2B 2jJC 4D 4、/J3. 已知正三角形ABC的边长为2,设AB = 2a.BC=h,则()A. a+b =1B &丄bC(4d +厶)丄5 D ab = 4.已知AABC的边A3,4C的长分别为20,18, ZBAC = 120° 9则AABC的角平分线AD的长为(B9019180775. 在磁中，AB+AC = AB-AC , AB=2, AC=1, E,尸为證的三等分点，则庞乔等于(A-910B百266. 若0为所在平而内任一点，且满足(OB-OC) - (OB+OC-2OA)=Q,则月證的形状为(A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直

11、角三角形7. 平行四边形ABCD中，AC、BD在而上投影的数量分别为3,是（）A. （l,+°c）B. （1,3）C.（0,+8）D.8. 设向量方=（忑1）,方=（1,一2）,且&丄云,贝a+b=（）A. y/5B. 0c. 2>/5D.9. 在44BC中，若而.AC = 2且ZBAC = 30。，则44BC的面积为A 书B “C TD10. 已知AABC中.ZABC = 90 > AB = 2 D是边BC上一动点，A. 2B-2C. 4D.11. 已知向量盘与厶方向相同,方=（血，-岡,网=2,则|屈"则D万在貳上的投影的取值范用（0,3）10（）2

12、忑T则而而=（）无法确泄在平而直角坐标系尸中，a在x轴、y轴正方向上的投影分别是-3、4,则与&平行的单位向量是13.已知向量4 = (1,2), = (-4,3),则向虽:厶的单位向量为,向虽方在方方向上的正射影的数量为14设数轴上有四个点儿B、C、Q,其中儿Q对应的实数分别是1和一3, ±AC=CB.乔是单位向量,则点万对应的实数为；点。对应的实数为: bc =.15直线2% + y - 3 = 0与圆兀2 +卩2_2%一 2y = 0相交于4, 3两点，0为坐标原点，则力+ 0B =.16. 已知向量p-可=网,p-2万卜円则向量乔的夹角为17. 在AABC中，D为43

13、的中点，点。满足CO = 2OD 04丄OB,若AB = 0,则疋茕=18.已知向a9b满足：p + 4可=3, |2总-3习=2,当丽7可取最大值时,a_ 屠19. 若两个非零向量乳b满足ci + b=a-b=2cit则向量盘与a+b的夹角为20. 设非零向量乩5的夹角为&，若叶2同，且不等式陋+羽N +羽对任意&恒成立，则实数几的取值范围是21. 已知磁是边长为2的等边三角形，尸为平而磁内一点，则PA - (PB-Pd)的最小值是22. 已知a, b是两个互相垂直的单位向量，且ca=c*1,则对任意的正实数t, c+加+的最小 值是_23已知a, b是单位向量，a b=Q.若向量c满足cab =1,贝lj c的取值范用是_24.如图所示，半圆的直径AB=6, 0为圆心，C为半圆上不同于儿万的任意一点，若尸为半径&上的动 点，则(鬲+丽无的最小值为2