2020高中数学模块复习课学案新人教A版选修2-3

1、精品模块复习课 模块复习课核心知识回顾一、计数原理1 .分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有 m种不同的方法，在第 2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有 N= m n种不同的方法.2 .分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m#不同的方法，做第 2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m< n种不同的方法.3 .排列数(1)从n个不同元素中取出 m(mfC n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排n! n m !列数，用Am表示；(2)排列数公式 Am= n(n 1)( n 2) -( n m 1)=4 .组合

2、数(1)从n个不同元素中取出 mm n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数，用符合C表示.(2)组合数公式n- 1n- 2n-m 1mn!m n m !组合数性质：c m= crmc m+1 ="/.5 .二项式定理(1)二项式定理公式(a + b = Can2LCa! %+ Cna 片+ Cbn叫做二项式定理.(2)相关概念公式右边的多项式叫做(a+ b) ”的二项展开式；各项的系数戊叫做二项式系数；展开式中的 dan kbk叫做二项展开式的通项，记作Tk+1,它表示展开式的第 任工项.6 .杨辉三角(1)杨辉三角的特点在同一行中，每行两端都是

3、1,与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除 1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，艮ld+1=G/土生(2)各二项式系数的和 c0+ cn+ C2+-+ cn=22； c0+d+= c1+c3+cn+-= 2n-、随机变量及其分布1 .离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.2 .离散型随机变量的分布列的定义及性质(1) 一般地，若离散型随机变量 X可能取的不同值为 X1, X2,，Xi,，xn, X取每一个值Xi(i=1,2, n)的概率P(X= Xi) = pi,以表格形式表示为：XX1X2XiXnPp1p2pipn称上表为离散型随机变量 X的概

4、率分布列，简称为X的分布列.用等式可表本为 P(X= Xi)=p, i = 1,2 , n,离散型随机变量分布列还可以用图象走也.(2)离散型随机变量分布列的性质：(i ) p* i =1,2 ,，n； ( ii) p =1 i =13 .特殊分布(1)两点分布X01Pp像上面这样的分布列叫做两点分布.如果随机变量X的分布列为两点分布，就称 X服从两点分布，并称 P=p(X= 1)为成功概率.(2)超几何分布般地，在含有M件次品的N件产品中,任取n件，其中恰有X件次品，则F(X= k)=Ck/iCmCNPMCN，k=0,1,2X01mPCMCN- M CNc!cNM cNCOM 4其中 mr

5、minM, n,且 nW N, W N, n, M NC N*.如果随机变量 X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.4 .条件概率(1)条件概率的定义 P AB 一般地，设 A B为两个事件，且 RA)>0,称P(B| A)=为在事件A发生的条件下，事件 B发生的P A条件概率.RB|A)读作A发生的条件下 B发生的概率.(2)条件概率的性质任何事件的条件概率都在 0和1之间，即0WP(B| A) wi .如果B和C是两个互斥事件，则 P(BU C| A) = P(B| A) +RC|A).5 .事件的相互独立性(1)相互独立事件的概念设A, B为两个事件，若 RAB

6、= RA) P(B),则称事件 A与事件B相互独立.(2)相互独立事件的性质一 一 一 一如果事件A与B相互独立，那么 A与B, A与B, A与B也都相互独立.6 .独立重复试验与二项分布(1) n次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.(2)二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用 X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件 A发生的概率为p,则 P(X= k) = Cpk(1 - p) n k, k= 0,1,2 ,，n.此时称随机变量 X服从二项分布，记作 XB(n, p),并称p为成功 概率.7 .离散型随机变量的均值与方差(1) 一般地，若离散型随机变量

7、X的分布列为XX1X2XiXnPPiP2piPnn则称E(X)= 一翅匹为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. i = 1 n则把-X)= - ( XiE(X) 2pi叫做随机变量 X的方差，D(X)的算术平方根，D X叫做随机变量 X的标准差， i 1随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.(2)两点分布与二项分布的均值若随机变量 X服从两点分布，则 E(X) = p； DtX)=p(1 -p);若 X Rn, p),则 E(X)=np, DtX) = np(1 - p).(3)性质若丫= aX+ b,其中 a, b 为常数，则 E(Y&

