高考专项训练12：理科概率专项训练

1、 一解答题（共30小题）1（2012威远县）学校要用三辆校车从南校区把教职工接到校本部，已知从南校区到校本部有两条公路，校车走公路堵车的概率为，不堵车的概率为；校车走公路堵车的概率为p，不堵车的概率为1p若甲、乙两辆校车走公路，丙校车由于其他原因走公路，且三辆车是否堵车相互之间没有影响（）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为，求走公路堵车的概率；（）在（I）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的辆数的分布列和数学期望2（2011重庆）某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（）恰有2人申请A片区房源的

2、概率；（）申请的房源在a片区的个数的分布列与期望3（2011天津）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）（）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）4（2011山东）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立（）求红

3、队至少两名队员获胜的概率；（）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E5（2011江西）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料若4杯都选对，则月工资定位3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，今X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望6（2011湖南）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）0123频数

4、1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率（）求当天商品不进货的概率；（）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望7（2011广东）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品总数（2）当产品中的

5、微量元素x，y满足x175，y75，该产品为优等品用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中的优等品数的分布列极其均值（即数学期望）8（2011安徽）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p1，p2，p3，假设p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立（）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率若改变三个

6、人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，q3，其中q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数学期望）EX；（）假定lp1p2p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小9（2010天津）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响（）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标另外2次未击中目标的概率；（）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，

7、在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列10（2010四川）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料（）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（）求中奖人数的分布列及数学期望E11（2010山东）某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A，B，C，D四个问题，规则如下：每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C，D分别加1分，2分，3分，6分，答错任意题减2分；每答一题，计分器显示累

8、计分数，当累积分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累积分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；答完四题累计分数不足14分时，答题结束淘汰出局；每位参加者按A，B，C，D顺序作答，直至答题结束假设甲同学对问题A，B，C，D回答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响（）求甲同学能进入下一轮的概率；（）用表示甲同学本轮答题的个数，求的分布列和数学期望E12（2010江西）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门再次到达智能门

9、时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止令表示走出迷宫所需的时间（1）求的分布列；（2）求的数学期望13（2010北京）某同学参加3门课程的考试假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（pq），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123pad（）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；（）求数学期望E14（2010安徽）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n

10、瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为现设n=4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=|1a1|+|2a2|+|3a3|+|4a4|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述（）写出X的可能值集合；（）假设a1，a2，a3，a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列；（）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X2，试按（）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由15（2009重庆）某单位为绿化环境，移栽了甲、

11、乙两种大树各2株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响求移栽的4株大树中：（1）两种大树各成活1株的概率；（2）成活的株数的分布列与期望16（2009浙江）在1，2，3，9，这9个自然数中，任取3个数（）求这3个数中，恰有一个是偶数的概率；（）记为这三个数中两数相邻的组数，（例如：若取出的数1、2、3，则有两组相邻的数1、2和2、3，此时的值是2）求随机变量的分布列及其数学期望E17（2009天津）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品从这10件产品中任取3件，求：（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；（II）取出的3件产品中一等品件数多

12、于二等品件数的概率18（2009四川）为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中是境外游客，其余是境内游客在境外游客中有持金卡，在境内游客中有持银卡（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（II）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望E19（2009陕西）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，椐统计，随机变量

13、的概率分布如下：0123p0.10.32aa（）求a的值和的数学期望；（）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率20（2009山东）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：02 345 p0.03 0.240.010.480.24（1）求q2的值；（2）求随机变量的数学期望E；（3

14、）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小21（2009江西）某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比（）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；（）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A）22（2009湖南）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，选择哪个工程是随机的

15、（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记X为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，求X的分布列及数学期望23（2009湖北）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量=x+y，求的分布列和数学期望24（2009福建）从集合1，2，3，4，5的所有非空子集中，等可能地取出一个（）记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；（）记所取出的非空子集的元素个数为

16、，求的分布列和数学期望E25（2009北京）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望26（2008重庆）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立求：（）打满3局比赛还未停止的概率；（）比赛停止时已打局

17、数的分别列与期望E27（2008浙江）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是（）若袋中共有10个球， 从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望E（）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于并指出袋中哪种颜色的球个数最少28（2008天津）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为（）求乙投球的命中率p；（）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望29（2008四川）一条生产线上生产的产品

