一元二次方程知识点及习题

1、一兀二次方程、本章知识结构框图二、具体内容(一)、一元二次方程的概念1 1 理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为 1 1，未知数的最高次数为 2 2，整式方程，可化为一般形式；2 2 正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数(1)让学生明确只有当二次项系数a 0时，整式方程ax2bx c 0才是一元二次方程。(2) 各项的确定( (包括各项的系数及各项的未知数 ).).(3) 熟练整理方程的过程3 3元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解4 4列出实际问题的一元二次方程(二)、一元二次方程的解法1 1 明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，

2、从而 把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2 2根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3 3体会不同解法的相互的联系；4 4 值得注意的几个问题：2 2(1)(1)开平方法：对于形如x n或(ax b) n(a 0)的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解形如x2n的方程的解法：当n 0时，x、一n；当n 0时，x-ix20；当n 0时，方程无实数根。2（2 2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为（x m）n的方程，再运用开平方法求解。配方法的一般步骤：1移项：把一元二次方

3、程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；2“系数化 1 1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1 1；3配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为（x m）2n的形式；求解:若n0时，方程的解为xm . n，若n 0时，方程无实数解。（3 3）公式法：-兀二次方程axbxc 0( a 0)的根x -bb24ac2a当b24ac0时，方程有两个实数根，且这两个实数根不相等；当b24ac0时，方程有两个实数根，且这两个实数根相等，写为X1X2b2a当b24ac0时，方程无实数根. .公式法的一般步骤：把一元二次方程化为一般式；确定a, b, c的值；代入b24ac中

4、计算其值，判断方程是否有实数根；若b24ac 0代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。）（4 4）因式分解法：1因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0 0，那么这两个因式至少有一个为0 0，即:若ab 0，则a 0 或 b 0；2因式分解法的一般步骤：将方程化为一元二次方程的一般形式；把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0 0；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。（5 5）选用适当方法解一元二次方程1对于无理系数

5、的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。2方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。（6 6）解含有字母系数的方程（1 1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；（2 2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。（三）、根的判别式1 1了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。（1 1）= =b24ac（2 2） 根的判别式定理及其逆定理：对

6、于一元二次方程ax2bx c 0（a 0）方程有实数根;（当a 0时方程有两个不相等的实数根；当0 时方程无实数根;从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。2 2 常见的问题类型（1 1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况（2 2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围（3 3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况1先计算出判别式（关键步骤）；2用配方法将判别式恒等变形；3判断判别式的符号；4总结出结论 例：求证：方程（a21）x22ax （a24） 0无实数根。（4 4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指

7、明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0 0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0 0, 一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。（5 5）元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面 分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧（6 6）元二次方程根的判别式与整数解的综合（7 7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题（四）、一元二次方程的应用1 1 数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。2 2 几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要 结

8、合几何知识检验。3 3 增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（a）,增长率（x）,变化的次数（n）,变化后的基数（b），这四者之间的关系可以用公式a（i x）nb表示。4.4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。（五）新题型与代几综合题（1 1） 有 100100 米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600600 平方米，在场地的北面有一堵5050米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长4040 米、宽 1010 米的仓库，但面积只有 400400 平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？（2 2） 读诗词解题（列出方程

9、，并估算出周瑜去世时的年龄）：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？ （3636 岁）已知：a,b,c分别是ABC的三边长，当m 0时，关于x的一元二次方程c（x2m） b（x2m）2max 0有两个相等的实数根，求证:当当方程有两个相等的实数根；）ABC是直角三角形。(4)已知：a,b,c分别是ABC的三边长，求证：方程b2x2(b2c2a2)x c20没有实数根。(六)(一)1 1.一(2(2)若分式3 3 由方程的根的定义求字母或代数式值(0,0 0)(二)一元二次方程的解法1.1.开平方法解下列方

10、程：(1)5x223x(5x2, 3x, 2)(2)(2)26x215x0(6x2,15x, -.2)(3)(3)3y(y1)7( y2) 5(3y2, 4y, 9)(4(4)(m、m)(m、m) (m 2)27 5m(2m2,0, 3)(5(5)(5a1)24( a3)22(3a ,2a, 5)一次项，常数项:.次方程的定义求待定系数或其它字母的值把下列方程化为一元(5(5)当 m m 是什么整数时,关于x的一元二次方程mx24x 40与x224mx 4m 4m 50的根都是整数？ (m 1)(6(6)已知关于 x x 的方程2 .x22x 0，其中m为实数，(1 1 )当m为何值时，方程没

11、有实x 2x 2m数根?(2(2)当 m m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。答案:(1(1)m 2(2 2)x 1, 1. 2. .相关练习一元二次方程的概念元二次方程的项与各项系数 次方程的一般形式，再写出二次项,2 2.应用一元 2(1)(1)m为何值时，关于x的方程(m 2)xm(m3)x4m是一元二次方程。(m、2)(1)(1)关于x的一元二次方程(a1)xa210有一个根为 0 0,则a(2)(2)已知关于x的一元二次方程2axbxc 0(a 0)有一个根为 1 1，一个根为1，则(3(3)已知 c c 为实数，并且关于元二次方程x23xc 0的一个根的相

