第四章 连续系统振动56

1、第四章 连续系统的振动4.1 概述连续系统是指质量、弹性和阻尼等参数在定空间上连续分布的系统。对于连续系统，需要描述过每一点的位置变化，它不但是时间的函数，也是空间坐标的函数。工程中的弦、杆件、块体都是连续系统，某些连续系统可以简化为多自由度系统，但是还有很多问题是不能简化的。本章只介绍弦的横向振动和杆件的振动。杆件横向受力时叫作梁，所以杆件振动分为杆的扭转振动、杆的轴向振动和梁的振动。主要讨论连续振动的运动微分方程、边界值问题、在初始条件下得自由振动响应、强迫振动响应等。从微分方程上看，弦和杆的振动微分方程都具有相同形式，都是二阶偏微分方程，在数学上叫作波动方程。梁的振动相对复杂一些，是四阶

2、偏微分方程。方程的求解不但要满足初始条件，还要满足边界条件。4.2 弦和杆振动微分方程4.2.1弦的横向振动微分方程弦和绳索是工程上和生活上常用的构件，如悬索桥梁、悬索屋顶、输电线及琴弦等。弦和索的质量是连续分布的，且抗弯刚度较小，故当其横向振动时可忽略弯曲刚度。设一个要张紧的弦长，受横向分布力作用，弦的单位长度的质量为，振动过程张力为。为了建立微分方程，在直角坐标系中用描述弦上距原点处的截面在时刻横向位移，任取弦的一微段长，其受力如图4-1所示。图4-1弦横向振动力学模型在竖直方向应用牛顿第二定理，并考虑振动是微小的，有，且可得： (4.1) 整理后得到： (4.2) 因为： (4.3) 将

3、式（4.3）代入式（4.2），可得： (4.4) 略去二阶小量后，整理可得： (4.5)两边同时除以，得： (4.6) 当张力为常数时，则上式可化为: (4.7) 这就是弦的横向振动的偏微分方程，它与波动方程地方相同，属于一维波动方程。事实上，若设 (4.8) 式（4.7）可进一步简化为： （4.9）4.2.2直杆的纵向振动微分方程 考虑细长杆的纵向振动，作平截面假设，即在振动过程中任一横截面始终保持为平面，则每一横截面内各质点只沿着杆轴线方向作相等位移振动。设杆的弹性模量为,横截面面积为，单位长度质量为，沿轴向的外力为。振动位移为，不计横向变形。任取杆的一个微段画出受力图（4-2），其中为横

4、截面上的轴力。图4-2杆轴向振动力学模型在水平方向应用牛顿第二定理，质量与加速度的乘积为，所以： （4.10）整理两边同时除以并有： （4.11）轴向应变： （4.12） 由虎克定律有轴向应力： （4.13）杆受轴向力： （4.14）把式(4.14)代人式（4.11）得： （4.15）对于等直杆，横截面面积为常量，式(4.15)可写为： （4.16）若设 （4.17）式（4.16）进一步简化为： （4.18） 可见等直杆的纵向振功的运动微分方程与弦横向振动方程一样，也是一维波动方程。4.2.3直杆的扭转振动微分方程 一根圆形横截面的细长直杆，杆的单位体积质量为，剪切模量为G，极惯性矩为J，转动

5、惯量为I。假设杆在扭转振动时截面不翘曲，且始终保持绕轴作微转动。如图4-3（a）以表示处截面的角位移，现在杆上取一微段，并画其受力图如图4-3（b），所示，其中是微段绕轴线的转动惯量。图4-3 园杆扭转振动力学模型根据动量矩定理有： （4.19）整理后得： （4.20）由材料力学知： （4.21）把上式（4.21）代式(4.20)，得： （4.22）若假设 （4.23）对于等直杆为一常数，上式可进一步化简为： （4.24） 弦和杆振动微分方程可统一表示为： （4.25）4.3 弦和杆振动的固有频率和振型与多自由度系统一样，固有频率和振型与激励无关，可用其自由振动微分方程求解，只是对不同的问题，

