第四章解析函数的幂级数表示法

1、复变函数教案 第四章 解析函数的幂级数表示法 河北民族师范学院数计系第四章 解析函数的幂级数表示法级数也是研究解析函数的一个重要工具，这部分内容大都是数学分析中的内容的平移推广。第一节 复级数的基本性质（1）教学课题：第一节 复级数的基本性质（1）教学目的：1、理解复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理；2、掌握复级数的绝对收敛性的概念及其判别法；3、切实了解复函数项级数收敛与一致收敛的定义；4、掌握柯西一致收敛准则和优级数准则；5、掌握复连续函数项级数的性质，并充分了解复函数级数的内闭一致收敛性。6、了解关于解析函数项级数的威尔斯特拉斯定理。教学重点：复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性

2、的刻画定理；教学难点：复函数级数的内闭一致收敛性。教学方法：启发式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：复级数也是研究解析函数的一种重要工具，它是我们根据原来函数项级数的内闭一致收敛对级数进行分析性质的研究。教学过程：1、复数项级数和复数序列：1.1复数序列及其敛散性复数序列就是：在这里，是复数，一般简单记为。按照是有界或无界序列，我们也称为有界或无界序列。设是一个复常数。如果任给，可以找到一个正数N，使得当nN时,那么我们说收敛或有极限，或者说是收敛序列，并且收敛于，记作。如果序列不收敛，则称发散，或者说它是发散序列。令，其中a和b是实数。由不等式容易看出，等价于下列两极限式：因此，有下面的

3、注解：注解1、序列收敛（于）的必要与充分条件是：序列收敛（于a）以及序列收敛（于b）。注解2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列收敛于，或者说有极限点的定义用几何语言可以叙述为：任给的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N，使得当nN时，在这个邻域内。注解3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。1.2 复数项级数及其敛散性复数项级数就是或记为，或，其中是复数。定义其部分和序列为：如果序列收敛，那么我们说级数收敛；如果的极限是，那么说的和是，或者说收敛于，记作，如果序列发散，那么我们说级数发散。注解1、对

4、于一个复数序列，我们可以作一个复数项级数如下则序列的敛散性和此级数的敛散性相同。注解2、级数收敛于的定义可以叙述为：，注解3、如果级数收敛，那么定理4.1、令 ，我们有因此，级数收敛（于）的必要与充分条件是：级数收敛（于a）以及级数收敛（于b）。注解、关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，例如下面的柯西收敛原理：柯西收敛原理（复数项级数）：级数收敛必要与充分条件是：任给，可以找到一个正整数N，使得当nN，p=1,2,3,时，柯西收敛原理（复数序列）：序列收敛必要与充分条件是：任给，可以找到一个正整数N，使得当m及nN，对于复数项级数，我们也引入绝对收敛的概念：如果级数收

5、敛，我们称级数绝对收敛。注解1、级数绝对收敛必要与充分条件是：级数以及绝对收敛：事实上，有注解2、若级数绝对收敛，则一定收敛。例、当时，绝对收敛；并且有我们有，当时，如果复数项级数及绝对收敛，并且它们的和分别为，那么级数也绝对收敛，并且它的和为。第一节 复级数的基本性质（2）教学课题：第一节 复级数的基本性质教学目的：1、理解复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理；2、掌握复级数的绝对收敛性的概念及其判别法；3、切实了解复函数项级数收敛与一致收敛的定义；4、掌握柯西一致收敛准则和优级数准则；5、掌握复连续函数项级数的性质，并充分了解复函数级数的内闭一致收敛性。6、了解关于解析函数项级数的

6、威尔斯特拉斯定理。教学重点：复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理；教学难点：复函数级数的内闭一致收敛性。教学方法：启发式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：复级数也是研究解析函数的一种重要工具，它是我们根据原来函数项级数的内闭一致收敛对级数进行分析性质的研究。2、一致收敛的复函数项级数和复函数序列：定义4.3 设在复平面点集E上有定义，那么：是定义在点集E上的复变函数项级数，记为，或。设函数f(z)在E上有定义，如果在E上每一点z，级数都收敛于f(z)，那么我们说此级数在E上收敛（于f(z)），或者此级数在E上有和函数f(z)，记作设是E上的复变函数列，记作或。设函数在E上有定义，如

