鼠害控制与传染病治疗数学建模和研究{修}

1、 分类号: O175单位代码:10110鼠学号:s20100092害控制与传染病治疗的数学建模和研究中北大学硕士学位论文鼠害控制与传染病治疗的数学建模和研究张硕士研究生张文英文英指导教师学科专业张凤琴教授基础数学中北大学2013年 5月 15日图书分类号UDCO175510硕士学位密级论文非密鼠害控制与传染病治疗的数学建模和研究张文英指导教师(姓名,职称)申请学位级别专业名称张凤琴 教授理学硕士基础数学论文提交日期论文答辩日期学位授予日期年年年月月月日日日论文评阅人答辩委员会主席2013年 5月 15日原创性声明本人郑重声明:所呈交的学位论文,是本人在指导教师的指导下,独立进行研究所取得的成果

2、。除文中已经注明引用的内容外,本论文不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名:日期:关于学位论文使用权的说明本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定,其中包括:学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件;学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文;学校可允许学位论文被查阅或借阅;学校可以学术交流为目的,复制赠送和交换学位论文;学校可以公布学位论文的全部或部分内容(保密学位论文在解密后遵守此规定)。签名:日期:导师签名:日期:中北大学学位论文摘要本文建立了

3、两类数学模型, 一是具有不育控制害鼠种群的动力学模型, 二是具有饱和治疗率的 SEIS 和 SEIRS 模型. 具体研究的内容如下:一是建立了不育控制下带有密度制约和非线性感染率的害鼠种群动态模型. 虽然有学者研究了带有非线性感染率的害鼠种群动态模型, 但是所考虑的感染率过于简单化, 现针对不育控制下的害鼠种群动态模型, 讨论了平衡点的存在性, 首先利用 Routh-Hurwitz 判据证明了系统各平衡点的局部稳定性, 其次利用 Dulac 函数证明了正平衡点的全局稳定性. 并分析了各个参数对害鼠种群的动态变化的影响, 且进行了数值模拟.二是考虑到流行病初期爆发时的治疗率和中期后期的治疗率不同

4、, 建立了带有双线性感染率和饱和治疗率的 SEIS 模型. 对于模型, 本文获得了基本再生数以及分支和疾病平衡点的存在性条件. 其次利用 Routh-Hurwitz 判据得到了无病平衡点和疾病平衡点的渐近稳定性. 最后利用 Lyapunov 函数证明了各平衡点的全局稳定性且进行了数值模拟.三是考虑到接种是控制流行病的一种常用的方法, 所以建立了具有连续接种和饱和治疗率的 SEIRS 模型, 与 SEIS 模型类似, 得到了基本再生数以及分支和疾病平衡点的存在性条件, 且证明了无病平衡点和疾病平衡点的局部渐近稳定性. 利用 Lyapunov 函数和几何接近法分别证明了无病平衡点和疾病平衡点的全局

5、稳定性.关键词:不育控制;Dulac函数;稳定性; SEIS模型;SEIRS模型;连续接种;饱和治疗率;后向分支第 I 页中北大学学位论文ABSTRACTTwo kinds of mathematical model is presented in this paper,the one is the dynamicsmodel of rodent population with barren control,the second is the SEIS and SEIRS modelwith saturated treatment. the concrete research content

6、is as follows:Firstly, under the barren control, density-dependent and nonlinear infection-rate rodentpopulation models are established. Although some scholars research the nonlinear infection-rate rodent population models, the considered infection rate is oversimpli?ed. Now wediscuss the existence

7、of equilibrium to the rodent population dynamics model under thebarren control. At the ?rst, we make use of Routh-Hurwitz criterion to demonstrate localstability of systems equilibrium points. Then, we utilize Dulac function to prove the globalstability of positive equilibrium and analyze analyzes t

8、he in?uence of parameters on thedynamic change of rodent population, carried on the numerical simulation.Secondly, considering the di?erence of epidemic diseases initial outbreak and mid andlate outbreaks, the SEISmodel with bilinear infection rate as well as saturated treatment.For the model, the p

