【线性代数期末试卷】线代期末试题4

1、20二20学年-一“线性代濒科目考试试题4i:批审:题审:题命 ：号学:名姓线)线封密出 封超能不题答(密闭卷考试；时间120分钟；可以使用没有记忆功能的普通计算器：否 使用班级(老师填写)：! R(A)<n!4.向量 (2,1,0,2)T的模(范数)3.|卜设A为3阶方阵，且|A|=-2，则A的伴随矩阵A*的行列式|A*|=4_.|二、选择题：(每小题3分，共15分)卜 设n阶矩阵A的行列式等于D，贝U kA等于(C ).|i1(A) kA(B) knA(C) kn 1A(D) A2. 设向量组A能由向量组B线性表示，则( D ).(A) R(B) R(A) (B) R(B) R(A)

2、 (C) R(B) R(A) (D) R(B) R(A)Ii3. 设n阶矩阵A，B和C，则下列说法正确的是(B ).写填生学级班(A) AB AC 贝U B C(B) AB 0,则 A 0或 B 0(D) (A B)(A B) A2 B2(C) (AB)tatbt4.向量组 1(1,0,0),2 (0,1,0), 3(0,0,0),4(1,1,0)的取大无关组为(A)(A)1, 2(B)1 ,2 ,4(C)3,4( D)1 ,2 ,35. n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是B第 4 页(共6页)”一 十(A)矩阵A有n个特征值(B)矩阵A有n个线性无关的特征向量(C)矩阵A的行列式A 0

3、(D)矩阵A的特征方程没有重根21411.计算4阶行列式D312112325062214121402140解3121C4C23122冷231221232123012305062506221402140431220123000003-6每题各10分)、计算题 (50分,第1、2各5分,(52.求矩阵的逆解：(A,E)131323131313131323131313(5分)33.求矩阵A1的特征值和特征向量13解：由|A EI31(3)2 1(4)(2) 01 11 3得A的特征值为12, 2 4-(3分)由A 2E1 1 1 11100，得基础解系P1(1,1)T ,A对应于12的全部特征向量为

4、xk1(k10).（7分）当24时,解方程组（A 4E）x.由 A 4E111 1J110 0得基础解系P2(1,1)T ,A对应于24的全部特征向量为x k2P2(k20).(10 分):号学:名姓当i 2时，解方程组（A 2E）x第 7页（共6页）写填生学级班a11|A|1a1(a 2)(a 1)2（4分）11a知Ii（1 ）当a 1、0、1时R（A） 3此时向量组线性相关（7分）4.问a取什么值时向量组a1 (a 11)T a2 (1 a1)T a3 (11 a)T1）线性相关，2)线性无关.解 以所给向量为列向量的矩阵记为A由（2）当a 1且a 0且a 1时R（A）=3 此时向量组线性

5、无关（10分）5.求下向量组的秩和一个最大无关组， 并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵.1234知 R（A） 2,2为一个极大无关组.XiX2yiy2 2,解得X12 ,X21*y21.则有1故列向量组的最大无关组含3个向量.故a1.a2.a4,为列向量组的一个最大无关组即得938| 32,a5 4a1 3a2 3a46.求方程组X12x15x11210而三个非零行的非零首元在1、2、4三列，（7 分）（10 分）x25X3 2X41的全部解，并用齐次线性方程组的基础解系表2x3 2x43X23x2示出来.解：作方程组的增广矩阵1B

6、 25B = （AMb）,并对它施以初等变换:1138132（3 分）XiX38与所给方程组同解的方程为X2X3X413.2当X3 0时得所给方程组的一个解(8 13 0 2)t(6分)与对应的齐次方程组同解的方程为XiX3X2X4X3 .0(1110)T当X3 1时得对应的齐次方程组的基础解系 所以所求方程的通解为XiX2X31 =c113, 其中c为任意常数.0(10 分)X4四、证明题（每小题8分，共16分）并求(A E) 11.设方阵A满足A2 2A 4E O证明A E都可逆(A E)A 3A 3E E (A E)(A 3E) E1(A E) 1 A 3E(10 分)台匕冃匕第 5页（共6页）I2.已知向量组ai,a2,a3线性无关,b1a1 a2, b2a2a3, b3a3证：设有一组数k1,k2,k3使k11 + k22 + k3 3=0,即 k1()k2(2分)成立整理得(ki k3)(ki k2)(k3 k2)0由，线性无关，故匕k3k1 k2 k2 k