7、果在E上每一点z，序列都收敛（于），那么我们说此序列在E上收敛（于），或者此序列在E上有极限函数，记作注解1、复变函数项级数收敛于f(z)的定义可以叙述为：注解2、复变函数序列收敛于的定义可以叙述为：定义4.4 如果任给，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数，使得当时，有或 那么我们说级数或序列在E上一致收敛（于f(z)或）。注解、和实变函数项级数和序列一样，我们也有相应的柯西一致收敛原理：定理4.5 柯西一致收敛原理（复函数项级数）：复变函数项级数在E上一致收敛必要与充分条件是：任给，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数，使得当，p=1,2,3,时，有柯西一致收敛原理 （复变函数序列

8、）：复变函数序列在E上一致收敛必要与充分条件是：任给，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数，使得当时，有注解、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法（M-判别法）：设在复平面点集E上有定义，并且设是一个收敛的正项级数。设在E上， 那么级数在E上一致收敛。定理4.6 设复平面点集E表示区域、闭区域或简单曲线。设在集E上连续，并且级数或序列在E上一致收敛于f(z)或，那么f(z)或在E上连续。定理4.7 设在简单曲线C上连续，并且级数或序列在C上一致收敛于f(z)或，那么或注解1、在研究复变函数项级数和序列的逐项求导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和序列；注解2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究

9、和函数与极限函数的解析性及其导数。设函数在复平面C上的区域D内解析。如果级数或序列在D内任一有界闭区域（或在一个紧集）上一致收敛于f(z)或，那么我们说此级数或序列在D中内闭（或内紧）一致收敛于f(z)或。定理4.8（魏尔斯特拉斯定理） 设函数在区域D内解析，并且级数或序列在D内闭一致收敛于函数f(z)或，那么f(z)或在区域D内解析，并且在D内或证明：先证明f(z)在D内任一点解析，取的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条简单闭曲线C。由定理2.2以及柯西定理，因为根据莫勒拉定理，可见f(z)在U内解析。再由于是D内任意一点，因此f(z)在D内解析。其次，设U的边界即圆K也在D内，于是，

10、对于一致收敛于。由定理2.2，我们有也就是因此，定理中关于级数的部分证明结束。对于序列，我们也先证明在D内任一点解析，取的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条简单闭曲线C。由定理2.2以及柯西定理，因为根据莫勒拉定理，可见在U内解析。再由于是D内任意一点，因此在D内解析。其次，设U的边界即圆K也在D内，于是，对于一致收敛于。由定理2.2，我们有 也就是因此，定理中关于序列的部分证明结束。第二节 幂级数教学课题：第二节 幂级数教学目的：1、理解幂级数的收敛性；2、充分理解幂级数的收敛半径、收敛域的意义；3、切实掌握幂级数和函数的解析性。教学重点：幂级数和函数的解析性；教学难点：幂级数和函数的

11、解析性。教学方法：启发式、探究式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：幂级数是一种简单解析函数项级数，把解析函数表示为简单的幂级数，不仅有理论上的意义，更有实际的意义。教学过程：1、幂级数的敛散性：本节研究一类特别的解析函数项级数，即幂级数其中z是复变数，系数是任何复常数。注解1、这类级数在复变函数论中有特殊重要的意义；注解2、一般幂级数在一定的区域内收敛于一个解析函数；注解3、在一点解析的函数在这点的一个邻域内可以用幂级数表示出来，因此一个函数在某个点解析的必要与充分条件是，它在这个点的某个邻域内可以展开成一个幂级数。首先研究幂级数的收敛性，我们有阿贝尔第一定理：定理4.10 如果幂级数在收

12、敛，那么对满足的任何 z，它都不仅绝对收敛，而且内闭一致收敛。证明：由于幂级数在收敛，所以有，因此存在着有限常数M，使得。把级数改写成则有其中已令由于级数收敛，所以此幂级数在满足的任何点 z不仅收敛，而且绝对收敛。注解：与幂级数相对应，作实系数幂级数其中x为实变数。则有推论4.11 如果幂级数在发散，那么对满足的任何 z，它都发散。定理4.11 设的收敛半径是R，那么按照不同情况，我们分别有：(1)、如果，那么当时，级数绝对收敛，当时，级数发散；（2）如果，那么级数在复平面上每一点绝对收敛；（3）如果R=0，那么级数在复平面上除去外每一点发散。证明： （1）先考虑的情形。如果，那么可以找到一个

