循环映射不动点定理的推广与不动点问题

1、 循环映射不动点定理的推广及最优邻近点问题 郭 科 数学与信息学院 数学与应用数学专业 2007级 指导老师：李军摘要:本文推广了度量空间中的循环映射、最优邻近点的概念,并利用这些概念证明了不动点原理.同时给出了一个关于最优邻近点的存在性证明.关键词:不动点;循环映射;最优邻近点 Generalized Fixed Theorem for Cyclic Mappings and Best Proximity Points GUO Ke College of Mathematics and Information Major Mathematics and Applied Mathematics

2、 Grade 2007 Instructor: LI Jun Abstract: In this paper, we extend the notions of cyclic mappings and best proximity points in ordered metric spaces.We prove some fixed points theorems related to these notions, as well as a theorem on the existence of best proximity points.Keywords: Fixed point; Cycl

3、ic mapping; Best proximity point 目 录中文题目1中文摘要1中文关键词1英文题目1英文摘要1英文关键词11.引言32.不动点理论53.最优邻近点9参考文献11致谢121.引言 不动点理论是泛函分析中最重要的定理之一,最常见的不动点定理有Banach压缩映射原理与Brouwer不动点定理(7).2003年,Kirk,Srinivasan,Veeramani在文献5中首先提出了循环压缩映射下存在不动点的条件.2005年,Nieto和Rodríguez-López在文献1中最早提出了完备度量空间中,偏序关系下连续非递降压缩映射的不动点理论和偏序关系

4、下单调非递降压缩映射的不动点理论.2011年,Abkar和Gabeleh在文献2中得出了度量空间中,在完备集上基于偏序关系下的任何连续非递降循环压缩映射必存在不动点和完备集上基于偏序关系下的任何单调非递降循环压缩映射必存在不动点.2006年Eldred,Veeraman在文献3和2009年Thagafi,Shahzad在文献4中分别研究了最优邻近点的存在性.2011年Abkar和Gabeleh在文献2将上述结果推广到了循环压缩映射.由于文献2中仅考虑的是两个集合间的关系,本文将这一结果推广到了有限个集合,并证明了相关的结论.最后给出了在循环压缩映射下有限个集合间的最优邻近点的存在性证明.下面介

5、绍几个定义及引理.定义1.1 设为偏序集，映射，若对，有， 则称为非递降映射.定义1.2 设为度量空间,为的非空子集， 若满足 ,则称为循环映射.定义1.3 设为度量空间,为的非空子集， 令,为循环映射,若存在,使得,则称为的最优邻近点.引理1.1设为度量空间,为的非空子集,为完备集，为上的偏序关系.设为循环映射，,为上的非递降映射,且存在,满足对任意的,有 . 若存在,满足,则当时,有. 证明由为上的非递降映射,且存在,满足,则有， 而,即有 由,令,由易得： 即有 同理 即有 依此类推，得 综上所述，得 即得 .注释1.1 当时,上述引理退化为文献2中引理2.1.2.不动点理论为证明定理2

6、.1,我们先证明以下引理引理2.1设为度量空间,为的非空子集,为完备集，为上的偏序关系,为循环映射，,为上的非递降映射且存在,满足对任意的,有 .若存在,满足,则当时,.证明 令,有:在引理1.1的证明过程令可得:所以即 故有 即有.定理2.1 设为度量空间,为的非空子集,为完备集,为上的偏序关系,.为循环映射,为上的连续映射,为上的非递降映射且存在,对任意的时,有.若存在,则当时,有,且有不动点.证明 当时,则有: 即.所以,为的不动点. 当时,则由引理2.1有:是中的数列. 由为完备集,则存在,使 又为上的非递降映射,且存在,满足,则有， 而,即有 由在上连续,则 所以 即 同理,由在上连

7、续,可得, 即 依此类推,由在上连续,可得， 综上所述,有不动点.定理2.2 设为度量空间,为的非空子集,为完备集,为上的偏序关系,且在上满足:为非递降序列,若,则有， 为循环映射,为上的非递降映射,且存在,对任意的时，有:.若存在,当时,有,且有不动点.证明 由引理2.1知,是中的数列，而为完备集， 则存在,有 ， 由为上的非递降映射，且，则有 由于在上满足条件且，则 ，即 所以 令,有,即 令,有,即.同理可证,当时,有.综上所述,有不动点.注释2.1:当时,上述结果就退化为文献2中的定理2.2与2.3.3.最优邻近点 在这一部分,我们将给出基于循环映射的最优邻近点的存在性证明.定理3.1

8、 设为度量空间,为的非空子集,为完备集,为上的偏序关系,且在上满足:为非递降序列，则, 为循环映射，为上的非递降映射,且存在,对任意的时有:.假设存在,令,若在中存在收敛子列,则存在最优邻近点.证明 由于在中存在收敛子列,不妨设为，由为完备集,则有, 所以， 当时,由引理1.1,易得, 由为上的非递降映射,且存在,满足,则有， 而,即有 由于在上满足条件,得 显然有,即， 令,有 由最优邻近点的定义知,有最优邻近点.注释3.1:当时,上述结果就退化为文献2中的定理3.1.若在上述定理中， 令,故只需在上述定理的证明过程中令即可证明以下推论.推论3.1 设为度量空间,为的非空子集,为完备集,为上

9、的偏序关系,且在上满足:为非递降序列,则有， 为循环映射,为上的非递降映射,且存在,对任意的时有:,假设存在,令,若在中存在收敛子列,则存在最优邻近点.参考文献:1J.J.Nieto,R.Rodríguez-López:Contractive Mapping Theorems in Partially Ordered Sets and Applications to Ordinary Differential EquationsJ. Order 22, pp:223239 (2005)2A. Abkar,M.Gabeleh:Best Proximity Points for

10、 Cyclic Mappings in Ordered Metric SpacesJ. J Optim Theory Appl.(2011). doi:10.1007/s10957-011-9810-x3A.A.Eldred,P.Veeramani: Existence and Convergence of Best Proximity PointsJ. Math. Anal. Appl. 323, pp:10011006 (2006)4M.A.Al-Thagafi,N.Shahzad: Convergence and Existence Results for Best Proximity

11、PointsJ. Nonlinear Anal. 70,pp: 36653671 (2009)5W.A.Kirk,P.S.Srinivasan, P.Veeramani: Fixed Points for Mappings Satisfying Cyclic Contractive ConditionsJ. Fixed Point Theory 4(1),pp: 7986 (2003)6A.Abkar, M.Gabeleh: Results on the Existence and Convergence of Best Proximity PointsJ. Fixed Point Theory Appl. (2010). doi:10.1155/2010/3860377张恭庆,林源渠.泛函分析讲义(上册)M.北京大学出版社,1987.致 谢我在论文的选题、调研、提纲提炼、写作过程中,多次得到了李军教授的热情帮助指导。李老师广博的知识给我留下了极为深刻的印象，他严谨细致和一丝不苟的作风是我学习的榜样,在此,我真诚地感谢我的指导老师李军教授。四年来，是西华师大哺育了我，是西华师大的各级领导、老师们培养了我，借此机会，我向西华师范大学的各级领导、老师们表示真诚地谢意！特别向