9、aper obtained the existence condition of basic reproductive rate, itsbifurcation and endemic equilibriums. Then we utilize Routh-Hurwitz criterion to get thegradual stability of disease-free equilibrium and the epidemic equilibrium. At last, we uselyapunov function to prove the global stability of e

10、ach equilibrium point and carry on thenumerical simulation.Thirdly, considering that vaccination is a common way to control the epidemic. There-fore, we build up the SEIRS model with continuous vaccination and saturated treatmentrate. As same as SEIRS model, we got the existing conditions of basic r

11、eproductive rate, itsbifurcation and endemic equilibriums .And the gradually local stability of the disease-freeequilibrium and the epidemic equilibrium are proved. The global stability of disease-freeequilibrium and endemic equilibriums are proved By lyapunov function and geometric ap-proach method

12、.第 II 页中北大学学位论文Key words:Infertility control; Dulac function ; Stability; SEIS model; SEIRSmodel; saturated treatment rate; backward branch; continuous vaccination第 III 页中北大学学位论文摘要ABSTRACT第一章引言目录III11.1研究意义1.2国内外研究现状.1.3本文主要研究内容第二章不育控制下害鼠种群的模型分析2.1模型的建立.2.2模型分析2.3讨论第三章具有饱和治疗率的 SEIS模型分析3.1模型的建立.3.2分支

13、与疾病平衡点的存在性3.3疾病平衡点的稳定性分析.3.4数值模拟第 i 页123555799101215中北大学学位论文第四章具有连续接种和饱和治疗率的 SEIRS模型分析4.1模型的建立.4.2分支方向与疾病平衡点的局部稳定性4.3平衡点的全局稳定性分析.第五章结束语参考文献攻读硕士学位期间发表的论文及所取得的研究成果致谢第 ii 页1818192228293435中北大学学位论文第一章引言1.1研究意义鼠害指的是鼠类对农业的生产、林业和牧业的可持续发展造成的危害. 鼠类有 1600 多种, 且孕育周期短, 产仔率高, 数量能在短期内急剧增加. 它的遍布范围极其的广泛, 无论是平原还是高山,

14、 草原还是沙漠都有其踪迹, 常对我们农业的生产酿成巨大的灾害.我国的鼠害发生非常频繁. 据报道, 上世纪 80 年代初, 全国农牧区大范围内爆发了一场十分严重的鼠灾. 全国农田每年受灾面积达到 2.467 × 107hm2, 因鼠害造成的粮食损失在5 × 106 1 × 107 之间, 严重时高达 1.5 × 107; 草原受灾面积达 3.733 × 107hm2, 鲜牧草损失近 2 × 107. 进入 90 年代, 农业鼠害更加的严重, 由于全球气候变暖, 干旱加剧等因素的影响, 鼠灾周期变短, 持续时间变长, 鼠类增长过快, 危害

15、程度加大. 此外, 鼠类还是流行性传染病病毒的载体, 直接威胁着畜牧业和人类的安全. 随着害鼠密度的上升, 鼠类传染性疾病也日趋严重. 据统计, 上世纪 80 年代, 害鼠传染性出血热发病人数高达 70 万人. 2000 年代, 我国发生了鼠疫, 是 1955 年代后 45 年以来发病人数最多的一年.综上所述, 对于鼠害的控制已迫在眉睫. 以前的鼠害控制常用急性药物, 如毒鼠磷、磷化锌、氟乙酸钠等. 由于其具有毒性的副作用, 对生态系统造成严重的破坏. 为此, 现在对鼠害的控制研究主要集中在生物防治, 包括定期投放天敌、生物制剂、植物毒鼠剂、植物不育剂、人工合成剂. 其中, 不育剂在鼠害的控制

16、中不仅有明显的效果, 而且还对生态系统的危害不大. 不育剂的目的是控制害鼠的繁殖能力, 从而达到控制害鼠种群增长的目的. 但是不育剂的效果是渐近的, 而化学毒饵的灭鼠效果是直接的, 可在较短的时间内发挥作用. 所以在控制鼠害的过程中应适当的交替使用化学毒饵和不育剂, 但应考虑不使害鼠种群灭绝.根据最新法定传染病分类, 传染病共分为 39 种. 传染病是由病菌、细菌、和真菌等病原体或原虫、蠕虫等寄生虫感染人或动物后产生且能再人与人、动物与动物或人与动物之间相互传播的一类疾病. 自古以来, 人们面临着各种各样传染病的威胁. 近年来, 由于环境污染和生态变迁使得许多病原体发生变异, 并促使其快速传播

