拉普拉斯变换

1、第八章 拉普拉斯变换（10学时）教学目的：掌握拉普拉斯变换的定义、性质和反变换的应用，主要掌握运算电路图的画 法，熟练掌握用拉普拉斯变换分析电路； 掌握跃变的概念，了解卷积和网络函数 的应用。教学重点：拉普拉斯变换的定义、性质和反变换的应用；运算电路图的画法；用拉普拉 斯变换分析线性电路；网络函数（加冲激函数）和卷积的概念。教学难点：拉普拉斯反变换（单根、复根、重根）；运算电路图；复频域分析法；卷积'8-1拉普拉斯变换定义和性质（2学时）（教材第215页）教学目的：拉普拉斯变换的定义，基本性质及 9个性质的应用。教学重点：拉普拉斯正变换，拉普拉斯变换存在的条件，拉普拉斯反变换，9个性质

2、的证明及应用。教学难点：线性性质，微分性质。积分性质，延时性质的证明及应用。教学方法：1、板书讲述拉普拉斯变换的定义，交代复频域的概念。2、拉普拉斯变换存在的条件。3、拉普拉斯反变换。4、9个性质的推导、证明及应用举例。5、例题和练习题，见备课笔记。教具：电路CAI课件，网络课件中的拉普拉斯变换部分，邱关源第四版教材及其他参考书。教学过程：基本性质，拉普拉斯正变换，拉普拉斯变换存在的条件，拉普拉斯反 变换，9个性质的证明及应用，部分举例、练习题见备课笔记。拉普拉斯拉斯变换的基本性质引言拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种 有效而重要的工具。拉普拉斯拉斯变换是一种积

3、分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换 为复频域中的常系数线性代数方程。 因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯 拉斯变换（简称：拉氏变换）法的 优点所在。拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在由网区间的函数/，其拉氏变换定义为式中:s=6 +j为复数,Lf（t）=F（s尸 有时称变量九”疝s为复频域应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法F（s）又称为f的象函数，而f称为F（s）的原函数。通常用“ L”表示 对方括号内的函数作 拉氏变换。拉普拉斯变换的基本性质本节将介绍拉氏变换的一些基本性质， 利用这些基本性质，可以很容易的 求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，

4、这些基本性质对于分析线性非时变网 络也是非常必要的。1、 唯一性定义在0区间的时间函数，与其拉氏变换尸©存在一一对应关系。根 据了的可以唯一的确定其拉氏变换 不；反之,根据F，可以唯一的确定时 问函数/。唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域 中的问题变换为复频域中的问题进行求解， 并使在复频域中求得的结果有可能再 返回到时域中去。唯一性的证明从略。2、 线性性质若工和力的是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为 用心）和玛，A和4是两个任意常数，则有4A工土4工© = /口否土式上）=4及付+4迄证根据拉氏 变换的定义可得44工但44/<*

5、）=（【4工&） +aZi（。卜"以=44图 +4（男（3） 例求血靓的拉氏变换。由于£in所以r产必Zsin 鹿=工2j= *"，!）时域导数性质（微分性质）4/。） = £尸同一，（0_）证小）】鼠分）设口=Z7,厘口= /（£）四则H =/（£）,血=-命.",代入分布积分公式以"u =SJP- J 5切可得二f W也=%*;以-出如果b>0,则当tT8时，-o,所以上式为J* /=一/QH /。型此性质可推至理阶£"'鲂”号&）-/（0_）-/（0_）Ba/

6、= - 叮（0.） - 甘2八0_） - /I） Q ） 7 "" Q）例 应用时域导数性质求 85戏的象函数。解因为距血泪=一。5曲必匕匚 a1 a （sin 6工）1 / 一 、，所以cos5=皿旗、6 或 <s>故 Zcosfi = Z （sin（2） = -（!?- 7.（sin otf - sin oe! |m ）L毋必=iQ g5。+/ J S，+，4、 时域积分性质（积分规则）若£/«）= F,贝叶的积分野拉氏变换为八身之产JU.£证川）©萩=与这广成=口3©司一设"二f/"du

