(黄梦莉)研析二重极限与累次极限的关系讲解

1、通化师范学院本科生毕业论文（20162016 届）题目研析二重极限与累次极限的关系学院_ 数学学院专业 _ 数学与应用数学班级 _ 1212 级 0101 班作者姓名 黄梦莉 学号 201206010104201206010104指导教师 王宏志 职称副教授学位硕士论文成绩2016 年 5 月摘要.1关键词.1中文摘要.1英文关键词 .11引言.12预备知识.13二重极限与累次极限之间的联系.33.1二重极限与累次极限没有必然的联系.33.2二重极限与累次极限在一定条件下的联系.53.3利用累次极限求解二重极限.53.4数列的二重极限与累次极限的关系.64结束语.65参考文献.7-1 -研析二

2、重极限与累次极限的关系数学学院 1201 黄梦莉摘 要：二元函数极限概念是多元函数微积分学的一个重要内容，本文利用二重极限与 累次极限的概念，讨论它们的本质性区别，归纳总结了二重极限与累次极限存在性之间的 内在联系关键词：多元函数；二重极限；累次极限；关系Research on the Relati on ship betwee n Double Limitand Repeated LimitClass1201 School of Mathematics HUANG MengliAbstract: The concept of limit of two elements function is

3、 an important content of multivariatefunction differential calculus, using the concept of double limit and the repeated limit, discussedtheir essential differences, summarizes the inner relation between the double limit and doublelimit.Key words: multivariate;double limit; repeated limit; relati on

4、ship1 引言二元函数的两种极限 二重极限和累次极限，二重极限在多元函数微积分中占有突 出地位，对于二重极限与累次极限的正确理解和求解是研究多元函数微分学的基础，而二 重极限与累次极限的关系是其重要内容对于初学者，很容易对两者之间的关系产生疑问 及误解，甚至分不清这两种极限的概念为了正确认识这两种极限之间的关系，首先要掌 握这两种极限的概念，清楚理解这两种极限实质性的区别，其次深入研究这两种极限存在 性的联系掌握二重极限与累次极限的概念及其关系有利于研究多元函数微积分及多元函 数极限的计算在本文中还将介绍二重极限与累次极限的关系同样适用于数列中一一数列的二重极限与累次极限的关系，在这里的数列

5、是指二重数列，而二重数列可以看成二元函 数.2 预备知识(1) 二重极限与累次极限的概念定义1设f为定义在上的 D 於二元函数，Pc为D的一个聚点，A是一个确定的实数.若对任给正数名，总存在某正数6，使得当PEU=(PnD时，都有f(p)_Av名.-2 -则称f在D上当 p p0时以A为极限，记作limf(P)=A.P-PoP .D在对于PD不致产生误解时，也可以简单地写作lim f P = A.PTPo当 P , Po分别用坐标x,y， Xo,yo表示时，上式也常写作xj叭,yof x,y=A.在所研究的极限ym y f x, y中，两个自变量x, y同时以任何方式趋于 xo，yo这种极限也

6、称为二重极限.定义2设 f x,y,x,y D,D在x轴、y轴上的投影分别为X，丫 .即X =&(x,y)壬D,Y =y(x,y)w D.xo， yo分别是X， 丫的聚点若对每一个y丫y=yo，存在极限lim f x, y，它一般jxo与y有关，故记作:(y) lim f (x, y)，如果进一步还存在极限L =lim (y)，则称此极限Lxoyo为 f X, y 先对X：；xo，后对y：；yo的累次极限记作L = lim lim f(x,y).y yox xo类似地可以定义先对y后对x的累次极限K = lim lim f (x, y).x：xoy yo(2) 二重数列及其极限的定义定

7、义3用D来表示下面的点集：D =；(m, n): m,n都是自然数(每个点的坐标都是由两个自然数组成的.)在点集D上定义的函数f x,y,通常写成数列的形式：amn二f (x,y)(m,n =1,2，).这叫做二重数列.这种数列也可以写成无穷阶矩阵”的形式：an a2 am a21a22a2 n-3 -当m,n 以任意的方式无限增大时，这个二重数列的极限定义为lim f x, yx,y Dx一;y :3 二重极限与累次极限的关系3.1二重极限与累次极限没有必要的联系累次极限与二重极限是两个独立的不同概念，它们的存在性没有必然的包含关系由 此开始将逐一进行分类并说明二重极限与累次极限没有什么关联

8、.3.1.1二重极限存在，而两个累次极限不存在1f x, y = x y sin sin x同理，lim lim f x, y也不存在.xT yo由例1发现二重极限的存在并不能保证累次极限的存在.3.1.2二重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在由例1知道二重极限存在，两个累次极限不存在，但一个二元函数的两个累次极限不 一定相等，虽然只是对两个不同变量求极限的次序不同，但结果并不一定总是相等的，有 时甚至会出现一个累次极限存在而另一个不存在的情形. 1 1例2函数f(x,y)qsinx满足xm丫前厂蝕 =0，1T o （X, y）T （0,0 ）,故（X啓0）ysin =0 .3.1.