6、边界条件不同。令式（4.25）激励为零，自由振动微分方程为： （4.26）这类方程的经典解法为分离变量法.设： （4.27）其中是的函数，是时间的函数。通过这个假设，两个变量的函数变化为两个单变量函数的乘积，所以叫分离变量法。显然，反映了振动过程中弦和杆的形状，与时间无关，但应满足边界条件，叫作振型函数。是振型的主坐标。将（4.27）公共代入（4.26）可得： （4.28）整理后得： （4.29）式（4.29）左边是时间的函数，右边是位置的函数，欲使式(4.29)成立，则只能等于常数。我们只在振动范围内讨论，考虑到振动时若频率为，则可设该常数为，有： （4.30） （4.31）其中： （4.3

7、2）显然，振型函数的解可表达为： （4.33）振动过程中振型函数始终都应该满足边界条件，杆的常规的边界条件只有两种：1 固定端 杆扭转振动时转角为零，弦横向振动和杆轴向振动时，位移为零，即有； 从而 2 自由端 杆轴向振动时，自由端拉应力为零；扭转振动时，扭矩为零，（弦一端自由的情况不作讨论）有： ；从而 结合后只有两端固定或一端固定一端自由这两种情况。1 当两端固定时，如下图（4-4）其边界条件得：图4-4两端固定杆力学模型； （4.34）将边界条件式（4.34）代入式（4.33）得： （4.35）为得到非零解，则只有： （4.36） 满足该方程的解有无穷多个， （4.37） 代回式(4.3

8、3)和式（4.32）可得无穷多个固有频率和相应的振型函数: （4.38） （4.39） 式(4.36)称为频率方程，因为频率是通过式（4.36）确定，所以振型函数中不需要待定常数，因此可取振型函数为： （4.40） 前三阶振动振型如图（4-5）所示。图4-5两端固定杆的前三阶振形我们把时的频率称为基频，其它频率为它的整数倍。【例1】：如图4-6所示为悬索桥吊索，长度为，单位长度的质量为，在B点测试横向振动加速度，经分析后得到基频为，试求索的张力。图4-6悬索桥吊索解：由式（4.38）振动频率，将代入到式（4.38）得到： （1）则： （2）取得出索的张力： （3）2当左端固定、右端自由时，如图

9、4-7所示。由前面的边界条件，得：； （4.35）图4-7 左端固定杆模型将边界条件代式（4.35）入式（4.33），为得到非零解，有： （4.41）频率方程为： （4.42） （4.43）同样可得无穷多个固有频率和相应的振型函数： （4.44） （4.45）前三阶振动振型如图（4-8）所示。图4-8左端固定杆的前三阶振形4.4 弦和杆强迫振动响应与多自由度系统一样，弦和杆的振动响应可用数值方法求响应，本节只介绍利用振型函数的正交性的振型叠加法。前面给出了弦和杆两种基本边界条件下的振形都为正弦函数，根据三角函数的正交性各振形都是正交的。前节已经求出了自由振动的振型函数和频率。与多自由度振动叠加

10、法思路相同。设振型函数和相应的主坐标，则第主振动为: （4.46）振动响应为全部解的叠加： （4.47）只是对应不同边界条件，不同。实际计算时，一般取有限项，项数的多少根据关心的振动频率范围定。下面以弦的横向振动为例介绍，根据前面式（4.7）已经求得振动微分方程为：将式（4.47）代入式（4.7），得： （4.48）两边乘以，并从0到对弦长进行积分，（4.49）应用三角函数正交性： 当 当等式除了的一项外，其余各项均为零，整理后可得： （4.50）上式为个独立的二阶微分方程，相当于个单自由度系统。若弦的初始位移为： （4.51）初始速度为： （4.52）令 （4.53） （4.54）两边乘以，

11、并从0到对进行积分，应用三角函数正交性整理后可得： （4.55） （4.56） 将转化后的边界条件式（4.55）和式（4.56）代入式（4.50），可求出各，代回式（4.46）可得弦横向振动响应。【例2】 假设一根两端固定的弦如图4-9所示，其初始条件为： （1）图4-9 两端固定弦模型求其自由振动的响应。解：其振型函数：， （2）其中， （3） 解式（4.50）得：， （4）将初始条件（1）代入式（4.49）和式（4.50）得到主坐标的初始条件： （5） （6） 代入方程（4），得到： （7）代入式（4.46）从而得到弦自由振动的响应为： （8）4.5梁的横向振动梁在工程中应用很广泛，如房屋

