人教版数学八年级下册一组对边平行且相等巧证平行四边形

1、人教版数学八年级下册一组对边平行且相等巧证平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是判定四边形是平行四边形的最常用的判定方法之一，也是平行四边形判断时的首选 下面就以 2019 年的考题为例，介绍其应用，供学习时借鉴一、三角形背景下，探证平行四边形例 1( .2019 年湖州)如图 1，已知在 ABC 中，D, E, F 分别是AB,BC, AC 的中点，连结 DF,EF, BF.(1)求证：四边形 BEFD 是平行四边形；(2)若/AFB=90, AB=6,求四边形 BEFD 的周长.1(1)证明：因为D, E, F 分别是 AB,BC AC 的中点，所以DF/ BE, DFBC=

2、BE,2所以四边形 BEFD 是平行四边形.1解：因为/ AFB= 90, D 是 AB 的中点，AB=6,所以 DF=DB=DA= AB=3.2所以四边形 BEFD 是菱形所以四边形 BEFD 的周长为 12.点评：证明时，有两个核心要素必须把握精准：一是三角形的中位线定理，给出的就是一组对边平行的条件，只需证明其相对即可完成平行四边形的判定；周长的计算关键是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这条重要性质的具体运用例 2 (2019 年福建)在 Rt ABC 中，/ ABC=90，/ BAC=30，将 ABC 绕点 A 顺时针旋转 一定的角度a得到 AED 点 B C 的对应点分别是 E、

3、D.(1)如图 2,当点 E 恰好在 AC 上时，求/ CDE 的度数；如图 3,若a=60时，点 F 是边 AC 中点，求证：四边形 BFDE 是平行四边形 解析：在厶 ABC 中，/ ABC=90，/ BAC=30，所以/ BCA=60 由旋转性质得， AD=AC / DAC=30 , / EDA=60 所以/ DCA2ADC=75 ,所以/ CDE2ADC-/ EDA=15 (2)据题意得三角形 BCF 是等边三角形，所以 BF=BC=DE/BFC=60 .如图 3，延长 BF, 交 AE 于点 G,交 AD 于点 H,由旋转性质得，AC=AD / CAD=60，所以三角形 ADC 是等

4、边三 角形，因为 F 是 AC 的中点，所以 DF 丄 AC, / FDA=/ HAG/ FAG=30 .解析：因为/ BFC=/ AFG=60，所以/ AGF=90，所以/ AGF/ DEA 所以 DE/ BF,所以四边形 BEDF 是平行四边形.点评：解答时，注意如下几点：1. 熟练掌握直角三角形的性质和斜边上的中线的性质，是解题的第一要素；2. 准确运用旋转的性质是解题的第二要素；3. 熟练运用等边三角形的判定是解题的第三要素；4. 灵活运用平行线的判定定理是解题的第四要素；5. 熟练运用平行四边形的判定是解题的第五要素二、平行四边形背景下，探证平行四边形例 3 (2019 年安徽)如图

5、 4,点 E 在平行四边形 ABCD 内部，AF/ BE, DF/ CE.(1) 求证： BCEAADF；S(2)设平行四边形 ABCD 的面积为 S,四边形 AEDF 的面积为 T,求 的值.T解析：(1)因为 AF/ BE,所以/ FAD+/ DAB+/ ABE=180 .因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 AD=BCAD/ BC 所以/ EBC+/ DAB/ ABE=18C，所以/ FAD 玄 EBC 同理可证，/ ADF=Z BCE 所以 BCEAADF;(2)连接 EF,因为 BCEAADF,所以 AF=BE 因为 AF/ BE,所以四边形 ABEF 是平行四边形，同理可证，

6、四边形 CDFE 是平行四边形.所以SABE=SAFE,SCDE=SDFE,所以四边形 AEDF 的面积为T=SAFE+SDFE=SABE+SCDE，根据平行四边形的性质，得CC CSS=2( SABE+SCDE点评：熟练运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断四边形ABEF 是平行四边形，四边形 CDFE 是平行四边形是解题关键，看似与平行四边形无关，证明的过程却蕴含着平行四边形的证明力量和解题智慧 三、正方形背景下，探证平行四边形例 4 (2019 年海南)如图 5， 在边长为 1 的正方形 ABCD 中, E 是边 CD 的中点， 点 P 是边 AD 上一点(与点AD 不重合)，射

7、线 PE 与 BC 的延长线交于点 Q.(1)求证：QCE过点 E 作 EF/ BC 交 PB 于点 F,连接 AF,当 PB=PQ 时，1求证：四边形 AFEP 是平行四边形；2请判断四边形 AFEP 是否为菱形，并说明理由.V- /A/ L ,E/ X15B图5 H CG解析：(1) 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AD/ BG 所以/ PDE=/ GCE, / DPEN CGE 因为 E 是 边 CD的中点，所以 DE=CE 所以 PDEAQCE(2)1如图 5， 延长 AF,交 BC 于点 H,连接 PH 因为 EF/ BQ AD/ BQ 所以 EF/ AP,因为 E 是边 CD

8、 的中点，所以PF=BF,因为四边形 ABCD是正方形， 所以/ BAP=90 ,所以 AF=PF=BF 所以/ PAF=/ APF,因为 AD/BG 所以/ FBH=Z FHB,所以 FB=FH,所以 AF=PF=BF=F H所以四边形 ABHP 是矩形,所以 AP=BH PHL BG 因为 PB=PQ 所以 BH=HG 因为 EF 是三角形 PBG 的中位线，所以 EF=BH=HG 所以 EF=AF,所以四边形 AFEP 是平行四边形；2四边形 AFEP 不一定为菱形.理由如下：一1因为 AP 不一定等于 AF,只有当 AP=BP 时或/ ABP=30 时，才有四边形 AFEP 为菱形.2

9、点评：解答时，有四个知识点必须熟练运用，一是等腰三角形的三线合一性质；二是直角三角形斜边上的中线定理；三是矩形的判定定理，四是平行四边形的判定，这里“平行”易证，关键是线段的相等的证明.例 5 (2019 年天水)如图 6, E, F 分别是正方形 ABCD 的边 CB DC 延长线上的点，且 BE=CF过点 E 作 EG/ BF,交正方形外角的平分线CG 于点 G,连接 GF.求证：(1)AE 丄 BF；(2)四边形 BEGF 是平行四边形.解析：(1) 延长 FB 交 AE 于点 H,因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AB=BC / ABE=/ BCF=90 , BE=CF .所以 BAEACBF,所以/ BAE =ZCBF,AE=BF 因为/ ABH+ZCBF=90 , 所以/ ABH+ZBAH=90，所以/ AHB=90，所以 AE1BF;(2) 如图 3,延长 AB 到点 M 使得 BE=BM 则ZAME=45，因为 CG 是外角的平分线，所以ZECG=45，所以ZAMEZECG 因为 AB=BC,BE=BM 所以 AM=EC因为 EG