17、. 多种人与动物共患传染病迅速异化, 导致了许多新的烈性传染病不断出现, 例如 SARS、禽流感、疯牛病、狂犬病、口蹄疫等. 传染病的控制已成为当今世界迫切需要解决的问题, 因此对传染病的传播规律、流行趋势和预控策略的研究日益受到人们的重视. 目前用数学建模的方法研究传染病的发展第 1 页中北大学学位论文过程, 预测其发展规律及其趋势, 分析传染病传播的主要原因和关键因素, 寻求对其预防和控制的最优策略, 为人们更好的控制传染病的扩散提供了理论基础和数量依据.传染病之所以能够流行, 离不开三个基本的条件: 传染源、传播途径和易感人群. 所以防御传染病应该从这三个方面入手. 传染源可以是疾病的患

18、者、隐形感染者、携带者及被感染的动物. 对于已经确诊的患者, 要尽早隔离, 带有病原体的分泌物或其他接触物都要消毒处理. 对于被感染的动物如牛羊、鸡鸭等若能治疗应则治疗, 如果不能, 应尽快的宰杀然后消毒处理; 而对于像老鼠、蚊子等则应彻底的消灭. 不同的传染病有不同的传播方式. 像非典、SARS 等, 是呼吸系统传染病, 它是经过空气传播的, 对于此类传染病, 我们应该尽量少去人多的公共场所; 像痢疾、蛔虫等病, 是通过粪、口或是直接接触病人的分泌物传染上的,这就要求我们不要随意的接触病人的物品, 应尽量的远离病人. 而对于易感染人群, 应提高自身的免疫力, 并且做好预防接种. 为了能了解传

19、染病的传播规律、流行趋势和预控策略.研究者们利用数学建模的方法研究传染病, 预测其发展规律及其趋势, 分析传染病传播的主要原因和关键因素, 寻求对其预防和控制的最优策略, 为人们更好的控制传染病的扩散提供了理论基础和数量依据.1.2国内外研究现状目前, 国内外对鼠害的防治措施是多种多样的, 有生物防治、化学防治、物理防治、生态防治等等. 生物防治主要是保护和利用天敌, 也可利用对人畜无害仅对鼠类有致命危险的微生物病原体; 物理防治即利用器械灭鼠; 生态防治指的是破坏和改变鼠类的事宜生活条件和环境, 使之不利于鼠类的栖息和繁殖. 这三种措施虽然能减少害鼠的数量, 但是对于鼠类的总体数量来说只是极

20、少的. 而化学防治主要是使得有毒物质进入害鼠体内, 破坏鼠体的正常生理机制而使其中毒死亡. 这种方法广泛应用于大面积灭鼠, 能暂时减小害鼠的密度, 但是有毒物质能引起第二次甚至第三次的中毒, 破坏生态平衡, 危及家畜、和人类的健康. 因此世界各国都在致力于研究鼠害可持续控制新技术, 尤其是不育技术. 不育技术指的是利用鼠类抗生育药剂2致使单性或者两性永久不育或短时不育, 从而降低害鼠的出生率. 与传统化学毒杀相比, 利用不育剂控制害鼠相对来说还是比较安全的, 且能长期降低鼠的密度和把危害控制在最小的程度. 如果本技术能提供一种鼠类喜食且口感性好的药物则会起到更为理想的效果1关于不育控制, 前人

21、做出了下列的研究. 早期 Knipling 和 McGuire26 利用模型对比了第 2 页中北大学学位论文灭杀和不育控制下的害鼠种群的动态. 结果表明灭杀不会导致种群灭绝, 而连续三代对百分之七十的雄性和雌性老鼠进行不育控制, 这个种群将会灭绝.Zhang27 研究表明, 无论是有无竞争性繁殖干扰不育控制都能有更好的效果; Shi 等28通过数据模拟得出: 秋季不育控制比化学药物控制效果要好的多. 李秋英等29?30的研究表明雌性子种群的增长率应大于雌性的不育率, 否则种群将会灭绝. 张美明等31研究表明, 在采用携带雌性不育疫苗的病毒或携带雄性不育疫苗的病毒控制害鼠时, 应该选用传染系数较