18、按质量情况分为三类：A类、B类、C类检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C类产品或2件都是B类产品，就需要调整设备，否则不需要调整已知该生产线上生产的每件产品为A类品，B类品和C类品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响（）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；（）若检验员一天抽检3次，以表示一天中需要调整设备的次数，求的分布列和数学期望30（2008四川）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的（）求进入商场的1位顾客购买甲、乙

19、两种商品中的一种的概率；（）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（）记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望答案与评分标准一解答题（共30小题）1（2012威远县）学校要用三辆校车从南校区把教职工接到校本部，已知从南校区到校本部有两条公路，校车走公路堵车的概率为，不堵车的概率为；校车走公路堵车的概率为，不堵车的概率为1p若甲、乙两辆校车走公路，丙校车由于其他原因走公路，且三辆车是否堵车相互之间没有影响（）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为，求走公路堵车的概率；（）在（I）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的辆数的分布列和数学期望考点：

20、离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。专题：计算题。分析：（1）由已知条件得，由此能求出走公路堵车的概率（2）可能的取值为0，1，2，3，分别求出P（=0），P（=1），P（=2）和P（=3），由此能求出的分布列和数学期望解答：解：（1）由已知条件得，即3p=1，则p=，答：走公路堵车的概率为（2）解：可能的取值为0，1，2，3P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=的分布列为：0123所以=答：数学期望为点评：本题考查离散型随机变量的数学期望和方差，是中档题，是历年高考的必考题型之一解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进

21、行等价转化2（2011重庆）某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（）恰有2人申请A片区房源的概率；（）申请的房源在片区的个数的分布列与期望考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率。专题：计算题。分析：（I）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C4222，得到概率（II）由题意知变量的可能取值是1，2，3，结合变量对应的事件和第一问的做法写出变量对应的概率，写出分布列，做出变量的期望

22、值解答：解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C4222根据等可能事件的概率公式得到P=（II）由题意知的可能取值是1，2，3P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=的分布列是E=点评：本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大3（2011天津）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球

23、除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）（）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列。专题：计算题；综合题。分析：（I）（i）甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，事件数是C52C32，摸出3个白球事件数为C32C21C21；由古典概型公式，代入数据得

24、到结果，（ii）获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据（i）求出摸出2个白球的概率，再相加即可求得结果，注意运算要正确，因为第二问要用本问的结果（II）连在2次游戏中获奖次数X的取值是0、1、2，根据上面的结果，代入公式得到结果，写出分布列，求出数学期望解答：解：（）（i）设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai（i=，0，1，2，3），则P（A3）=，（ii）设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A2A3，又P（A2）=，且A2、A3互斥，所以P（B）=P（A2）+P（A3）=；（）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2P（X=0）=（1）2=，P（X=1）=C21（1）=，P

25、（X=2）=（）2=，所以X的分布列是X的数学期望E（X）=0×点评：此题是个中档题本题考查古典概型及共概率计算公式，离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力4（2011山东）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立（）求红队至少两名队员获胜的概率；（）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差。

26、专题：计算题。分析：（I）由题意知红队至少有两名队员获胜包括四种情况，一是只有甲输，二是只有乙输，三是只有丙输，四是三个人都赢，这四种情况是互斥的，根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率得到结果（II）由题意知的可能取值是0，1，2，3，结合变量对应的事件写出变量对应的概率，变量等于2使得概率可以用1减去其他的概率得到，写出分布列，算出期望解答：解：（I）设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5可以得到D，E，F的对立事件的概率分别为0.4，0，5，0.5红队至少两名队员获胜包括四种情况：DE，DF，DEF，这四种

27、情况是互斥的，P=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55（II）由题意知的可能取值是0，1，2，3P（=0）=0.4×0.5×0.5=0.1，P（=1）=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35P（=3）=0.6×0.5×0.5=0.15P（=2）=10.10.350.15=0.4的分布列是E=0×0.

