模板13 相似形（解析版）备战2022年中考数学专项解题方法归纳探究

1、相似形解题方法指导一、怎样解相似三角形的判定问题相似二角形的判定方法:(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，这是判定两个三角形相似的最基本的一个定理。(2)两个三角形相似个三角形机发;三边成比例的两个三角形相似两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;两角分别相等的两个三角形相似。判定两个三角形相似需要根据条件选择方法，有时条件不具备，需从以下儿个方面探求:(1)条件书若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形:(2)两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例(3)两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例

2、;(4)条件中告有一组直角，可再找一组等角或两边成比例.解决相似三角形的判定问题时，要根据题目中的已知条件或隐含条件选择合适的判定方法例题演练例题1（2021扬州市梅岭中学）如图,在中,点D为BC上一点,且,过ABD三点作,AE是的直径,连接DE（1）求证:AC是的切线;（2）若,求直径【答案】（1）见解析;（2）【详解】（1）证明:,又,AE是的直径,AC是的切线（2）解:如图,过点D作于点F,在中, ,即 ,解得: ,直径为 例题2（2021蒙城县庄子体育艺术中等专业学校九年级其他模拟）在等腰直角ABC中，BAC90，点D、E分别在AB、AC上，且ADAE，连接DC，点M、N分别为DE、B

3、C的中点（1）如图，若点P为DC的中点，连接MN、PM、PN求证：PMPN；求证：ADEPNM；（2）如图，若点D在BA的延长线上，点P为EC的中点，求的值【答案】（1）见解析；见解析；（2）【详解】（1）证明：点P，N分别是CD，BC的中点，点P，M分别是CD，DE的中点，；证明：，又由知，为等腰直角三角形，又为等腰直角三角形，；（2）解：如图，连接，点M、N、P分别为DE，BC，EC中点，为等腰直角三角形，例题3（2021江苏镇江市）如图，已知（1）添加条件_（答案不唯一，写出一个即可），使得；（2）由（1），你还能得到哪两个三角形相似？说明理由【答案】（1）（答案不唯一）；（2），见解析

4、【详解】解：（1）添加的条件是BACDAE，BACDAE，ABCADE，故答案为：BACDAE（答案不唯一）；（2）AOECOD，理由是：ABCADE，EC，AOECOD，AOECOD解题方法指导二、怎样解运用相似三角形性质的问题解与三角形相似有关的问题时常用到以下性质:(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例。(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.(3)相似三角形周长的比等于相似比，相似多边形周长的比等于相似比.(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方,相似多边形面积的比等于相似比的平方。在三角形中求边长或面积时，常常运用相似三角形的这些性质例题演练例题1（

5、2021全国九年级专题练习）如图，中，为斜边上的高，E为的中点，的延长线交于F，交于G，求证：FG2FCFB【答案】见解析【详解】证明：延长AC，GF相交于点H，FGAB（已知）FGB90（垂直的定义）ACB90（已知）FGBACB（等量代换）12（对顶角相等）HCFBGF（两角对应相等的两个三角形相似）（相似三角形对应边成比例）即CFBFFGHF（比例的基本性质）CDAB，FGAB（已知）4590（垂直的定义）CDHG（同位角相等，两直线平行）3H（两直线平行，同位角相等）3H，66ACEAHF（两角对应相等的两个三角形相似）（相似三角形对应边成比例）45，77AEDAFG（两角对应相等的两

6、个三角形相似）（相似三角形对应边成比例）（等量代换）E是CD的中点（已知）CEDE（中点的定义）FHFGCFBFFGHF（已证）CFBFFGFG 即FG2FCFB例题2（2021辽宁营口市九年级一模）已知：如图，在中，以为直径的交于点，交于点，过点的直线与的延长线交于点，且，连接（1）求证：与相切；（2）当时，求的长【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：连接， 为直径， ， 又， ， ， ， ， 又为半径，与相切（2）解：由（1）可知 ， ， ， ， ， ， ， 例题3（2021四川攀枝花市九年级一模）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，连接EC，ABm，BCn，m（1）若m3，

7、n4，连接AC，CE平分ACD，求DE的长；（2）若E为AD中点，过点E作EFEC交AB于F点，连接FC，补全图形并证明：EF平分AFC；当AEF与BFC相似时，求的值【答案】（1）；（2）见解析；【详解】解：（1）如图，过点作于点，四边形是矩形，平分中，根据勾股定理得，；（2）如图，延长和交于点，是的中点为的中点，是的垂直平分线 EF平分AFC；若，则，这与题目相矛盾，即当AEFBCF相似时，,由可知，解题方法指导三、怎样解位似图形问题如果两个平面图形不仅相似，而且对应顶点的连线或延长线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心,这时的相似比又叫做位似比.位似图形具有下列

8、性质:(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于一点，(3)位似图形对应线段平行或在同一条直线上且成比例，(4)位似图形的对应角相等.例题演练例题1（2019全国九年级单元测试）过梯形对角线的交点，作底的平行线分别交两腰于和，求：图中的位似图形，并分别指出位似中心和位似比【答案】和是位似图形，点为位似中心，位似比为；和是位似图形，点为位似中心，位似比为；和是位似图形，点为位似中心，位似比为；和是位似图形，点为位似中心，位似比为；和是位似图形，点为位似中心，位似比为【详解】，相似比，同理可得，相似比，相似比，同理可得，相似比，四边形为

9、梯形，和是位似图形，点为位似中心，位似比为；和是位似图形，点为位似中心，位似比为；和是位似图形，点为位似中心，位似比为；和是位似图形，点为位似中心，位似比为；和是位似图形，点为位似中心，位似比为例题2（2020全国九年级专题练习）如图，利用直尺、计算机或图形计算器任意画一个ABC，以点O为位似中心，自选相似比k，进行位似变换，得到ABC度量线段OA，OA，OB，OB，OC，OC的长，你有什么发现？任意改变ABC的位置，得出的结论是否仍然成立？【答案】任意改变ABC的位置，得到ABC，ABC与ABC的对应边互相平行，任意改变ABC的位置，得出的结论仍然成立【详解】解：经测量，OA2cm，OA1cm，OB3cm，OB1.5cm，OC3cm，OC1.5cm，可以得到， ，,BOA，ABAB，同理：ACAC，CBCB，位似图形的对应边互相平行，任意改变ABC的位置，得到ABC，仍有，ABC与ABC的对应边互相平行，即随意改变ABC的位置，得出的结论仍然成立例题3（2019北京一零一中学双榆树校区）如图，已知BCBC，CDCD，DEDE.(1)求证：四边形BCDE位似于四边形BCDE；(2)若3，S四边形BCDE20，求S四边形BCDE.【答案】（1）见解析；（2