9、3二重极限与累次极限都不存在limm n :m n解 O|f（x,yj=（x + y ）sin由两边夹定理可知:limx,ylimxy j Oof x, y = 0,但是，对任意给定的（|x十y| ） = 01由于lim xsin sinXTOx.1.1，而lim ysin sin不存在,XTOx y所以lim x y sin sinx 0 x1不存在，即y巴oxmof(x,y)不存在,凹1xmoysin不存在.xysin7-|y-4 -以上例1与例2都是说明二重极限存在时，累次极限的存在性无法保证，由下面例3-5 -与例4可以看到二重极限与累次极限都可以不存在例3设 f x, y =丄，则其

10、在 0,0 重极限与累次极限都不存在.xyex_eyex_ey例4设f(x,y )=-在(0,0点的累次极限呵呵-不存在,sin xyTyT sin xyIym0ixm0eS也不存在，即函数彳x,y的两个累次极限均不存在，当动点 x,y 沿x轴正向趋于(0,0时，limxy、s)sinxy3.1.4两个累次极限存在且相等时，二重极限不存在由例5开始说明累次极限的存在也不能保证二重极限的存在性.xy屮例5f (x , y )= r,(x ,y片(0,0 ),f(x ,y)在(0,0 )处的两个累次极限都存在且相x + yy )= IJm。f (x, y )= 0，再求二重极限，当动点(x, y

11、)沿着直线 y =mx而趋于定点 0,0 时，由于此时 f X, y = f x,mx 社，因而有1 + m线趋于原点时，对应的极限值也不同，因此所讨论的极限不存在.3.1.5两个累次极限存在且不相等时，二重极限不存在同样的，当两个累次极限结果不同时，也不能保证二重极限的存在性.例6设 f x, y 二x_ 2y笃2，它关于原点的两个累次极限分别为:x+yX + X2l i mI i ml x = 1.x 0 xx 0当沿斜率不同的直线y =mx，x,yi：0,0时，对应的极限值也不同，因此该函数的二 重极限不存在.3.2二重极限与累次极限在一定条件下的联系通过以上的五个情形以及例题，已清楚地

12、了解到累次极限与二重极限之间的存在性并没有什么关联，那么在它们之间是否真的毫无关系可寻的呢？并非如此.:,y2xy . m xlim22 =lim2、=x,yyx0,0 x yx-；ox 1 m 1 mm2，这一结果说明动点沿着不同斜率m的直*2*2x_y x yI i nh i mXrO y=0 x y+ 2*2x_y x y lim limy0 x0 x亠y2 _二凹罗=xm0(yT)=T.-6 -定理1若fX, y 在点 Xo,yo存在重极限lim fxyxXoy。与累次极限l i ml i mf (x, y )，xxoyo则它们必相等.由定理1可导出如下两个便于应用的推论.推论1若累次

13、极限lim lim f x, y,lim lim f x, yjxyjy。yjy。和重极限lim f x,yx,y ix),yo都存在，则三者相等.推论2若累次极限lim lim f x, y与lim lim f x, yjx。yoy yox存在但不相等，则重极限lim f x,y必不存在.(x,y”xo,yo )但是，定理1保证了在二重极限与其中一个累次极限都存在时，它们必相等，但它们对另一个累次极限的存在性却不能得出什么结论.推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件；推论2可用于否定重极限的存在性.3.3利用累次极限求解二重极限求二重极限的方法大致可归纳为如下几种：(1) 利用二重极限

14、的“”定义；(2) 利用有界变量替换与无穷小量的乘积仍为无穷小量及等价无穷小的代换；(3) 利用两边夹定理；(4) 利用变量替换，将二重极限转化为已知极限或一元函数极限.本文将重点分析如何利用累次极限求解二重极限二重极限与累次极限虽然没有必要的联系，但是仍然可以通过累次极限和二重极限的一些关系来求解二重极限.-7 -2 212 2例7f(x,y)=(x +y i n,x +y 芒 0,求 ylim00f x, y .解 先求累次极限，lim lim f x, y = 0，再利用定义验证也是二重极限的值.x _y _ JO入/事实上，对于任意的x, y =0,0， 都f x,y -1 “x2y2

15、Sin212x +y,VE0,取国=U，当0 x 时,y2sin212x + y3.4数列的二重极限与累次极限的关系考虑二重数列 amnm, n =1,2，这个数列的二重极限和累次极限分别表示为有f (x, y )1 =(X2+-1z即 腺。)f(x,yz.mm*n-lim lim，n :：m : ilim lim amn.m j：:n.已经知道，二重数列可以看成二元函数-8 -f m,ni；=amnm,n =1,2,，这样就有下面的结论.定理2假设(1)二重极限limamn存在；(2)对于所有充分大的n，极限lim amn存在; 那么先m后n的累次极限一定存在，并且等于二重极限：lim .a

16、mn二 lim.limamn.m .n j：.mj：:n-.：说明：关于先n后m的累次极限lim lim amn，也有类似的结论.定理3对于数列 amnm, n =1,2,.假设重极限 lim amn存在mtCn_ (2)对于所有充分大的n，极限lim amn存在；对于所有充分大m，极限Hamn也存在; 那么两个累次极限都存在，并且都等于二重极限lim lim ag二lim lim amn= lim amn.n匸m匸n匸m p:由此就可以看出，二重数列的累次极限与二重极限的关系与上文所提的关系存在相 似，所以累次极限与二重极限的关系同样适用于数列中，这也便于记忆和了解累次极限与 二重极限的关系

17、.4 结束语在前文中可以知道二重极限与累次极限的存在性彼此不能等价.也就是说，二重极限 的存在不能保证累次极限的存在；两个累次极限存在且相等，也不能保证二重极限的存在,更不用说三个极限能相等了二重数列的极限也符合这样的规律.参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析M.北京:高等教育出版社，2002.2 同济大学应用数学系.高等数学M.上海:同济大学出版社,2004.3 赵丽琴，白云芬.累次极限与二重极限的关系研究 J.石家庄学院学报,2005,7(3):19-20.4 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义M.北京：高等教育出版社,2003.5 戴中元.二重极限与累次极限的联系及应用J.高等数学研究,2013,16(2):24-27.董建伟.数学分析中的非蕴含关系J.高师理科学刊，2012,32(2):43-45.7 许汪涛.关于多元函数极限概念J.陕西师范大学教育学报，2