8、gt; = E(aX+ b) =aE(X) . D(aX+ b)=曲凶.8 .正态分布(1)定义一般地，如果对于任何实数a, b(avb),随机变量X满足P(av X< b) = b(K，,(x)dx,则称随机变量 X服a从正态分布.正态分布完全由参数 和b确定，因此正态分布常记作N( 口，(7 2).如果随机变量 X服从正态分布，则记为NU , /).(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率及3(T原则 R 厂 bXw 科 + g )0.6827 ;P( W2(r <X< 猿 +2-) = 0.9545 :P(L3(r<XWw+3(r) = 0.9973.三、统计案例

9、1 .回归分析(1)回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(2)回归直线方程人人人 方程y=bx +a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(xi, yi), (X2, y2),，(xn, yn)的回归方程，其中a, b是待定参数，其最小二乘估计分别为:- I A 其中x二 .Y二V y , ( x , y)称为样本点的中心.江】"n ”|八2.独立性检验(1)2 X2列联表.一般地，假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为xi,x2和yi,y2,其样本频数列联表(称为2X2列联表)为y1y2总计x1aba+ bx2cdc+ d总计a+ cb+da+

10、 b+ c+ d2n ad - bc(2) K2=-,-,其中 n=a+b+c+d 为样本容量.a+bc + da+cb+d易错易混辨析1 .将3个不同的小球放入 4个盒子中，则有不同的放法种数有34个.(X)提示本题是一个分步计数问题.对于第一个小球有4种不同的放法，第二个小球也有4种不同的放法,第三个小球也有4种不同的放法，跟据分步乘法计数原理知共有4X4X4= 64种不同的放法.2.从甲、乙等6人中选出3名代表，甲一定当选，则有 20种选法.(X)提示因为甲一定当选，所以只要从剩下的5人中选出2人即可，因此有 C = 10种选法.3 .三个人踢球，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢

11、，经过5次传递后，球又回给甲，则不同的传递方式共有10种.(V)(X)提示可利用树状图进行求解.式子A=n-m !中"n.提示当m!= n时，（n m）! =0! =1,即求n个元素的全排列数.5 .由0,1,2,3这4个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有3X43A3=168（个）提示首位不含0,有3种选法，其余3位都有4种选法，共有3X4 3= 192个四位数；其中没有重复数 字的有3X 3X2X1= 18个，故有重复数字的四位数共有192 18= 174个.6 . 3名医生和6名护士被分配到三所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法有 540 种.（

12、V）7 . （a+b）n的展开式中某一项的二项式系数与a, b无关.（V）68 .在x2的二项展开式中，常数项为一160.（V）x9 .在（1 x）9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项.（X）提示由通项公式得Tr+1=C9（ 1）rxr故第r+1项的系数为（一1）r C9.故当r = 4时，即第5项的系数最大.10 .若（3x 1）7= a?x7+a6x6+ a1x+a°,则 a?+a6+ a 的值为 128.提示当x=0时，ac=- 1,当 x=1 时 a7 + a6 + a5+ + a+ ac= 27,a7 + a6+ a5+ + a= 2+ 1 = 129.n11 .若x十

13、r 的展开式中，仅有第 5项的二项式系数最大，且 x4的系数为7,则实数a=；.3x212 .离散型随机变量是指某一区间内的任意值.（X ）提示随机变量的取值都能一一列举出来.13 .在区间0,10内任意一个实数与它四舍五入取整后的整数的差值是离散型随机变量.提示可以取区间0,10内的一切值，无法按一定次序一一列出，故其不是离散型随机变量.14 .离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等.（X）提示因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件.15 .在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.（V）提示由分布列的性质可知，该说法正确.16 .超几何分布的

14、模型是不放回抽样.（V）17 .超几何分布的总体里可以有两类或三类特点.（X）提示超几何分布的模型特征是“由较明显的两部分组成”.18 .若事件A发生的条件下，事件 B发生，相当于 A, B同时发生.（V）19 .小王通过英语听力测试的概率是1,他连续测试3次，那么其中恰好第 3次测试获得通过的概率是P=31 1C3311-349.(X)一 、,2 2 14提布 所求概率应为 P*=- x -X -=.3 3 3 2 720 .试验之前可以判断离散型随机变量的所有值.(V)提示因为随机试验所有可能的结果是明确并且不只一个，只不过在试验之前不能确定试验结果会出现 哪一个，故该说法正确.21 .必

15、然事件与任何一个事件相互独立.(V)提示必然事件的发生与任何一个事件的发生，没有影响.22 .二项分布中随机变量 X的取值是小于等于 n的所有正整数.(X)提示二项分布中随机变量 X的取值是小于等于 n的所有自然数.23 .若a是常数，则D(a) = 0.(V)24 .已知 Y= 3X+ 2,且 D(X) =10,则 D( Y) =92.(X)提示. D(X) = 10,且 Y= 3X+ 2.一Y =D(3X+ 2) =9D(X =90.25 .离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述.提示因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量