22、高的病毒, 如果携带雌性、雄性不育疫苗的病毒的传染系数一样, 我们应采用成本较低的病毒.对于流行病的控制, 前人也做了很多的研究. 至今为止, 接种疫苗和隔离病人是预防和控制传染病扩散的两种有效的措施. 具有接种疫苗的数学模型35?36在决定疫苗的接种策略上和控制流行病的措施上有非常重要的作用. 如果接种不完全有效, 则会出现后向分支,如文献 3940, 这样的情况下, 只有当基本再生数小于 1 时, 疾病才会消失. 后向分支也出现在其他的流行病模型上, 比如 HIV/AIDS 模型32?38和牛呼吸道合胞体病毒模型34根据传染病发生率的不同, 研究者们建立了带有不同发生率的数学模型. 最早提

23、出用数学模型研究传染病的是 Kermack-Mckendrick41, 研究了淋巴腺鼠疫传播. 传染病模型中常用的发生率是双线性标准发生率42?44然而, 传统的模型理论并不能解释某些传染病的现象, 如双稳定结构45?46, 也就是在疾病爆发力很强时流行病持续生存, 而爆发力弱时流行病消失.在 1978 年,Capasso 和 Serio 提出了饱和发生率 gI s, 其中 gI KI1+I后来,Liu 等 47?48又提出了一般发生率ksI p1+I q,其中 p, q 0, 0. 已被很多研究者引用, 如 Hethocote 等49?50 0、Liu 等48q p1. 在文献 51 中 R

24、uan 和 Wang 研究了具有特殊发生率ksI 21+I 2的流行病模型, 系统中出现了双稳定性、有限环、同宿环等特性. 同样的还有发生率ksI 141+I 2、1+IksI+I 2 54?56.1.3本文主要研究内容本文建立两类数学模型, 一是不育控制下害鼠种群的模型, 二是具有饱和治疗率的 SEIS和 SEIRS 模型. 并研究了模型的一些动力学性态, 主要内容为:在第二章中, 建立并分析了具有密度制约的自传播模型, 通过分析模型, 得出了各个平衡点的存在条件和局部稳定性条件, 根据 Dulac 函数得到了正平衡点的全局稳定性, 利用数值模拟分析了各参数对害鼠种群的影响. 经过分析, 得

25、出结论: 种间密度制约大于内禀增长率时, 可育与不可育之间的有效接触率越大越有利于控制种群的数量.第 3 页中北大学学位论文在第三章中, 建立了具有具有双线性感染和饱和治疗率的 SEIS 模型, 通过对等价模型的分析, 得到了基本再生数及分支和疾病平衡点存在的条件. 根据稳定性理论得到平衡点的局部稳定性, 构造适当的 Lyapunov 函数分析了平衡点的全局稳定性. 最后利用数值模拟进行了进一步的证明. 经过分析, 得出结论: 当基本再生数 R0 小于 1 时, 疾病不一定会消灭.但当基本再生数 R0 小于 Rc 时, 无病平衡点全局渐近稳定, 即疾病将会消灭.在第四章中, 建立了具有连续接种

26、和饱和治疗率的 SEIRS 模型. 讨论了分支和各平衡点存在的条件, 根据稳定性理论得到平衡点的局部稳定性, 分别利用 Lyapunov 函数和几何接近法证明了无病平衡点和疾病平衡点的全局稳定性.第 4 页中北大学学位论文第二章不育控制下害鼠种群的模型分析数学模型常被用来研究不育控制对害鼠种群的影响2?7由文献7可知, 在利用免疫不育控制害鼠时, 由可育转换成不育的害鼠的数量 n F S1?k+kF +S,其中 0 k 1, 为单位时间内可育个体与不育个体的有效解除率, 即通过接触可育个体将转化为不育个体. 当k 0 时,n FS,4liu研究了同时采取不育控制与直接灭杀两种办法来控制害兽.

