2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国Ⅰ卷)

1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。、选择题：本题共 12小题，每小题 5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的。1已知集合 M x4 x 2， Nx x26 0 ，则M I N=23Ax 4 x 3Bx 4 x 2Cx 2D x 2 x 3设复数 z

2、满足 zA ( x+1) 2 y2i =1 ，z 在复平面内对应的点为（x， y），则BD(xx2已知 a log 2 0.2， b20.2，B221)2y2 1(y+1)2 10.20.3 ，则cbx2 (y 1)2 1古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5 1（ 5 1 0.618，称为黄金分割比例 ），著名的“断臂维纳斯”便是如此此2251 外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5 1 若某人满足2上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是A 165 cmB 175 cmC 185

3、cmD 190 cmsinx x5函数 f(x)=2 在 , 的图像大致为cosx xBD6个重卦，则该重卦恰有3 个阳爻的概率是A516BC32 32D11167已知非零向量 a，b满足|a| 2|b|，且 (a b)b，则 a 与 b 的夹角为6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的ABC2D568如图是求的程序框图，图中空白框中应填入爻组成， 爻分为阳爻 “ ”和阴爻 “ ”，如图就是一重卦 在所有重卦中随机取一1AA=2A9记 Sn 为等差数列A an 2n 5BA= 2 1ACA= 1 2ADA=1 21A an 的前 n 项和已知 S40， a55 ，则

4、Ban 3n 10Sn 2 n8nDSn 12 n2 2n10已知椭圆 C 的焦点为 F1(1,0) ，F2(1,0) ，过F2的直线与交于 A， B 两点|AF2 | 2|F2B|，| AB| |BF1|，则 C的方程为A22x2 y2 122xyB 3 2 1CD511关于函数 f (x) sin | x| |sin x |有下述四个结论： f(x)是偶函数 f(x)在区间()单调递增f(x)在 , 有 4个零点 f(x)的最大值为 2其中所有正确结论的编号是ABCD12已知三棱锥 P- ABC 的四个顶点在球 O的球面上， PA=PB =PC， ABC 是边长为 2的正 三角形， E，F

5、 分别是 PA，AB 的中点， CEF =90°，则球 O 的体积为A8 6B4 6 C 2 6D 6、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线 y 3（x2 x）ex在点 （0，0）处的切线方程为 1214记 Sn为等比数列 an的前 n项和若 a1，a42 a6，则 S5= 315甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为 “主主客客主客主 ”设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4 1获胜的概率是 22xy16已知双曲线 C

6、： 2 2 1（a 0,b 0） 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F 1的直线与abuuur uuur uuur uuuurC的两条渐近线分别交于 A，B两点若 F1A AB， F1B F2B 0，则 C的离心率为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 1721题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17 （12 分）ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，设（sinB sinC）2 sin2 A sin B sin C （ 1）求 A；（ 2）若 2a b 2c ，求 sin

7、C18（ 12 分）如图，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面是菱形， AA1=4，AB=2，BAD=60°，E，M， N 分别是 BC， BB1，A1D 的中点1）证明： MN平面 C1DE ；2）求二面角 A-MA 1-N 的正弦值19（ 12 分）3已知抛物线 C：y2=3 x的焦点为 F，斜率为 的直线 l与 C的交点为 A，B，与x轴的交2点为 P (1)若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程；uuur uuur(2)若 AP 3PB，求 |AB|20( 12 分)已知函数 f(x) sin x ln(1 x)， f (x)为 f (x)的导数证明：(1) f (

8、x) 在区间 ( 1, ) 存在唯一极大值点；2(2) f (x)有且仅有 2 个零点21( 12 分)为治疗某种疾病， 研制了甲、 乙两种新药， 希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试 验 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验 对于两只白鼠， 随机选 一只施以甲药，另一只施以乙药 一轮的治疗结果得出后， 再安排下一轮试验 当其中 一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验， 并认为治愈只数多的 药更有效为了方便描述问题，约定： 对于每轮试验， 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙 药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白 鼠未治

9、愈则乙药得 1 分，甲药得 1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ，一轮试验中甲药的得分记为 X( 1)求 X 的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分， pi(i 0,1,L ,8) 表示“甲药的累计得分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效 ”的概率，则 p0 0 ，p8 1 ，pi api 1 bpi cpi 1 (i 1,2,L ,7) ，其中 a P(X 1)，b P(X 0)，c P(X 1)假设0.5，0.8(i)证明： pi1 pi (i 0,1,2,L ,7) 为等比数列；(ii)求 p4 ，并根据 p4的值解释这种试验方案的合

10、理性(二)选考题：共 10分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第题计分。22 选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为1 t2 ，2，1 t ( t 为参数) 4t1 t2以坐标原点 O为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立极 坐 标 系 ， 直 线 l 的 2 cos 3 sin 11 0 （ 1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值极坐标方程为23 选修 45：不等式选讲 （10 分）已知a，b，c 为正数，且满足abc=1 证明（1）11 1 2 2 2

11、 abcabc（2）(a33b)3 (b c)3 (c3a)3 24 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 ?参考答案 一、选择题1C 2C 3B 4B 5D 6A 7B 8A 9A 10 B 二、填空题12113 y=3x1415 0.18163三、解答题2 2 217 解 ：（ 1 ） 由 已 知 得 sin B sin C sin A sin B sin C ， 故 b2 c2 a2 bc 11C 12 D由正弦定理得由余弦定理得 cos A222bca2bc因为 0 A 180 ，所以 A 60 2sin C ，（2）由（1）知B 120 C ，由题设及正弦定理得 2si