16、的概率分布规律用分布密度 曲线(函数)描述.26 .正态曲线是单峰的，其与 x轴围成的面积是随参数的变化而变化的.提示正态曲线与x轴围成的面积是1 ,它不随(1和b变化而变化.27 .若K2的观测值k>6.635,则在犯错误的概率不超过 0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有 99人患有肺病.提示K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率， 故此说法不正确.28 .如果两个变量 x与y之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据(xi, yi)(i=1,2,，n)不能写出一个线性方程.(X)提示任何一组(xi,

17、yi)( i =1,2 ,，n)都能写出一个线性方程，只是有无意义的问题，因此这个说法 错误，线性关系是可以检验的，可以画出带状散点图，可以写出一个拟合效果最好的线性方程.29 .利用线性回归方程求出的值是准确值.(X)提示因为利用线性回归方程求出的值为估计值，而不是真实值.30 .变量x与y之间的回归直线方程表示 x与y之间的真实关系形式.(X)提示因为变量x与y之间的线性回归直线方程仅表示x与y之间近似的线性关系，x与y之间满足y =bx+a+e,其中e为随机误差.高考真题感悟x2的系数为()(2017 全国卷I,6) 1 + x2 (1+x)6展开式中A.15B.20C.30D.35【导

18、学号：95032268】1因为(1+x)6的通项为C6xr,所以1+x2(1+x)6展开式中含x2的项为1 C2x2和C6x4.因为24,6X5C2+C4=2C2 = 2X=30,2X1'所以1 + x2 (1+x)6展开式中x2的系数为30.故选C.2. (2017 全国卷H, 6)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A. 12 种B. 18 种C. 24 种D. 36 种D 由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作,可得安排方式为 d - C2 a2 = 36(种),121 一 4X3 一 一或列式为 C3 ,

19、 C 4 , C 2= 3X 2 X 2= 36(种).故选D.3.(2017全国卷出，4)( x+y)(2 xy)5的展开式中x3y3的系数为(A.80B. 40C.40D. 80因为3x3y3= x (x2y3),其系数为一d - 22= - 40 (x3y2),其系数为 C5 - 2 3= 80.所以x3y3的系数为8040=40.故选C.4.(2017 浙江卷,8)已知随机变量J满足P( E i = 1) = pi,P(i = 0) = 1 - pi,_1 I，i =1,2.右 0<p<p2<2,则()【导学号：95032269A.D( E 1)<D( )B.D

20、( 己 1)>D(己2)C.E(七 1)> E( E 2),D( -)<D( ”)D.D( -)>D( ”)由题意可知七i(i = 1,2)服从两点分布,日E1)= P1 , H E2)= p2,D(E1)=P1(1 P1) , 42)= p2(1p2).1 lL又0<pi<p2<2，E( E 1)<E( E 2) .把方差看作函数y=x(i x),，11根据 0<。< 己 2</口，DU i)< D( E 2).故选A.5. (2017 全国卷H,13) 一批产品的二等品率为 0.02 ,从这批产品中每次随机取一件，有放

21、回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D七.1.96由题意得 XB(100,0.02), .DX= 100X 0.02 X (1 - 0.02) = 1.96.6. (2016 全国卷I ,14)(2 x + qX) 5的展开式中，x3的系数是 .(用数字填写答案)【导学号：95032270】10 利用二项展开式的通项公式求解.(2x+/)5展开式的通项为 Tr+1=C5(2x)5 rhjx) r=£ r C 5 , x5 2.令 52= 3,得 r = 4.故 x3 的系数为 25 4 - C5=2C4=10.7. (2017 全国卷I , 19)为了监控某种零件的一条生产线

22、的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸 服从正态分布 N(1 , (T 2).(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3b, w + 3(t )之外的零件数，求RX> 1)及X的数学期望；(2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在( 3。，+3(r)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.

