奥数计数综合学生版

1、计数综合知识点拨：一、排列一般地，从n 个不同的元素中取出m ( m n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列文档收集自网络，仅用于个人学习根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列文档收集自网络，仅用于个人学习排列的基本问题是计算排列的总个数从 n 个不同的元素中取出m ( m n )个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做Pnm 文

2、档收集自网络，仅用于个人学习根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤 1 ：从 n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；步骤 2 ：从剩下的( n 1)个元素中任取一个元素排在第二位，有( n 1)种方法；步骤m ：从剩下的n (m 1)个元素中任取一个元素排在第m个位置，有n (m。 n m 1(种)方法;由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是n(n1)( n2)L ( n m1)，即Pnm (n n 1) ( . n 2)( L n m 1) ，这里，m n ，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1 ，共有 m 个因数相乘。文档

3、收集自网络，仅用于个人学习二、组合一般地，从n 个不同元素中取出m 个 ( m n )元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合文档收集自网络，仅用于个人学习从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合 文档收集自网络，仅用于个人学习从 n 个不同元素中取出m 个元素 ( m n) 的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数.记作cnmo一般地，求从n个不同元素中取出的 m个元素的排列数 K

4、可分成以下两步：第一步：从n个不同元素中取出 m个元素组成一组，共有 Cm种方法；第二步：将每一个组合中的 m个元素进行全排列，共有 Pmm种排法.根据乘法原理，得到pm cm pmm,因此，组合数cm 驾 n(n 1(n 2) L(n m 1Pmm(m1(m2) L 3 2 1这个公式就是组合数公式.例题精讲：一、 排列组合的应用【例1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？(1)七个人排成一排；(2)七个人排成一排，小新必须站在中间.(3)七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间(4)七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边(5)七个人排成一排，小新、阿呆都没有

5、站在边上(6)七个人战成两排，前排三人，后排四人.(7)七个人战成两排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。5的三位数?【例2】 用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是【例3】 用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个 3的倍数?【巩固】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶 数？【例4】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9,那么确保打开保险柜至少要试几次？文档收集自网络，仅用于个人学习【例5】 两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都

6、不与自己的同胞兄妹相邻，（同一位置上坐不同的人算不同的坐法），那么共有多少种不同的坐法？文档收集自网络，仅用于个人学习【例6 一种电子表在 6时24分30秒时的显示为 6: 24: 30,那么从8时到9时这段时间里，此表的 5个 数字都不相同的时刻一共有多少个？文档收集自网络，仅用于个人学习【例7】 一个六位数能被11整除，它的各位数字非零且互不相同的.将这个六位数的6个数字重新排列,最少还能排出多少个能被 11整除的六位数？文档收集自网络，仅用于个人学习几何计数例8 下图中共有 个正方形。【例9 在图中（单位：厘米）：一共有几个长方形？所有这些长方形面积的和是多少【例10】一个圆上有12个点

7、Ai,A2,A3,，Aii,A12.以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交.问共有多少种不同的连法【解析】我们采用递推的方法.I如果圆上只有3个点，那么只有一种连法.4甭任三启形亲下克教肿鼓乐3131局一31?文档收集自网络，仅用于个人学习n如果圆上有6个点，除Ai点所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在 Ai所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法。出如果圆上有9个点，考虑Ai所在的三角形.此时，其余的 6个点可能分布在:Ai所在三角形的一个边所对的弧上；也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上.在表2中用“

8、 + ”号表示它们分布在不同的边所对的弧.如果是情形，则由H,这六个点有三种连法；如果是情形，则由，每三个点都只能有一种连法.4所在三角凿余下点数种数&63i4| AjjA96363露3 + 313+314 力手Mg3 + 31表2共有i2种连法.IV最后考虑圆周上有 i2个点.同样考虑 Ai所在三角形，剩下9个点的分布有三种可能:9个点都在同一段弧上:有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上;每三个点在Ai所在三角形的一条边对应的弧上.得到表 3.*3A1所在三角用余下点钟件数14n3，9 4 / A124 / 6912舄1 -H9124 4,43 + <>3共有 12X

9、3+3X6+ 1 = 55 种.所以当圆周上有12个点时，满足题意的连法有 55种。课后练习练习1.用2, 3, 4, 5排成四位数：(1)共有多少个四位数？(2)无重复数字的四位数有多少个？(3)无重复数字的四位偶数有多少个？(4) 2在3的左边的无重复数字的四位数有多少个？(5) 2在千位上的无重复数字的四位数有多少个？(6) 5不在十位、个位上的无重复数字的四位数有多少个?练习2.如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米.求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和。 收集自网络，仅用于个人学习文档练习3.用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形.如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么5 / 6一共要用多少根火柴 ？文档收集自网络，仅用于个人学习月测备选【备选1】书架上有3本故事书，2本作文选和1本漫画书，全部竖起来排成一排。如果同类的书不分开,一共有多少种排法？ 如果同类的书可以分开，一共有多种排法？【备选2】8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法?【备选3】一共有赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把灯串成一串，有多少 种不同的串法？把7盏灯