7、=" 工尸，则H" = %）血u=-1区-，匚代入分布积分同- s ）s公式可得尸卜.出如果bQ则当if8时，等式右边第一项趋于零，当£二0.时，此项也等 于零*所以例：求单位斜坡函数。"）=|及/二合的象函数解因为=g=，或切片所以 匕=' 4=， S S S又因为=所以 Z£2 = A2f=-卬=4Jo s S依次为推，可得5、 时域平移性质（延迟性质）若R%）=F,则有证4/G Tq）Tq） = ， Tq）K -玩）尸出=/”幻扇令工二£-£”则"丁斗机代如上式得q/UT/ W T口） =/尸&quo

8、t;隔生=八月尸7厘Ff作业：书后习题1、2、3、4。课后记事：注意板书层次，因为内容很多，不要太乱。常用时间函数的象函数一览表，见教材 221页。8-2、8-3拉普拉斯反变换和运算电路图（4学时）（教材第221页）教学目的：具有单根、复根、重根三种情况下用部分分式及分解定理求待定系数 法，运算电路图的画法。教学重点：具有单根、复根时求待定系数法，熟练掌握反变换的求法，熟练掌握 运算电路图的画法。教学难点：部分公式及分解定理求待定系数法， 各种运算电路图的画法，注意电 压、电流的方向。教学方法：1、板书讲述具有单根情况下如何求反变换。2、具有复根情况下如何 求反变换。3、具有重根情况下如何求反

9、变换。4、三种情况下推导、证明及应用 举例。5、元件伏安关系的复频域形式。6、练习题见备课笔记。教学过程：每讲完一种情况都让学生练习，以巩固学过的内容。拉普拉斯反变换在应用拉氏变换分析问题时，首先要将时域中的参量变换为复频域中的 参量，并求得用象函数表示的解答，然后，再对象函数形式的解答进行 拉斯 反变换，以求得时域中的解答。求拉斯反变换最简单的方法是利用拉氏变换表，但一般必须进行一些数学处理，使其变为表中所列的形式。在电路理论中，常见的响应函数的象函数往往是 s的有理函数，可直接 应用部分分式展开法。将F(s)化为如下形式：F=妈=»式中：浦是M被口所除而得的商；五是余式，其次数低

10、于的次数。 一、订=0有理个单实根设口佰)=D的我个单实根分别为PiMrPn ,则都可展开为F(s) = + + '*- + 式中：M *2,，总为待定系数。若要求,将上式两边都乘0一/1),得f 正k 、/一，)斤收)=上1+值10)+ + 15-% S-Pj令£二尹1,则等式右端除外，其余各项均为零。故 .'-' '-同里可求得所以，确定待定系数的公式为< 二6-小"Ifi = 12方小田r(SJ =由于 口,所以后=g-吊*g”T=岛)我2因为凡是绯)=o的一个根，所以上式为a型不定式，故可用洛比塔法则来确定(& -R(s

11、用=hm -和一=mn 7777所以，确定待定系数的另一公式为k I；(£)_ 二人心-mil 方77 - 777Tf D D (s)1 声(可对应的原函数为/(£) = L-V( = Zi-lI，”解先将尸变为多项式与有理真分式 手1 + ；面将丫 进行部分分式展开4 4 51十 %+6- 岱 + 2)9+3)二三十 2苫+ 2岳+ 3=limAT T% =litn"土2 =3或月=(5+2)产5 2s 4-54s 4-5 r-p, , e 4s 4 5.=7 或占=(s + 3)F2s+5s:2 +5 + 613=7所以-37对应的原函数 y® =