12、结构中的主梁、次梁、铁道轨道结构中的钢轨、枕木、桥梁等，梁在垂直其轴线方向发生振动，这种振动称为梁的横向振动或梁的弯曲振动。对于梁在承受横向载荷时，除主要变形为弯曲变形外，还存在着剪切变形，同时当梁的高跨比大时，或在分析高阶振型时，整个梁被节点平面分成若干比较短的小段，此时，这种剪切变形的影响是不可忽视的，另外还必须考虑梁的转动惯量。 本文忽略梁的剪切变形和转动惯量，关于这两部分内容参见其他振动理论文献。图4-10 梁弯曲振动模型设等截面梁长为，单位长度的质量及抗弯刚度EI，建立如图4-10所示的坐标系。现在梁上距左端处取微段，其中表示梁在任意瞬时的横向位移，是单位梁上分布的外力，是单位长梁上

13、分布的力矩。为截面所受剪力其受力图，如图4-11所示。图4-11梁微单元受力图在垂直方向上用牛顿第二定律，得到： (4.57)整理可得： (4.58)并忽略转动惯量的影响，各力对右截面上任一点取矩，合力矩应为零，有： (4.59)整理，并略去二阶微量，有： (4.60)另外，由材料力学知，弯矩与挠曲的关系为： （4.61）将式(4.60)和式(4.61)代人式(4.58)中得： （4.62）上式就是梁横向振动的运动微分方程。对于等直梁,为常量,上式可简化为： （4.63）4.6 固有频率和振型4.6.1 梁的自由振动固有频率和振型函数是梁振动的重要特征，可通过自由振动分析得到。当梁自由振动时，

14、是一个四阶偏微分方程，其运动微分方程为： （4.64）仍采用分离变量法求解，即式(4.64)的解有下列形式： （4.65）其中只与位置有关，是梁振动振型函数，是振型的主坐标。将式(4.65)代人方程(4.64)中，得： （4.66）要使左端与右端相等，两者应等于同一常数。只在振动范围内讨论，考虑到振动时有 （4.67）所以取这常数为，从而: （4.68）其中: （4.69）方程式(4.68)是一个四阶常系数线性微分方程，设其解为它的特征方程是： （4.70）其特征值为： （4.71）所以方程式（4.68）的通解为： （4.72）或表示为： （4.73）其中: 特征值及振型函数由梁的边界条件来确

15、定，对于梁的横向振动，基本的边界条件有以下三种。（1）固定端 固定端的挠度和转角都为零，即 （4.74）（2）铰支端 铰支端的挠度与弯矩都为零，即 （4.75）（3）自由端 自由端的弯矩与剪力都为零，即 （4.76） 实际上在振动过程中任意时刻边界条件都应满足，所以满足也就意味着满足，也就使说振型函数应该满足边界条件。和杆、弦振动一样，根据边界条件可确定梁的无限多个固有频率和相应的振型函数，不同的边界条件有不同的固有频率和振型。4.6.2 固有频率与振型函数下面先讨论常见的几种梁的边界条件：（1） 简支梁图4-12 简支梁模型简支梁的边界条件可知，铰支端的挠度与弯矩都为零，固定端的挠度和弯矩都

16、为零，所以有： （4.77）和 （4.78）由于： （4.79） （4.80）将式（4.77）分别代入式（4.79）、式（4.80）有： （4.81）式（4.81）中两式相加、两式相减，得到： （4.82）将式（4.78）分别代入式（4.79）、式（4.80）有： （4.83）两式相加，因为时，故得： （4.84）两式相减，又因为振型函数非零解即，于是得到频率方程为： （4.85）由此可得特征根为：， （4.86）因，所以系统的固有频率为：， （4.87）相应的振型函数为：， （4.88）前三阶振型图形如下图所示：图4-13 简支梁前三阶振形（2） 固支梁图4-14 两端固支梁由固支梁的边界条

17、件（4.74）可推知（两端位移和转角为零） （4.89） （4.90）将式（4.89）分别代入式（4.79）和式（4.86） （4.79） （4.91）有： （4.92）故有： （4.93）将式（4.90）分别代入（4.79）和式（4.91），有： （4.94）要使、有非零解，上式的系数行列式必须为零，即 （4.95）展开上式，并因为 （4.96）式（4.96）可简化为： （4.97）式（4.97）即为振动的频率方程。用数值解法可以求得系列值()，梁的各个固有频率相应地为：， （4.98）求得各特征根后，由式(4.94)可确定系数与的比值。 （4.99）故与相应的各振型函数可取为： （4.10