23、969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95161616经计算得 x = ?i=1xi=9.97 , s= y,封xi x2= V，i=1x216 x 2)-0.212,其中 x 为抽取的第i个零件的尺寸，i=1,2,，16. .，.八 、一.八._.用样本平均数x作为W的估计值w，用样本标准差s作为b的估计值b ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(b 3； , b +3：)之外的数据，用剩下的数据估计w和(7(精确到0.01).附：若随机变量 Z服从正态分布 N（.,屋），则 R w 3（T<

24、;ZV+3 .） =0.997 4,0.997 4160.959 2,y0008 0.09.解（1）抽取的一个零件的尺寸在（w 3 b , W +3（r）之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸在（ 3d, W+3（r）之外的概率为 0.002 6 ,故 XB（16,0.002 6）.因此 P（X> 1）=1 P（X= 0） = 1 0.997 4 16=0.040 8.X 的数学期望 EX= 16X0.002 6 = 0.041 6.（2）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（3（r, w+3（r）之外的概率只有0.002 6 , 一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（w 3（r, w

25、+3（T）之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查， 可见上述监控生产过程的方法是合理的.由"X" = 9.97, s=0.212,得科的估计值为；=9.97, （T的估计值为= 0.212 ,由样本数据可以看出有 一个零件的尺寸在（；3 ： , ； + 3 ：）之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除（；3 7, ：+3：）之外的数据9.22 ,剩下数据的平均数为工* （16 X 9.97 9.22） = 10.02.15因此的估计值为10.02.16

26、Ei x2= 16X 0.212 2+ 16X 9.97 21 591.134 ,剔除（；3：, ；+3：）之外的数据9.22 ,剩下数据的样本方差为人X（1 591.134 9.22 2 1515X 10.02 2）=0.008,因此（T的估计值为 10.008-0.09.8. （2017 全国卷H ,18）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）,其频率分布直方图如图1:0.040 0.04 0.0320 024 0.U20 0,0 4 0 012(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的

27、箱产量低于50 kg ,新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计 A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%勺把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量< 50 kg箱产量50 kg旧养殖法新力广殖法附：P(K2>k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828,K2 二n ad- bc 2a+bc+da+cb+d .(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).解(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg” .由题意知 P(A) =RBC = RB)R

28、C).旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012 +0.014 +0.024 +0.034 +0.040) X5= 0.62 ,故R B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068 +0.046 +0.010 +0.008) X5= 0.66 ,故R C)的估计值为0.66.因此，事件 A的概率估计值为 0.62 X0.66 = 0.409 2.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量< 50 kg箱产量50 kg旧养殖法6238新力广殖法3466K2 200X62X66 34X38=100X 100X 96X 1042 15.705.由于15

29、.705>6.635 ,故有99%勺把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 50 kg的直方图面积为(0.004 +0.020 +0.044) X5= 0.34<0.5 ,箱产量低于55 kg的直方图面积为(0.004 +0.020 +0.044 +0.068) X5= 0.68>0.5 ,故新养殖法产量的中位数的估计值为0.5 0.3450 +0.06852.35(kg) -9. (2017 全国卷出)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完

30、.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温-O位：C)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶；如果最高气温低于 20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少

31、时，Y的数学期望达到最大值？解(1)由题意知，X所有可能取值为 200,300,500 ,由表格数据知P(X= 200)=216=0.2, RX= 300)903690P( X= 500)25+7 + 4900.4.因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑 200wnw500.当 300W n<500 时，若最高气温不低于 25,则Y= 6n 4n =2n；若最高气温位于区间20,25),则 Y= 6X300+ 2(n- 300) -4n= 1 200 2n；若最高气温低于 20,则 Y= 6X2

32、00+ 2( n-200) -4n=800-2n.因此 EY= 2nx 0. 4+ (1 200 2n) x 0.4 + (800 2n) x 0.2 = 640 0.4 n.当 200W n<300 时，若最高气温不低于 20,则Y= 6n 4n =2n；若最高气温低于 20,则 Y= 6X200+ 2( n-200) -4n=800-2n,因此 EY= 2nx (0.4 + 0.4) + (800 2n) x 0.2 = 160+ 1.2 n.所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.10. (2016 全国卷I ,19)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即

33、被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列；(2)若要求RXw n) >0.5 ,确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？【导学号：95032271】解(1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分另I为 0.2,0.4,0.2,02从而 P(X= 16) =0.2 X 0.2= 0.04;P(X= 17) =2X0.2 X 0.4 = 0.16;P(X= 18) =2X0.2 X 0.2+0.4 X 0.4 = 0.24;P(X= 19) =2X0.2 X0.2 +2X0.4 X0.2 = 0.24 ;P(X= 20) =2X0.2 X 0.4+0.2 X 0.2 = 0.2;P(X= 21)