28、1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6点评：本题考查互斥事件的概率，考查相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，解题时注意对立事件概率的使用，一般遇到从正面解决比较麻烦的，就选择利用对立事件来解决5（2011江西）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料若4杯都选对，则月工资定位3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，今X表示此人选对A饮料的

29、杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列。专题：计算题；应用题。分析：（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，由古典概型分别求出概率，列出分布列即可（2）由（1）可知此员工月工资Y的所有可能取值有3500、2800、2100，Y取每个值时对应（1）中的X取某些值的概率，列出Y的分布列，求期望即可解答：解：（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，P（X=0）=P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）=P（X=4）=（2）此员工月工资Y的所有可能取值有3500、2800、2100，P（

30、Y=3500）=P（X=4）=P（Y=2800）=P（X=3）=P（Y=2100）=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）=EY=2280点评：本题考查古典概型、组合数、离散型随机变量及分布列，考查利用所学知识解决问题的能力6（2011湖南）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率（）求当天商品不进货的概率；（）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望考点：离散型随机变量

31、的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列。专题：应用题。分析：（I）“当天商品不进货”包含两个事件的和事件，利用古典概型概率公式求出两个事件的概率；再利用互斥事件的和事件概率公式求出当天商品不进货的概率（II）求出x可取的值，利用古典概型概率公式及互斥事件和事件的概率公式求出x取每一个值的概率值；列出分布列；利用随机变量的期望公式求出x的期望解答：解：（I）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）+（“当天的商品销售量为1件”）=（II）由题意知，X的可能取值为2，3P（X=2）=P（“当天商品销售量为1件”）=P（X=3）=（“当天的销售量为0”）+P

32、（“当天的销售量为2件”）+P（“当天的销售量为3件”）=故x的分布列X的数学期望为EX=点评：本题考查古典概型的概率公式、互斥随机的概率公式、随机变量的数学期望公式、求随机变量的分布列的步骤7（2011广东）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品总数（2）当产品中的微量元素x，y满足x175，y75，该产品为优等品用上述样本数据估计乙厂生产的

33、优等品的数量（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中的优等品数的分布列极其均值（即数学期望）考点：离散型随机变量的期望与方差。专题：计算题；应用题。分析：（1）有分层抽样可知各层抽取的比例相等，先计算出甲厂抽取的比例，按此比例计算乙厂生产的产品总数即可（2）先计算抽取的5件样品中优等品的概率，再由此概率估计乙厂生产的优等品的数量即可（3）的所有可能取值为0，1，2由古典概型分别求概率，再求期望即可，此分布列为超几何分布解答：解：（1）甲厂抽取的比例=，因为乙厂抽出5件，故乙厂生产的产品总数35件（2）x175，y75的有两件，比例为，因为乙厂生产的产品总数35件，故乙

34、厂生产的优等品的数量为35×=14件（3）乙厂抽出的上述5件产品中有2件为优等品，任取两件的取法有C52=10种的所有可能取值为0，1，2P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，的分布列为：故E=点评：本题考查分层抽样、样本估计总体、离散型随机变量的分布列和期望等知识，考查利用所学知识解决问题的能力8（2011安徽）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p1，p2，p3，假设p1，p2，p3互不

35、相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立（）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，q3，其中q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数学期望）EX；（）假定lp1p2p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式。专题：计算题；应用题。分析：（）可先考虑任务不能被完成的概率为（1p1）（1p2）（1p

36、3）为定值，故任务能被完成的概率为定值，通过对立事件求概率即可（）X的取值为1，2，3，利用独立事件的概率分别求出概率，再求期望即可（）由（）中得到的关系式，考虑交换顺序后EX的变化情况即可解答：解：（）任务不能被完成的概率为（1p1）（1p2）（1p3）为定值，所以任务能被完成的概率与三个人被排除的顺序无关任务能被完成的概率为1（1p1）（1p2）（1p3）（）X的取值为1，2，3P（X=1）=q1P（X=2）=（1q1）q2P（X=3）=（1q1）（1q2）EX=q1+2（1q1）q2+3（1q1）（1q2）=32q1q2+q1q2（）EX=3（q1+q2）+q1q2q1，若交换前两个人的

37、派出顺序，则变为3（q1+q2）+q1q2q2，由此可见，当q1q2时，交换前两个人的派出顺序可减小均值；若保持第一人派出的人选不变，交换后个人的派出顺序，EX可写为32q1（1q1）q2，交换后个人的派出顺序则变为32q1（1q1）q3，当q2q3时交换后个人的派出顺序可减小均值故完成任务概率大的人先派出，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小点评：本题考查对立事件、独立事件的概率、离散型随机变量的分布列和方差等知识，以及利用概率知识解决实际问题的能力9（2010天津）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响（）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（）假设