27、文章主要研究了不育控制与直接灭杀对种群动态的影响. 研究表明, 只有当可育与不育之间接触的有效率和化学药物致死率取适当的值, 才能使得害鼠种群规模被控制在一定的数量. 但并不是说明这时的种群数量就是最适当的, 可能还是会偏高, 所以只能通过改换病毒的品种, 提高病毒的传播速度, 来降低种群规模. 当 k 1 时,n F S 2F +S分析了各个平衡点全局稳定性存在的条件. 下面我们来研究可育换成不育的害鼠的数量为 n F S1?k+kF +S, 0k 1 的不育控制单种群模型.2.1模型的建立可育种群密度表示为 F , 不育种群密度表示为 S, 模型如下:dFdtrFaF 2F SF S1k

28、+ kF + S,dSdtF S1k + kF + SdSF ScS 2,式中:dFdt为可育种群密度 F 对时间 t 的导数,dSdt为不育种群密度 S 对时间 t 的导数, r 为内禀增长率, 等于出生率 b 减去死亡率 d. a 为可育与可育之间的密度制约, 为可育与不可育之间的密度制约, c 为不可育与不可育之间的密度制约.F S1?k+kF +S为可育转化为不可育的个体数量, 其中 0, 0 k 1. 为了更好的算出模型的平衡点及其对平衡点稳定性的分析, 在这里假设 a c, 如此有以下的模型:F S1?k+kF +SF S1?k+kF +S2.12.2模型分析通过计算可知, 模型

29、2.1 总是存在平衡点 E0 0, 0 和 E1 ar , 0.第 5 页中北大学学位论文在 F 与 S 都不为零时, 令 R0 bk +ab1?kr, 当 R0 时存在正平衡点 E ?F ?, S ?.Fd+aNNb, Sr?aNNb,其中N b1?bkk 且 N F+ S定理 2.1 平衡点 E00, 0 是不稳定的.证明 系统 2.1 在平衡点 E00, 0 的 Jaccobi 矩阵为r 00 ?d,显然 r 0, ?d 0. 所以系统 2.1 在平衡点 E00, 0 是不稳定的.定理 2.2 当 0 R0 时, 平衡点 E1 ar , 0 是全局渐近稳定的.证明 首先证明边界平衡点 E

30、1 在 0 R0 时是局部渐近稳定的.把 E1 代入系统 2.1 的 Jaccobi 矩阵得:?rr? ,显然 1 ?r 0, 2 ?b +ra1?k+kr,要使得边界平衡点 E1 是稳定的, 那么 2 0, 解出来的不等式得0 baak + krr所以, 当 0 R0 时, 平衡点 E1 ar , 0 是局部渐近稳定的.其次证明在 G F, S|F 0, S 0 内没有极限环.考虑模型的实际背景, 我们假设初始条件满足 H : F 0 0, S0 0. t S u由模型 2.1 可得 F t F 0e , 则当 t 0 时有 F t 0. 同理也有 St 0. 由此可得当满足初始条件 H 时

31、, 区域 G 是模型 2.1 的不变集. 取Dulac 函数BF, S F ?1S ?2,设 Y ?BP ?FBQK函数 BF, S F ?1S ?2 便可使 Y 不变号, 即在区域 G 内无闭轨.当 0 R0 时正平衡点 E是不存在的, 而边界平衡点 E1 是局部渐进稳定的且在G 内无闭轨, 可以得到 E1 是全局渐进稳定的.定理 2.3 如果 R0 , 正平衡点 E是全局渐近稳定的.证明 首先证明正平衡点 E是局部渐近稳定的.第 6 页中北大学学位论文由系统 2.1 知, 平衡点 E满足的方程组为:F1?k+kF +S系统 2.1 在平衡点 E的 Jaccobi 矩阵为S1?k+kF +S