12、6+ 5但-克中+7白3 二、力=0有共腕复根的情况演）二也二人+乙+在式'二，H一 Pr中，设 第）=0有一对共轲复根，记为Pi = AjSp* = *J。则在F的展开式中将包含以下两项: 月1度十两”。一M其中及- a'3 fI段1 - fi- fcr-hJA)I 2=-Ga-j0)-由于#（©实系数有理分式，故 自求3必为共轲复数。若设 机诽火则扁=1烽叫宓打闫。）十国-凡国一）囚对应的原函数了将是=餐/wr +上泮步击二卜卜气尸二例：求=2Kle叫匚。£川+力s + 3（£+1）（/ +2"与的原函数。解卫二。的根为Pi = -L

13、Pm =-1 + j23 =-1-j2尸的部分分式展开式为F 二i- +s + 1+1 - 72 吕+1 十 J2（川）尸中目,*"居三 S + 1 J2）F13-1+P =（中g+i + /，I'ij"二-0.25疝川.=k =-。2"41 所以，相应的原函数为 /=£1# =。.5，-U.5缶t 匚W2£ + 45口） 三、口=。有重根的情况设口付=。有一个厂阶重根Pi,其他均为单根，则 W0）的部分分式展开式为F = h +_*T + + _k_0一巧厂 0-户1丫 甘一% £一%-外式中系数 心十】'，月可按前

14、面介绍的方法确定。为了求得系数上口，% ,可将上式两端同乘以S P ），得到（£为了肝3）二1< + Q %沈口T）十十O 外广口十（£ P1）。+-_ T_：心一尹7 5一外令£二声1,即可求得 为了求出 h,可将上式两端对 s求一次导数，再令g = P,即得勺E =1 -尸1"（吼叩 as以此类推，可求得上="一小月L w最一J 9| J 2、L.、_一同产 1 *空4亚IL g =、 .+1F（b）的原函数又因为划 J 0+"）”+ ,所以，当各系数确定后，即可求得今-! 0T(r-OI (r - 2)1岛/4 +,*,+

15、为/¥耳二例：求解门=0有s+46 + 2)3(s + 1)的原函数。重根外二一2和一个单根外：二-1 ,所以，为式中(s+2)3 回+2 s + 1s + 47m-3 I7 (Hl”7尸所以其相应的原函数为%8+2了尸色丸. as=(>HF2 = "3£ 4 4<=(S + 1W5|_= -2-3-33伊+ 2- (642)。营 + 2 e+1=3/二上-】gg） = _"%E 一般甚e _31"+如一'=-（2? +曳+习自令+如t广义欧姆定律的复频域形式在讨论各元件运算电路图的基础上，现在用运算法来分析RLC串联电路,

16、如下图（a）,其为运算电路图如（b）图。人妙十 的图中的电压和电流的方向。作业：书后习题4、5、6、7、8题。课后记事：注意找出学生练习时的问题，及时解决。8-4用拉普拉斯变换进行线性电路的分析（2学时）（教材第228页） 教学目的：会用拉普拉斯变换进行线性电路的分析。教学重点：熟练掌握用拉普拉斯变换进行线性电路的分析及步骤。教学难点：跃变的问题，方向的问题，画输出曲线的问题。教学方法：1、板书讲述用拉普拉斯变换进行线性电路的分析的步骤。2、由浅入深举例讲述如何用拉普拉斯变换进行线性电路的分析。3、应用基尔霍夫定律、节点电压法、回路法、戴维南定理求解电路。4、注意跃变的问题，方向的问题， 画输

17、出曲线的问题及应用举例。5、例题和练习题，见备课笔记。教具：电路CAI课件，网络课件中的拉普拉斯变换部分，邱关源第四版教材 及其他参考书。教学过程：每讲完一种情况都让学生练习，以巩固学过的内容。用拉普拉斯变换分析线性电路对于一个线性时域动态电路来说，将其中的每一个元件用具复频域电路图表示，而不改变各元件间的联接关系，可获得该线性动态电路的复频域电路图。 根据复频域电路图，便可用运算法进行分析，其一般步骤如下：(1) 根据换路前一瞬间电路的工作状态，计算电感电流和电容电压的初始植，从而确定电路的复频域模型中反映初始状态的附加电压源的电压或 附加电流源的电流。若已给出初始值，则不必再进行计算。(2

