上海市静安区2012学年高一第二学期期末数学试卷及答案

1、静安区2012学年第二学期期末教学质量检测高一年级数学试卷（完成时间90分钟，满分100分）2013.6、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，每题4分，只要求直接填写结果..6.7.8.已知角X的终边与单位圆的交点坐标为已知扇形的圆心角为2,面积为4,则扇形的周长为计算:函数函数lg 4f(x)f(x)设集合A设集合P10g 10 54x2x 1log 2 X 与3,sin 3,log2 a2的值域是g（x）的图像关于直线2, cos ，若 Aa,b，若 PI Q则tanx的值为x对称，则g（2）在 ABC中，已知tan AABC最大边的长为v17 ,则 ABC最小边的长

2、为9. 函数y cos(x 1), x 0,2 的图象与直线 y1 一的父点的横坐标之和为310 . 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的面积为 1 ,大正方形的面积为 25,直角三角形中较小的锐角为，那么cos2的值等于11 .已知钝角三角形 ABC的边长分别为2、 3、x,则第三边x的取值范围是、选择题（本大题满分16分）本大题共有 4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分.圈*两

3、度怆坛BBS.educixom12.既是偶函数又在区间(0,)上单调递减的函数是y cos2x.B 是acosA bcosB 的(D)非充分非必要条件.sinx与y arcsin x都是增函数；sinx与y arcsin x都是周期函数.当 x 0,时，0 f(x) 1, f(x) sinx在10 , 10 上(A) y sin x ；(B) y13 .已知 ABC两内角 A、B()(A)充分非必要条件；14 .下列命题中正确的是(A)函数y sin x与y(C)函数y sin x与y15 .设定义在R上的函数且在0,上单调递减， 2的零点个数为(A) 0;(B) 10;三、解答题(本大题满分

4、16 .(本题满分6分)已知函数f(x) log2(cosx ； (C) y的对边边长分别为(B)必要非充分条件；sin 2x ； (D)a、 b,则“ A(C)充要条件;)arcsin x互为反函数；(B)函数yarcsin x都是奇函数；(D)函数yf (x)是最小正周期为2的偶函数，在,上单调递增，则函数y2(C) 20;(D) 40.40分)本大题共有 5题，解答下列各题必须写出必要的步骤2x 2x 3),求该函数的定义域和值域，并指出其单调区间17 .(本题满分8分)，已知函数f(x) asin x cosx , a为是常数，x R .(1)请指出函数f (x)的奇偶性，并给予证明；

5、(2)当a J3, x 0,-时，求f(x)的取值范围.0aolrao?-3 -BBS.edudxom18 .(本题满分8分.请给出两种解法，每种正确解法各得4分)已知 3sinx 4cosx 5,求 tanx 的值.19 .(本题满分8分)一铁棒AB欲水平通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：(1)用表示铁棒的长度L()；(2)若铁棒能通过该直角走廊，求铁棒长度的最大值.20 .(本题满分10分)已知函数 f(x) 2 sin x cos - x 1 44(1)求函数f (x)的周期；(2)若函数g(x) f (x) 2 J3cos2 x ,试求函数g(x)的单调递增区间;(3)若f2(x

6、) cos2x m2 m 7恒成立，试求实数 m的取值范围.ciokcio 分-# -BBS.edui xom3 一、5r1. ; 2.8; 3.2; 4. 1,); 5.4; 6. 2k ,k Z ；4 477.3,0,1 ; 8. J2 ； 9.22； 10. ；11. (1,5) (Jl3,5)2512.B; 13.A; 14.D; 15.C16 .(本题满分6分)已知函数f(x) log2( x2 2x 3),求该函数的定义域和值域，并指出其单调区间.解：由x2 2x 3 0 ,解得 1x3,所以函数f(x)的定义域为(1,3).2分令tx2 2x 3 (x 1)2 4,则 0 t 4

7、,所以 f(x) log2t log2 4 2,因此函数f(x)的值域为(，2 2 分单调递增区间(1,1,递减区间为1,3) 2 分17 .(本题满分8分)，已知函数f(x) asin x cosx , a为是常数，x R.(1)请指出函数f (x)的奇偶性，并给予证明;(2)当a 叔x0,-时，求f(x)的取值范围.9BBS.edu xom解：(1) f( x) asin x cosx, f ( x) f (x) asin x cosx asinx cosx2asinx 0a 0,所以，当a 0时，f(x)是偶函数.2分f( x) f(x) asinx cosx asinx cosx2co

