231平面向量的基本定理

1、aaabba2.3.1 平面向量的基本定理平面向量的基本定理 已知非零向量 ，那么在同一平面内的任意向量 是否可以由向量 的线性来表示呢？abaabab2， 问问题题 ：如如果果平平面面内内的的向向量量不不能能由由单单个个向向量量线线性性表表示示 又又该该如如何何具具体体表表示示呢呢？两个向量？两个向量？平行四边形法则平行四边形法则1e2ea21eea1e2ea给定平面内两个不共线的向量给定平面内两个不共线的向量e1, , e2, ,可可表示平面内任一向量表示平面内任一向量a吗？吗？依照速度的分解，平面内任一向量依照速度的分解，平面内任一向量a可可作怎样的分解呢？作怎样的分解呢？1e2e OC

2、ABMN OCOMON 如图111OMOAe 1122OCee 1122 +aee 即222ONOBe a1e2e a给定平面内两个不共线的向量给定平面内两个不共线的向量e1, ,e2, ,可表示该平面内任一向量可表示该平面内任一向量a吗？吗？想一想：想一想：1e2e OCABMNa OCOMON 如图111OMOAe 1122OCee 1122 +aee 即222ONOBe 1e2e a给定平面内两个不共线的向量给定平面内两个不共线的向量e1, , e2, ,可表示该平面内任一向量可表示该平面内任一向量a吗？吗？LOGO平面向量基本定理：平面向量基本定理：问题一：问题一： 基底不共线也不唯一

3、，任基底不共线也不唯一，任意两个不共线的向量均可作基意两个不共线的向量均可作基底底 给定基底后，任意一个向量给定基底后，任意一个向量的表示是唯一的的表示是唯一的问题二：问题二：LOGO平面向量基本定理 如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这个平面内的任意一向量 有且只有一对实数 使 12,e e a12, 1 122aee 对定理的理解：(1)平面内的任一向量都可以沿两个不共 线的方向分解成两个向量的和的形式；(2)分解是唯一的。若若a与与)(21ee共线，则共线，则),0(012使使2211eea有且只有有且只有,021使使22110ee若若, 0a(3)一维直线一维直线平面向量基本

4、定理1 122a =eea =e二维平面二维平面【例 1】 如图，OADB 是以OAa，OBb 为边的平行四边形，又 BM13BC，CN13CD，试用 a，b 表示OM， ON，MN.【解析】OMOBBMb13BCb1312BAb16(ab)16a56b，ONOCCNOC13CD12OD1312OD23OD23(ab)23a23b，【例 1】 如图，OADB 是以OAa，OBb 为边的平行四边形，又 BM13BC，CN13CD，试用 a，b 表示OM， ON，MN.【解析】MNMCCN(OCOM)13CD12(ab)16a56b1312(ab)12a16b.baDbaCbaBbaAOPPPPP

5、bOPaOP111.)1 (.),1(,. 22121（）则若.111.)1 ()(,212121baOPbaOPOPOPOPOPOPOPPPPP即：解析：向量的夹角与垂直向量的夹角与垂直:OABba两个非零向量两个非零向量 和和 ,作作 ， ,则则abAOB叫做向量叫做向量 和和 的的夹角夹角OAa OBb ab夹角的范围：夹角的范围：180 与与 反向反向abOABab记作记作ab90 与与 垂直，垂直，abOAB ab注意注意:两向量必须两向量必须是是同起点同起点的的 zxx、k0 与与 同向同向abOABab特别的：特别的：【例 3】已知|a|b|2， a，b80，求ab，b的大小【解析】如图，作ABa，ACb，并使BAC80.则CBab.由于|a|b|2，所以ABC 为等腰三角形，由于a