18、) 绘出电路的复频域电路图。(3) 应用以前介绍的各种电路分析方法，对电路的复频域电路进行分析， 求出响应的象函数。(4) 对已求的象函数进行拉氏变换，求出时域响应 。下面通过几个例子来说明具体的分析方法。例题1：所示电路中，原电路已达稳态，£时开关K由a倒向b0试用运算法求炉0时的必。出)答案：-1(/)例题2:试求题图所示电路的零状态响应 u(t)答案：u(t)=-1 ' ' ''-1-1 -例题3:例 已知如图所示电路的原始状态为= 4P 0求电路的全响应熊)。1Q 0.1H2a0.5F解 首先画出电路的运算模型，如图b所示。并按图中所示的回路方

19、向写回路电 流方程01 46十5 822(l+O.k + -)/l(s)Za(s) =224_1©) +(2+$&«)=_SSS解方程得2?+30 + 101因为本题只求，所以不必再解出。利用部分分式展开法可得A（S）=y- £十5 g+5厂十6所以 5二匚二（%应 +*” 一了L'作业：书后习题9、10、11、12、13、14、题。课后记事：讲解要慢，要吸引学生的注意力，否则讲一遍学生没注意听，后面 作题麻烦。8-5网络函数及卷积（2学时）（教材第233页）教学目的：网络函数的定义及应用，加冲激函数，卷积。教学重点：熟练掌握网络函数的应用，加冲激

20、函数时的特殊情况，卷积。教学难点：网络函数的定义和应用，驱动点函数，转移函数。加冲激函数时的特 殊情况，如何组成拉氏变换对。卷积积分的推导和应用问题。教学方法：1、板书讲述网络函数的定义和应用（求法），驱动点函数，转移函 数的概念。2、举例讲述加冲激函数时的特殊情况，如何组成拉氏变换对及应用。 3、卷积积分的推导和应用。4、注意交代网络函数在自动控制中的应用及举例； 加冲激函数的特殊性；卷积积分的应用公式。5、例题和练习题，见备课笔记。教具：电路CAI课件，网络课件中的拉普拉斯变换部分，邱关源第四版教材 及其他参考书。教学过程：每讲完一种情况都让学生练习，以巩固学过的内容。一、网络函数的定义及

21、类型定义：在零初始条件下，且电路的输入激励是单一的独立电压源或电流源时，电路的零状态响应r的象函数R（s）与输入激励e的象函数E（s）之比。网络函数 用H（s）表示，即咨H（s）=-二按激励与响应的类型，网络函数可以具有不同的形式。1）如果响应与激励属于同一对端子，则网络函数称为策动点函数。具体地说，电压响应的象函数与电流激励象函数之比称为策动点阻抗函数； 电流响应的 象函数与电压激励的象函数之比称为策动点导纳函数。所以，有两种策动点函数。2）如果响应与激励不属于同一对端子，则网络函数称为转移函数。具体地说， 如果激励为电压源，则当响应为电压时，其网络函数称为电压转移函数；当响应 为电流时，其网络函数称为转移导纳函数。 如果激励为电流源，则当响应为电压 时，其网络函数称为转移阻抗函数；当响应为电流时，其网络函数称为电流转移 函数。所以，共有四种转移函数。例题3:题图所示电路中，已知：J二g =1民5 =5 =或=2sL©二面血4试求：疗 53)网络函数“夙S);(2)作出旧的零、极点分布图答案:。 十05十一其它略。网络函数一个重要性质是：当激励