32、2.2?S1?k+kF +SFF SkF F Sk1?k FSk+S2aS? ,经过化简可以得: 1?k+FF +S0?aFF1?k+kF +SFF Sk?11?k+kF +S? ,显然 1 1?k+FF +S 0, 2 F Sk?11?k+kF +S0. 则 E是局部渐近稳定的.其次确定无环区域.类似定理 2.3 的证明,G 是模型 2.1 的不变集. 取 Dulac 函数BF, S F ?1S ?2,有 Y ?BP ?F+?BQ?S1?k+FF +S 显然 Y 0. 又因为正平衡点 E是局部渐近稳定的,由 BendixsonDulac 判别法讨论2.36可知正平衡点 E是全局渐近稳定的.在

33、不育控制下正平衡点处的种群的大小为: Nb1?k?kbR0. 由函数 g k?1bkb?R0 的导数 g k?1bkb?20 可知随 的增大 N减小, 即不育控制中可育与不可育之间的有效接触率越大种群规模越小 如图 1., 可育与不可育之间的接触率会降低正平衡点处种群的数量, 尤其在害鼠的种群密度越大时更为有效. 而当 k 取值不同时 对 N的影响是不同的,k 越小越有利于对害鼠种群的控制 如图 1.在不育控制下正平衡点处的种群的大小为: Nbb?的导数 Rk 可知:kb?2k?1bkb?R0, 由函数 Rk k?1bkb?(1)当 a r 时, 当 R0 b 有 Rk 0 即随 k 的减小

34、N是不断减小的 如图2, 显然当 取值不同时 k 对 N 的影响也是不同的, 越大越有利于对害鼠进行控制; 当第 7 页中北大学学位论文 b 即接触率大于出生率, 有 Rk 0, 即随 k 的增大 N减小, 又因为随着 的增大N也是不断的减小的 如图 3.(2)当 a r 时 R0 b, 又因为 R0 时正平衡点存在, 所以 Rk 0, 则随 k 和 的增大 N不断的减小. 也就是说种间密度制约大于内禀增长率时,k 越大, 可育与不可育之间的有效接触率越大越有利于控制种群的数量图 1-2. 参数 b 1.5;图 3. 参数 b 0.2第 8 页.中北大学学位论文第三章具有饱和治疗率的 SEIS

35、模型分析用数学建模的方法研究传染病的发展过程, 预测其发展规律及其趋势, 分析传染病传播的主要原因和关键因素, 寻求对其预防和控制的最优策略, 为人们更好的控制传染病的扩散提供了理论基础和数量依据.至今为止, 接种疫苗和隔离病人是预防和控制传染病扩散的两种有效的措施. 但对于某些传染病, 治疗则是控制疾病扩散的重要方法. 因此, 具有治疗率的传染病模型的研究引起了许多数学研究者的关注8?17其中, 文 8 所研究的是恢复率为常数恢复率 即hI r0I0的传染病模型. 文 9 所研究的是二次治疗率 T I IgI 2, 0的传染病模型. 文 1013 所研究的传染病模型的治疗率为 T I II0

36、0I I0即当感染者的人数达到一定程度时, 因治疗资源等各个条件的限制, 治疗率达到一定的极限值.然而当疾病刚刚爆发的时候, 由于疾病治疗技术不够完善, 导致治疗率比较低. 随着医疗条件 如: 药物, 治疗技术等等 的不断改善, 治疗率也在不断的增加. 但毕竟社会的治疗资源是有限的, 当感染个体的数目达到足够大的时候, 治疗效率也会达到最大值. 因此, 考虑饱和治疗率更符合实际意义10文 1416 所研究的传染病模型的治疗率为饱和治疗率, 即T I I1+kI本文研究了具有双线性感染率和饱和治疗率的 SEIS 传染病模型. 利用对模型等价系统的分析, 得到了各疾病平衡点和后向分支存在的条件,

37、并讨论了各平衡点的全局稳定性.结果表明, 当基本再生数 R0 小于 1 时, 疾病不一定会消灭. 但当基本再生数 R0 小于 Rc 时,无病平衡点全局渐近稳定, 即疾病将会消灭.3.1模型的建立本文考虑了具有饱和治疗率, 且病人治愈后仍为易感者的 SEIS 模型, 模型如下:? dI IdEdtdt 1+kI1+kI3.1S 表示易感者,E 表示潜伏者 即疾病处于潜伏期的个体, 也可视为处于第一阶段病程的个体,I 表示染病者 或者是处于第二阶段病程的个体, d 为自然死亡率, 为感染率,r 为自第 9 页中北大学学位论文然恢复率, 为由潜伏者到染病者的转换率,N t St + Et + I t