18、0）其中前3阶振型函数示于图4-15中图 4-15固支梁前三阶振形以上讨论了两种基本边界梁的固有频率和振型函数，对于其它形式的梁的讨论方法相同。4.6.3 振型函数的正交性在前章中我们讨论过多自由度系统及其振型的正交性，正交性是模态分析法的基础。弹性体振动具有类似的特性。从前面的讨论中可以看到，一些简单情形下的振型函数是三角函数，它们的正交性是比较熟悉的，如前面讲到的杆、弦振动振型的正交性；而在梁的振型函数还包含有双曲函数它们的正交性待进一步说明。下面我们仅就梁的弯曲振动的振型函数论证其正交性。在讨论正交性时，不必涉及振型函数的具体形式。由将式（4.69）代入式（4.68），化简可得： （4.

19、101）对应于任意两个不同的固有频率或的振型函数分别为与，它们都满足式（4.101），代入于是有： （4.102） （4.103）式(4.102)乘以，然后在对进行积分，得： （4.104）利用分部积分法对上式（4.104）左边进行分部积分，得到： (4.105)梁一般只有三种基本边界条件，固支、简支和自由，的边界条件。如果梁端为固支端则位移和转角为零: (4.106)若为铰支端则位移的弯矩为零： (4.107)若为自由端则弯矩和剪力为零： (4.108)所以对于基本边界条件式(4.105)左边前三项均为零： （4.109）同理，再对式(4.103)乘以，然后在对进行积分，得 （4.110）由

20、式(4.109)与式(4.110)相减，可得： （4.111）当，所以有： （4.112）从而式（4.109）和式（4.110）两式左边也可得： （4.113）由此可见，梁弯曲振动振型函数关于质量和刚度正交性，实际上是振型函数的二阶导数所具有的正交性。当时，可记为下列积分： （4.114）称为第阶振型的广义质量，称为第阶振型的广义刚度。由式(4.109)不难看到，有 （4.115）如果主振型中的常数按照下列归一化条件来确定： （4.116）则得到的主振型为正则振型，这时相应的第阶主刚度等于，这时式（4.110）可写为 1， =0， （4.117）由式（4.117）结合式（4.114）得到： （

21、4.118） （4.119）4.7 梁的横向强迫振动(振型叠加法)借助振型函数的正交性，可以使描述连续系统的偏微分方程解耦成一系列的单自由度系统振动方程，求出这些响应后叠加起来，就得到系统的全部响应，即为振型叠加法。由前述式（4.63）梁的横向强迫振动方程为： （4.63）将梁的挠度按振型展开为如下的无穷级数： （4.120）其中是振型函数，是相应的主坐标，将式（4.120）代入式（4.63）得： （4.121）两边乘以并延梁长对积分，则得： （4.122）根据式（4.114）将上式改写为： （4.123）则（4.123）为第个振动坐标方程，式第个主坐标的广义力其中： （4.124）假定梁的初

22、始条件为： （4.125）将式（4.120）代入（4.125）则得： （4.126） （4.127）上面两式乘以并沿梁长对积分： （4.128） （4.129）由振型正交性可得： （4.130） （4.131）上式为第个主坐标的初始条件，式（4.123）对应的齐次方程通解为： （4.132） 其特解可由杜哈梅积分写出： （4.133）于是式（4.123）的通解为： （4.134）将初始条件代入式（4.134）后，可确定待定常数、，然后将求得到的各个主坐标响应代入式（4.120），就得到梁在初始条件下对任意激励的响应。 例题 设简支梁如图4-19所示，梁单位长度质量为，抗弯刚度为EI，设梁上荷载

23、以等速向右运动，求梁的稳态响应。图 4-17 移动荷载作用下梁力学模型解：将坐标原点放在左支座处A点，用描述梁振动的位移，则梁的振动微分方程为： 其振型函数为：将上式代入式（4.124）得：从而由式（4.133）得到其稳态相应： 则： 建立坐标系如图所示，对应于梁的零初始条件，故系统的响应为： 若令题中的速度为零，则得到梁在定点激励下的振动响应。4.8弹性地基梁振动4.8.1自由振动方程弹性地基梁在土木工程中有着广泛的应用,如隧道底板建筑结构底板、地下结构框架等。弹性地基梁力学模型如图4-17所示，地基对梁的弹性作用简化为分布弹簧 ，阻尼被忽略。其中为梁的单位长质量， 为梁的搞弯刚度。 图 4-17 弹性地基梁力学模型