38、这名射手射击5次，求有3次连续击中目标另外2次未击中目标的概率；（）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。专题：计算题；应用题。分析：（I）由题意知每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X利用二项分布的概率公式得到结果，（II）有3次连续击中目标另外2次未击中目标包括三种情况，即连续的

39、三次射击在第一位，在第二位，在第三位，这三种情况是互斥的，根据独立重复试验和互斥事件的概率公式得到结果（III）为射手射击3次后的总的分数，由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，6，结合变量对应的事件，写出变量的概率，写出分布列解答：解：（1）每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X在5次射击中，恰有2次击中目标的概率（）设“第i次射击击中目标”为事件Ai（i=1，2，3，4，5）；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则=（）由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3，6=P（=6）=P（A1A2A3）=的

40、分布列是点评：本题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力10（2010四川）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料（）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（）求中奖人数的分布列及数学期望E考点：离散型随机变量及其分布列；随机事件。专题：计算题。分析：（1）甲、乙、丙三位同学每人是否中奖相互独立，可利用独立事件的概率求解，甲中奖概率为，乙、丙没有中奖的概率为，相乘即可（2）中奖人数的所有取值为

41、0，1，2，3，是二项分布B（3，）解答：解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P（A）=P（B）=P（C）=，P（）=P（A）P（）P（）=，答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为（2）的可能值为0，1，2，3，P（=k）=（k=0，1，2，3）所以中奖人数的分布列为E=0×+1×+2×+3×=点评：本题考查相互独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、二项分布及期望等知识同时考查利用所学知识分析问题解决问题的能力11（2010山东）某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A，B，C，D四个问题，规则如下：每位参加者计分器的初始分均为

42、10分，答对问题A，B，C，D分别加1分，2分，3分，6分，答错任意题减2分；每答一题，计分器显示累计分数，当累积分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累积分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；答完四题累计分数不足14分时，答题结束淘汰出局；每位参加者按A，B，C，D顺序作答，直至答题结束假设甲同学对问题A，B，C，D回答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响（）求甲同学能进入下一轮的概率；（）用表示甲同学本轮答题的个数，求的分布列和数学期望E考点：离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差。专题：综合题。分析：（1）根据题意，列举甲

43、能进入下一轮的五种情况，由于每题答题结果相互独立，根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到结果（2）由题意可知答对一个题或答错一个题都不能决定甲的去留，所以最少答两个题，随机变量可能的取值为2，3，4，由于每题的答题结构都是相对独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果解答：解：设A，B，C，D分别是第一、二、三、四个问题，用Mi（i=1，2，3，4）表示甲同学第i个问题回答正确，用Ni（i=1，2，3，4）表示第i个问题回答错误，则Mi与Ni（i=1，2，3，4）是对立事件由题意得，则（）记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，则Q=M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N

44、3M4+N1M2N3M4由于每题答题结果相互独立，P（Q）=P（M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4）=P（M1M2M3）+P（N1M2M3M4）+P（M1N2M3M4）+P（M1M2N3M4）+P（N1M2N3M4）=（）由题意可知随机变量可能的取值为2，3，4，由于每题的答题结果都是相对独立的，P（=4）=1P（=2）P（=3）=1=点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查相互独立立事件、对立事件的概率和求解办法，考查用概率知识解决实际问题的能力12（2010江西）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门首次到达此

45、门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止令表示走出迷宫所需的时间（1）求的分布列；（2）求的数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差。专题：计算题。分析：（1）若首次到达1号通道，则的取值为1；若首次到达2号通道，再次到达1号通道，则的取值为3；若首次到达2号通道，再次到达3号通道，最后到达1号通道，则的取值为6；同理若首次到达3号通道时，的取值可为4或6，分别求出对应概率即可（2）利用期望公式代入即可解答：

46、解：（1）必须要走到1号门才能走出，（2）可能的取值为1，3，4，6，分布列为：（2）小时点评：考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查13（2010北京）某同学参加3门课程的考试假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（pq），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123pad（）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；（）求数学期望E考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式。专