38、, 则I1+kI是饱和治疗率, 其中 0, k 0. 令dNdtAdN.由此可知模型 1 等价于?dNdtdEdtdIdtAdN,NIEIdEE,I1+kI3.2模型 3.2 有无病平衡点 E0 Ad , 0, 0. 下面分析无病平衡点的稳定性. 模型 2 在无病平衡点处的 Jaccobi 矩阵是:?d00?d0Ad?dr ,则在无病平衡点处的特征方程为: + d2 + 2d + r + + + d + d + r + Ad 0.由此可知, 特征值 1 ?d 0, 2 +3 ?2d+r + + 0, 23 d+d+r +? A显然, 要使得模型 3.2 在无病平衡点处稳定, 当且仅当基本再生数

39、 R0 Add+d+r+1.则有以下定理.定理 3.1 无病平衡点 E0 Ad , 0, 0 是局部渐近稳定的充要条件是 R0 1.3.2分支与疾病平衡点的存在性在这一节中我们讨论疾病平衡点的存在性以及后向分支存在的条件. 疾病平衡点满足方程组:NIEIdEE 0,1+kI3.3由 3 我们可得 I 满足方程:aI 2bIc 0.第 10 页3.4中北大学学位论文其中a kd + d + r 0,b Akd + d + r + + dkd + d + r,c Add + d + r + .情形 1 当 k 0 时, 方程 3.4 为线性方程, 只有一个解I1 cd + d + r + ,I1

40、0 的充要条件是 c 0 即 R0 1. 所以当 R0 1 时, 除无病平衡点外有一个疾病平衡点 E1 Ad , dcd+rd+r+ , d+dc +r+ , 且当 R0 1 时 I1 0. 而 R0 1 时无疾病平衡点,则在 R0 1 处不会产生后向分支, 即有下面定理 2.定理 3.2 当 k 0 时, 模型 3.2 不会产生后向分支.情形 3.2 当 k 0 时, 方程 3.4 为一元二次方程. 则:1 当 c 0 即 R0 1, 方程 3.4 有唯一解 I2 b+ b2+4ac2a;2 当 c 0 即 R0 1, 方程 3.4 除零解外还有一个解 I3 ab ;b+ b2+4ac2a,

41、 I4b? b2+4ac2a显然, 当 R0 1 时 I2 0; 当 R0 1 时,I3 0 的充要条件是 b 0; R0 1 时,I2 和I4 都大于 0 的充要条件是 b 0 且 b2 + 4ac 0. 由于参数取值的不同, 导致了模型 3.2平衡点的个数发生变化.定理 3.3 k 0 时, 模型 3.2 在 R0 1 处产生后向分支的条件是 0 kd+d+r+证明 由文献 13 的定理 4.1 可知, 模型 3.2 在 R0 1 处产生后向分支的条件是 b 0.由 R0 1 得出A dd + d + r + ,把它代入 b Akd + d + r + + dkd + d + r 0. 经

42、过化简可知:kd + d + + r + 命题得证.令 b2 + 4ac, 则模型 3.2 有两个疾病平衡点的充要条件是 R0 1, b 0, 0.R0 1 即 Add + d + r + 0, 得出 A A0. 由 b 0 得 A A1. 当 0 时,把 a, b, c 的值代进去, 经过计算化简可得:k2A2 ?2kd+kd+d+r?+d+rA+d2+kd+d+r+d+r2?第 11 页中北大学学位论文4k + d + rd + d + r + 0.由此可得:A dd + d + rd + d + rk±2d + d + rkd + k,又因为 A1 A A0 且 0 dd +