8、sx 0,仅对x k .k Z成立，所以，f(x)是不是奇函数.2分2综上：当a 0时，f(x)是偶函数；当a 0时，f(x)是非奇非偶函数.注：当a 0时，证明f(x)是非奇或非偶函数可举例说明.d3 时， f(x) 内sin x cosx 2sin x 一6aokci。麋由 x 0,2x sin x 1.6326BBS2分)18.（本题满分8分.请给出两种解法，每种正确解法各得4分)所以.f(x)已知 3sinx 4cosx 5,求 tanx 的值.解法1：由 3sin x 4cosx2t71 41（其中txtan-),2整理得9t2 6t 1即（3t1)20,从而213213由 3sin

9、 x4cosx5两边平方得：9sin224sin xcosx 16cos2 x 25,、，2t所以：tan x 1 t2解法2:4cosx5得:35 -sin x54 cosx51 ,其中tan43(0一）。2）1得：x2k 2,即xtan 2ktan由 3sin x由 sin(x2k所以tan xcot22从而sin(x )5,解法3;由于 25 25sin2 x 25cos2 x ,所以 16 sin2 x 24sin xcosx 9cos2x 0 ,cot I B23即(4sinx 3cosx) 0,所以 4sinx 3cosx 0,从而 tan x .4解法4:因3 sin x 3,4

10、 cos x 4 ,所以由条件得sin x 0,cosx 0 ,所以x为第一象限角，由 3sinx 4cosx 5两边除以 cosx得：3tanx 4 5secx,而 secx V1 tan2x , 所以 3tanx 4 5# tan2 x ,从而 9tan2x 24tan x 16 25 25tan2 x , 整理得 16tan2x 24 tan x 9 0 ,解得 tan x -.4解法5：由 3sin x 4cosx 5得：50 30sin x 40cosx 0 ,从而(25sin2x 30sin x 9) (25cos2x 40 cosx 16) 0,即：(5sin x 3)2 (5c

11、osx 4)2 0 于是得：sin x 3,cosx 4 ,533 所以，tan x .4解法6：设P(m,n)为角x终边上任意一点，P到原点O的距离为r ,则r Jm2 n2 ,从而由 3sin x 4cosx 5得：3 n 4 m 5,即 3n 4m 5r,r r两边平方得：9n2 24mn16m225r2,从而有：9n2 24mn16m225m225n2,整理得：(4n 3m)2 0,所以 4n 3m,显然 m 0,故 tan x 3.m 43cosx 4sinx A解法7：设3cosx 4sinx A,则由两式平方相加得：3sin x 4cosx 59 16 A2 25,所以 A 0,

12、即 3cosx 4sinx 0,故 tanx -. 434a2 b2解法 8：由 3sinx 4cosx 5得：1 sinx cosx,利用不等式 ab 5529*aokao?-9 -BBS.edudxom/曰.3 得：1 -sin x54 -cosx53-2sin x542cos x5.3当且仅当 sin x , cosx5解法9:作Rt ABC ,使ACCD AB于D ,并设这样有AC cosADAC cos BC sinAD4cos 3sin5,解，于是tan xtan解法10：因为3sin53sin x 4 cosx2.22sin x cos得d , 104一时成立, 34, BC所以

13、tan x3,则AB5,BCsinDB AB即是方程3sinxBC 3一，(此处，xAC 44cosx1,得:sin x19.(本题满分8分)4cosx5的一个2k,k Z)cosx所以即(如图所示)，5所以3sinx, ,4cosx成等差数列，于是可以设2sin x16 24 一所以5tanx1cosx 一41 ,整理得：100d2140d一铁棒AB欲水平通过如图所示的直角走廊，试回答下歹U问题:(1)用表示铁棒的长度L();(2)若铁棒能通过该直角走廊，求铁棒长度的最大值.解：(1)根据题中图形可知：L()sincos(0,)；(Baokao?BBS.eduUxom另解：L( )21 si

14、n 24161_sin2 21sin 216sin 2(2)本题即求L()的最小值由于 L( )2 2 2 sincos-,令 t sin cos , t (1,72,sin cos sin cos4t 4则得：L(t) J -t (1J2t2 11 1t -t因为L(t)在(1,72上是减函数，所以L(t)minLW2)4V2 3分所以能水平通过该直角走廊的铁棒长度的最大值为4J2 m.2sin cos2 sin cos因为 (0,-)，所以2(0,),所以当22L( )2min32 , L( ) min4v2m.20.(本题满分10分)已知函数 f(x) 2 sin x cos - x 1 44(1)求函数f (x)的周期；(2)若函数g(x) f (x) 2j3cos2x ,试求函数g(x)的单调递增区间;(3)若f2(x) cos2x m2 m 7恒成立，试求实数 m的取值范围.解：(1)因为 f(x) 2 sin x sin x 144|aokcio?- 8 -2= 2sin - x41 cos 2x sin 2x 2所以f(x)的周期T2分2(2)由(1),知 g(x) f(x)2 . 3 cos x sin 2x ,3cos2x .32分= 2sin2x -33由2k一 2x 一232k从而k x k51212所以函数g(x)的单调递