47、题：计算题。分析：（I）由题意知事件该生至少有一门课程取得优异成绩与事件“=0”是对立的，要求该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率，需要先知道该生没有一门课程优秀，根据对立事件的概率求出结果（II）由题意可知，需要先求出分布列中的概率a和b的值，根据互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率，得到这两个值，求出概率之后，问题就变为求期望解答：解：事件A表示“该生第i门课程取得优异成绩”，i=1，2，3由题意可知（I）由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件“=0”是对立的，该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是1P（=0）=1（II）由题意可知，P（=0）=，P（=3）=整理得p=a=

48、P（=1）=b=P（=2）=1P（=0）P（=1）P（=3）=E=0×P（=0）+1×P（=1）+2×P（=2）+3×P（=3）=点评：本题课程互斥事件的概率，相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量的分布列和期望，是一道综合题，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题14（2010安徽）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试根据一轮测试中的两次排序

49、的偏离程度的高低为其评为现设n=4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=|1a1|+|2a2|+|3a3|+|4a4|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述（）写出X的可能值集合；（）假设a1，a2，a3，a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列；（）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X2，试按（）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由考点：离散型随机变量及其分布列；分布列对于刻画随机现象的重要性。分析：（1）X的可能取值集合为0、2、4、6、8，在1、

50、2、3、4中奇数与偶数各有两个，a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，得到|1a1|+|3a3|与|2a2|+|4a4|的奇偶性相同，得到结论（2）可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，计算每种排列下的X的值，算出概率，写出分布列（3）做出三轮测试都有X2的概率，记做P，做出概率的值和已知量进行比较，得到结论，解答：解：（1）X的可能取值集合为0、2、4、6、8在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，|1a1|+|3a3|与|2a2|+|4a4|的奇偶性相同，X=（|1a1|+|3a3|）+（|2a2|+|4a4|）

51、必为偶数，X的值非负，且易知其值不大于8，X的可能取值集合为0、2、4、6、8（2）可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，计算每种排列下的X的值，在等可能的假定下，得到P（X=0）=P（X=2）=P（X=4）=P（X=6）=P（X=8）=（3）首先P（X2）=P（X=0）+P（X=2）=将三轮测试都有X2的概率记做P，有上述结果和独立性假设得P=，由于P=是一个很小的概率，这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X2的结果的可能性很小，我们认为该品酒师确实有良好的鉴别功能，不是靠随机猜测点评：本题主要考查分布列和期望的简单应用，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一

52、个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大15（2009重庆）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响求移栽的4株大树中：（1）两种大树各成活1株的概率；（2）成活的株数的分布列与期望考点：离散型随机变量及其分布列；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。专题：计算题。分析：（1）甲两株中活一株符合独立重复试验，概率为，同理可算乙两株中活一株的概率，两值相乘即可（2）的所有可能值为0，1，2，3，4，分别求其概率，列出分布列，再求期望即可解答：解：设Ak表示甲种大树成活k株，k=0，1，2Bl表示乙种大树成

53、活1株，1=0，1，2则Ak，Bl独立由独立重复试验中事件发生的概率公式有P（Ak）=C2k（）k（）2k，P（Bl）=C21（）l（）2l据此算得P（A0）=，P（A1）=，P（A2）=P（B0）=，P（B1）=，P（B2）=（1）所求概率为P（A2B2）=P（A1）P（B1）=×=（2）解法一：的所有可能值为0，1，2，3，4，且P（=0）=P（A0B0）=P（A0）P（B0）=×=，P（=1）=P（A0B1）+P（A1B0）=×+×=，P（=2）=P（A0B2）+P（A1B1）+P（A2B0）=×+×+×=，P（=3）

54、=P（A1B2）+P（A2B1）=×+×=P（=4）=P（A2B2）=×=综上知有分布列从而，的期望为E=0×+1×+2×+3×+4×=（株）解法二：分布列的求法同上，令1，2分别表示甲乙两种树成活的株数，则1：B（2，），2：B（2，）故有E1=2×=，E2=2×=1从而知E=E1+E2=点评：本题考查离散型随机变量的分布列、期望、独立重复试验的概率等知识，以及利用概率知识分析问题、解决问题的能力16（2009浙江）在1，2，3，9，这9个自然数中，任取3个数（）求这3个数中，恰有一个是偶数的概率；（）记为这三个数中两数相邻的组数，（例如：若取出的数1、2、3，则有两组相邻的数1、2和2、3，此时的值是2）求随机变量的分布列及其数学期望E考点：等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列；