13、正实数，使它满足。由于级数在时绝对收敛，所以级数在时绝对收敛，从而它在时也绝对收敛。如果，那么可以找到一个正实数，使它满足。假定级数在时收敛，那么级数在时也收敛，与所设相矛盾。（2）如果，则对任何实数x，级数都绝对收敛。如果，由于级数在时绝对收敛，所以级数在时绝对收敛，从而它在时也绝对收敛，由于的任意性，那么级数在复平面上每一点绝对收敛；（3）如果R=0，则对任何实数，级数都发散。若存在一个复数，使得收敛，则由定理3.1，当时，绝对收敛，即收敛，所以存在，使得收敛，与假设矛盾。注解1、当时，对于，级数的敛散性不定。注解2、和数学分析中一样，定理3.2中的称为此级数的收敛半径；而称为它的收敛圆盘

14、。当时，我们说此级数的收敛半径是，收敛圆盘扩大成复平面。当R=0时，我们说此级数的收敛半径是0，收敛圆盘收缩成一点。注解3、因此，求的收敛半径的问题归结成求的收敛半径的问题。和数学分析中一样，常见情况下，可以用达朗贝尔法则或柯西法则求出。对于一般情况，则可用柯西-阿达马公式求出，因此，有下面的定理：定理4.12 如果下列条件之一成立：（1） （2） （3） 那么当（1）时，级数的收敛半径；（2）当时， ；（3）当时， 。注解1、公式（3）中的l总是存在的。注解2、（上极限的定义）已给一个实数序列。数满足下列条件：任给，（1）至多有有限个；（2）有无穷个，那么说序列的上极限是L，记作如果任给，有

15、无穷个，那么说序列的上极限是，记作如果任给，至多有有限个，那么说序列的上极限是，记作注解3、（柯西-阿达马公式的证明）设，任取定z，使得。可以找到，使得。又由上极限的定义，存在着N0，使得当nN时从而因此级数在时绝对收敛。由于的任意性，得到此级数在内绝对收敛。另一方面，任取定，使得。可以找到，使得。又由上极限的定义，有无穷多个，满足，即满足因此级数在时发散，从而此级数在内发散。注解4、幂级数的和是收敛圆内有定义的一个函数，我们称为和函数。定理4.13 设幂级数有收敛圆盘。那么在内，它内闭一致收敛；它的和函数解析，并且证明：我们只需证明在收敛圆盘内闭一致收敛即可。设E是这个圆盘内的任意一个紧集。

16、于是存在着0rR，使得E包含在闭圆盘内。于是当时因为收敛，所以在E上一致收敛，因此它在收敛圆内闭一致收敛。注解：幂级数在收敛圆周的收敛与发散不定。例1、级数 的收敛半径是1。注解1、由柯西准则我们可以证明，复数项级数收敛的一个必要条件也是其通项趋近于0。注解2、例1中的幂级数在|z|=1上通项不趋近于0，所以发散。例2、级数 的收敛半径是1。在收敛圆|z|=1上，有，而级数收敛，所以此幂级数在收敛圆周上处处收敛。注解：下面将要证明，例2中幂级数的和函数等于它在|z|=1上，除去z=-1外，处处解析。3、幂级数和的解析性定理4.14（1）幂级数的和函数f(z)在气收敛园内解析；（2）在K内幂级数

17、可以逐项求导至任意阶；（3）第三节 解析函数的泰勒展式教学课题：第三节 解析函数的泰勒（Taylor）展式教学目的：1、掌握泰勒定理、泰勒系数公式及解析函数的等价刻画命题；2、充分理解幂级数的和函数在收敛圆周上的状况；3、了解幂级数的四则运算及其幂级数的各种展开法。教学重点：泰勒定理、泰勒系数公式及解析函数的等价刻画命题教学难点：幂级数的各种展开法教学方法：启发式、讨论式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：主要研究在圆内解析的函数如何展开成幂级数的问题。教学过程：1、解析函数泰勒定理：定理4.14、设函数f(z)在圆盘内解析，那么在U内，证明：设。以为心，在U内作一个圆C，使z属于其内区域。

18、我们有由于当时，又因为所以上式的级数当时一致收敛。把上面的展开式代入积分中，然后利用一致收敛级数的性质，得其中，由于z是U内任意一点，定理的结论成立。定理4.15 函数f(z)在一点解析的必要与充分条件是：它在的某个邻域内有定理4.14中的幂级数展式。注解：在定理4.14中，f(z)在U内的幂级数展式我们称为它在U内的泰勒展式。推论4.11 幂级数是它的和函数f(z)在收敛圆内的泰勒展式，即因此，我们有解析函数的幂级数展式的唯一性定理：推论4.12 在定理4.11中，幂级数的和函数f(z)在U内不可能有另一种形式的幂级数。注解： 利用泰勒展式的唯一性定理，我们可以用多种方法求一个函数的泰勒展式