12、n A sin 120 C即631cos Csin C2sin C ，可得 cos C 6022222由于 0C120 ，所以 sinC602 ，故2sin CsinC 60 60sinC 60 cos60 cosC60sin 606 2 418解：（ 1）连结 B1C， ME因为M， E分别为 BB1，BC的中点，1所以 MEB1C，且 ME= B1C21又因为 N为A1D 的中点，所以 ND= 2 A1D由题设知 A1B1 P DC，可得 B1C P A1D ，故ME P ND，因此四边形 MNDE 为平行四边形， MNED 又MN 平面EDC 1，所以 MN平面 C1DE（2）由已知可得

13、 DE DAD- xyz，则以 D为坐标原点， uDuAru的方向为 x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系( 1, 3, 2) ，uuur uuuurA(2,0,0) ，A1(2，0，4)，M (1, 3, 2) ，N (1,0,2) ，A1A (0,0, 4) ，A1MuuuurA1Nuuuur( 1,0, 2) ， MNuuuur m A1M 0 设 m (x, y, z)为平面 A1MA的法向量，则uu1urm A1 A 0所以 x 3y 2z 0，可取 m ( 3,1,0) 4z 0uuuur n MN 0， 设n (p,q,r)为平面 A1MN的法向量，则uuuurn A1 N

14、0所以 3q 0， 可取 n (2,0, 1) p 2r 0m n 2 3 15 是 cos m, n| m n | 2 5 5所以二面角 A MA1N 的正弦值为 10 519解：设直线 l : y2x t,A x1,y1 ,B x2,y23351)由题设得 F ,0 ，故 | AF | | BF | x1 x2，由题设可得 x1 x2422y 3 x t 由 y 2 x t ，可得 9x2y2 3x212(t 1)x 4t 20 ，则 x1x212(t 1)9从而 12(t 1)952，得t所以 l 的方程为37 yx282)由uuurAPuuur3PB 可得 y13y2 由y2y3x23

15、xt ，可得 y2 2y 2t0所以 y1y22 从而 3y2 y22 ，故 y21,y13代入 C 的方程得 x13,x2 3故|AB|4 13320解：(1)设 g(x)f '(x) ，则 g(x)cosx11， g'(x)xsin x12. (1 x)2当x1,2 时，g'(x)单调递减，而g'(0)0,g'(2) 0 ，可得 g'(x) 在1,2 有唯一零点，设为 .则当 x ( 1, ) 时， g'(x) 0；当 x时， g'(x) 0.所以 g(x) 在 ( 1, )单调递增，在, 单调递减，故 g(x) 在21,2存

16、在唯一极大值点，即 f '(x) 在 1,2 存在唯一极大值点 .2) f (x) 的定义域为 ( 1, ).i)当 x ( 1,0时，由(1)知， f '(x)在( 1,0)单调递增，而 f '(0) 0，所以当x ( 1,0)时， f '(x) 0，故 f(x)在( 1,0)单调递减，又 f (0)=0 ，从而x 0是 f(x)在( 1,0的唯一零点 .ii)当x 0,2 时，由(1)知， f'(x)在(0, )单调递增，在, 单调递2减，而 f '(0)=0 ， f '0 ，所以存在，2,2 ，使得 f '( ) 0，且当x

17、 (0, )时，f '(x) 0；当 x, 时，f'(x) 0.故 f(x) 在(0, )单调递增， 2在 , 单调递减.2又 f (0)=0 ，1 ln 120，所以当 x 0,2 时， f (x) 0.从而，f (x) 在 0, 没有零点 .2iii )当x, 时，f '(x)0 ，所以 f (x) 在 ,单调递减.而 f0，222f ( ) 0 ，所以 f (x) 在 ,有唯一零点 .2iv)当 x ( , ) 时， ln( x1) 1，所以 f(x)<0，从而 f (x) 在( , ) 没有零点.综上， f (x) 有且仅有 2个零点 .21解： X 的所

18、有可能取值为 1,0,1.P(X 1) (1 ) ，P(X 0) (1 )(1 )，P(X 1) (1 )，所以 X 的分布列为因此pi 1i）由（ 1）得 a 0.4,pi =0.4 pi 1+0.5 pi +0.1 pipi 4 pi pi又因为 p1 p0 p10，比数列ii)由（ i ）可得p8p8 p7p7p6由于p8 =1 ，故p1348p4p4 p3b 0.5,c 0.1.1，故 0.1所以 piL p1，所以1p3 p2p2pi 1pi0.4 pi pi 1 ，即1 pip0p1p4 表示最终认为甲药更有效的概率，(ip0p10,1,2,L ,7） 为公比为 4，首项为 p1 的等p8 p7 p7p0443 1p1841 p6 Lp1 p0p13由计算结果可以看出，0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为 p4时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理222解：（1）因为 1 11 tt2 1，且 x2t2t24t2t21257在甲药治愈率为10.0039 ，此2572 1 ，所以 C的直角2坐标方程为 x2 y 1(x 1).4l 的直角坐标方程为 2x 3y 110.2）由（ 1）可设 C 的参数方程为x cosy 2sin为参数，).4cos 11 |2cos 2 3sin 11| 3C上的点到 l 的距离