12、反数是方程3x c 0的一个根，求方程x23x c 0的根及 c c 的值。(0(0,-3-3,c=0c=0)(1)5x21250(人5, X25)(2)2169(x 3)289(Xi5613，x222)13(3(3)y23610(原方程无实根)(4)(1、3)m20(m1m20)i i）(5)21)252.2.配方法解方程:(3)2y24y3.3.公式法解下列方程:(1)2 x49 0(x6)(2 2)2y 4y 450(y19,y25)(3)(3)8x210 x 30（1X1,X23-)(4 4).7x2. 21x0(X10,X2、3)42(5(5)6x23、_3x 2、2x6(x132,

13、X22)(6 6)(x 5)2(x5) 1(X1x2623(7(7)(x23x)22(x23) 80(X12, X21,X34,X41)4 4.因式分解法解下列方程:5 5解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）)(1)x22x 5(X5y102)(1)3x26x(xp232.3p(P1P23)(3)7y211yyi11(4(4)9n25n 2（原方程无实数根）(5(5)(x2)(2x1)(xi i）(1)2(2x 7)2128(2)2m m2 212(m2m).6一)2(3)6x(x 2) (x2)(x3)(x-i2, x23 -)5(4(4)y233y(322y)y(3y(y1(5(5)81

14、(2x25)144(x3)22710，x26 6解含有字母系数的方程（解关于 x x 的方程）：(1)x22mx m2n2( (x1m n, x2(2)x23a24ax 2a(X13a 1,X2a 1)22（2m 3）x 4m 14m80有两个相异整数根，求的值及方程的根。（当m=12=12 时，方程的根为x116, x226；当m=24=24 时，方程的根为x138, x252）（四）一元二次方程的应用1 1已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积 （3 3，4 4，5 5,面积为 6 6）2 2.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4 4，且个位数字与十位数字的平方和比这

15、个两位数小4 4,求这个两位数 （8484）3 3某印刷厂在四年中共印刷19971997 万册书，已知第一年印刷了342342 万册，第二年印刷了 500500 万册，如果以后两年的增长率相同，那么这两年各印刷了多少万册？（550,550, 605605）4.4.某人把 50005000 元存入银行，定期一年到期后取出 300300 元， 将剩余2(3 3)(m n)x 2nx m n(mn 0)(捲1,X2mmn)n(4 4)a2(x2x 1) a(x21)(a21)x（讨论a a)（三）一兀二次方程的根的判别式1 1.不解方程判别方程根的情况：2（1 1） 4 4x x 3 7x（有两个不

16、等的实数根）(2)3(x22) 4x（无实数根）（3 3）4x25 4、_5x（有两个相等的实数根）22 2.k为何值时，关于 x x 的二次方程kx6x 9 0（1 1）有两个不等的实数根(k 1 且 k0)（2 2）有两个相等的实数根(k 1)（3 3）无实数根(k 1)3 3.已知关于x的方程4x2（m2)x1 m有两个相等的实数根. 求m的值和这个方程的根13(m 2,刘X2或m 10,刘X) )222 24 4.若方程x 2(a 1)x a4a 50有实数根，求: 正整数a.a.(a1,a2,a5 5.对任意实数 m m，求证：关于 x x:的方程(m21)x2c22mx m4 0无

17、实数根. .26 6.k为何值时，方程（k 1）x(2 k3)x(k 3)0有实数根（当k 10时，原方程有一个实数根，x4;53)k 10时,k解得k21，所以当k421且k 1时方程有两个实数根。4综上所述，当k21时4时，方程有实数根. .7 7.设m为整数，且4 m40时，方程部分（包括利息）继续存入银行，定期还是一年，且利率不变，到期如果全部取出，正好是275275 元，求存款的年利率？（不计利息税）5 5某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出2020 件，每件盈利 4040 元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价件，若商场

18、平均每天要盈利12001200 元，每件衬衫应降价多少元？（ 2020 元）甲的速度为每分钟 1 1 千米，乙的速度每分钟 2 2 千米，若正方形广场周长为距210千米？（2 2 分钟后）7 7.某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款200200 万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息，利息为本金的 8%,8%,该产品投放市场后由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息夕卜, ,还盈余 7272 万元，若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数. .（20%20%）& &如图，东西和南北向两条街道交于O O 点，甲沿东西道由西向东走，速度是每秒 4 4 米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3 3 米，当乙通过 O O 点又继续前进 5050 米时，甲刚好通过 O O 点，求这两人在相距 8585 米 时，每个人的位置。（甲离 O84O84 米，乙离 O13O13 米）2 _9 9.已知关于 x x 的方程（n 1）x mx 10有两个相等的实数根 （1 1）求证：关于 y y 的方程m2y22my m22n23