19、，所得结果一定相同。例1、 求在z=0的泰勒展式。解：由于，所以，因此同理，有由于在复平面上，以某些射线为割线而得的区域内，多值函数-对数函数和一般幂函数可以分解成解析分支，因此在已给区域中任一圆盘内，可以作出这些分支的泰勒展式。例2、求Ln(1+z)的下列解析分支在z=0的泰勒展式：解：已给解析分支在z=0的值为0，它在z=0的一阶导数为1，二阶导数为-1，n阶导数为,因此，它在z=0或在|z|1的泰勒展式是：其收敛半径1。例3、求的下列解析分支在z=0的泰勒展式（其中不是整数），。解：已给解析分支在z=0的值为1，它在z=0的一阶导数为，二阶导数为，n阶导数为,因此，它在z=0或在|z|1

20、的泰勒展式是：其中，其收敛半径为1。注解、这是二项式定理的推广，对为整数的情况也成立。第四节 解析函数零点的孤立性及唯一性定理教学课题：第四节 解析函数零点的孤立性及唯一性定理教学目的：1、了解解析函数零点的概念及其有零点的解析函数的表达式2、充分理解解析函数零点的孤立性及其内部唯一性定理；3、充分掌握解析函数的最大模原理。教学重点：解析函数零点的孤立性及其内部唯一性定理教学难点：最大模原理教学方法：启发式、讨论式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：解析函数零点的概念、解析函数零点的孤立性及其内部唯一性定理以及解析函数的最大模原理是本节的主要内容。教学过程：1、解析函数零点的孤立性：定义4.

21、7 设函数f(z)在的邻域U内解析，并且，那么称为f(z)的零点。设f(z)在U内的泰勒展式是：现在可能有下列两种情形：（1）如果当n=1,2,3,时，,那么f(z)在U内恒等于零。（2）如果不全为零，并且对于正整数m，而对于n1，我们说是f(z)的单零点或m阶零点。如果是解析函数f(z)的一个m阶零点，那么显然在的一个邻域U内其中在U内解析。因此存在一个正数，使得当时，。于是。换而言之，存在着的一个邻域，其中是f(z)的唯一零点。定理4.17 设函数f(z)在解析，并且是它的一个零点，那么或者f(z)在的一个邻域内恒等于零，或者存在着的一个邻域，在其中是f(z)的唯一零点。（简单说来，不恒为

22、零的解析函数的零点是孤立的）注解：此性质我们称为解析函数零点的孤立性。推论4.18 在圆域K：内解析，在K内f(z)的一列零点收敛于a,则f(z)在K内必恒为零。2、解析函数的唯一性定理：我们知道，已知一般有导数或偏导数的单实变或多实变函数在它的定义范围内某一部分的函数值，完全不能断定同一个函数在其他部分的函数值。解析函数的情形和这不同：已知某一个解析函数在它区域内某些部分的值，同一函数在这区域内其他部分的值就可完全确定。引理6.1 设f(z)是区域D内的解析函数。如果f(z)在D内的一个圆盘内恒等于零，那么f(z)在D内恒等于零。证明：设在D内一个以为心的圆盘内，。我们只需证明在以外任一点。

23、用D内的折线L连接，存在着一个正数，使得L上任一点与区域D的边界上任一点的距离大于。在L上依次取，而其他任意相邻两点的距离小于；作每一点的邻域，显然，当jn时，。由于f(z)在内恒等于零，。于是f(z)在内泰勒展式的系数都是零，从而f(z)在内恒等于零。一般地，已经证明了f(z)在内恒等于零，就可推出它在内恒等于零，而最后就得到，因此引理的结论成立。定理4.19 如果f(z)在区域D内解析，并且不恒等于零，那么f(z)的每个零点有一个邻域，在其中是f(z)唯一的零点。定理4.20（解析函数的唯一性定理） 设函数f(z)及g(z)在区域D内解析。设是D内彼此不同的点(k=1,2,3,)，并且点列在D内有极限点。如果，那么在D内，f(z)=g(z)。证明：假定定理的结论不成立。即在D内，解析函数F(z)=f(z)-g(z)不恒等于0。显然。设是点列在D内有极限点。由于F(z)在连续，可见。可是这时找不到的一个邻域，在其中是F(z)唯一的零点