43、d + rdAc + kkd+d+r+d + d + rk+2d + d + rkd + k所以, 当 Ac A A0 时有两个正解即 I2 和 I4.其中A0 dd+d+r+dd+,A1 dd+d+r+d+d+r+k定理 3.4 k 0 时, 如果模型 3.2 存在后向分支, 则i 如果 A A0, 除了无病平衡点外仅有一个疾病平衡点 E2 Ad , d+1+kI + I2, I2.ii 如果 Ac A A0, 除无病平衡点外还有两个疾病平衡点 E2 Ad , d+1+kI + I2, I2,E4 Ad , d+1+kI + I4, I4; 当 A Ac 时, 有一个疾病平衡点 E? Ad

44、, d+1+kI + 2a , 2a ,这个点也被称作拐点.iii 如果 0 A Ac, 模型 3.2 仅有无病平衡点.推论 1 k 0 时, 如果模型 3.2 存在后向分支, 则i 如果 R0 1, 除了无病平衡点外仅有一个疾病平衡点 E2 Ad , d+1+kI + I2, I2.ii 如果 Rc R0 1, 除无病平衡点外还有两个疾病平衡点 E2 Ad , d+1+kI + I2, I2,E4 Ad , d+1+kI + I4, I4; 当 R0 Rc 时, 有一个疾病平衡点 E? Ad , d+1+kI + 2a , 2a ,这个点也被称作拐点.iii 如果 0 R0 Rc, 模型 3

45、.2 仅有无病平衡点.其中Rc Acdd+d+r+3.3疾病平衡点的稳定性分析无病平衡点的局部渐近稳定性已经在第一节中进行了讨论, 在这节中我们仅分析疾病平衡点的稳定性.第 12 页中北大学学位论文情形 1 当 k 0 时, 模型 3.2 在疾病平衡点 Ad , d+r+ I1, I1 处的 Jaccobi 矩阵是?d0 0A d+r+则其特征方程为: + d2 + A + B 0.其中A I1 + 2d + + r + 0, ,B d + r + d + + I1 + I1 AdI1d+r+I1.经过计算化简, 可知 B 0 的充分必要条件是 R0 1. 又因为 A 0, 显然模型 3.2在

46、平衡点 E1 处的所有特征值都有负实部.定理 3.5 当 k 0 时, 疾病平衡点在模型 3.2 处局部渐近稳定的充要条件是 R0 1.情形 2 当 k 0 时, 模型 3.2 在疾病平衡点 Ad , E, I 处的特征方程为+d2+EIkI1 + kI 2+I +d+EIkI1 + kI 2I +d+Id + EI 0,则可知1 ?d 0,2 + 3 ? EkI1+kI 2+ I + d + 0,23 EkI1+kI 2I +d + + Id+EI.由于 E d+r1+kI +1+kI , 则2I21 + kI 所以,23 0 的充分必要条件是2令2第 13 页中北大学学位论文解得I1 I2

47、 ?d + r + d + r + kd + 2kd + r + ?d + r + + d + r + kd + 2kd + r + ,显然,I1 0, 而 I2 0 的充要条件是 0 kd+d+r+,即满足分支存在的条件. 所以,23 0 的充要条件是 I I2.当 A Ac 时, 可以得到一个疾病平衡点 Ad , d+1+kI + 2a , 2a , 则I? b2a kAcd?+d+r?kd+d+r2k+d+r2I2.显然有 I? I2.因为bab2a,则 I3 I2. 所以, 当 R0 1 时, 所得的平衡点 E3 Nd , d+1+kI + a , a 也是局部渐近稳定的.定理 3.6

48、 k 0 时,i 当 A Ac 时, 平衡点 E? Ad , d+1+kI + 2a , 2a 存在且是局部渐近稳定的;ii 当 R0 1 时, 所得的平衡点 E3 Nd , d+1+kI + a , a 也是局部渐近稳定的.当 Ac A A0 时, 有两个疾病平衡点 E2 和 E4. 显然有 I2 I2. 则平衡点 E2 是局部渐近稳定的.因为 I4 b? b2 +4ac2a是 aI 2bIc 0 的根, 所以有 akI42 kbI4 + c. 则dF I4 dd + r + k2I42 + 2kd + r + I4 + d + r + + kd + .kbI4 + kc + 2kdd + r + I4 + dd + r + + dkd + -22 2 b2 + 4ac + 2kckb2?kb+2a b2+4ac+4akc2a显然 2a 0; 经过计算可知,kb